หากอนุกรมเวลาเป็นคำสั่งที่สองที่หยุดนิ่งนี่จะแปลว่าเป็นเครื่องเขียนที่เคร่งครัดหรือไม่?

กระบวนการไม่หยุดนิ่งหากการกระจายข้อต่อของเหมือนกันกับการกระจายข้อต่อของสำหรับทุกสำหรับทุกและทุกt_1, $X_t$ $X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_m}$ $X_{t_1+k},X_{t_2+k},...,X_{t_m+k}$ $m$ $k$ $t_1,t_2,...,t_m$

กระบวนการคือลำดับที่สองนิ่งถ้าค่าเฉลี่ยของมันเป็นค่าคงที่และฟังก์ชั่น autocovariance นั้นขึ้นอยู่กับความล่าช้าเท่านั้น

ดังนั้นอันดับที่สองที่อยู่นิ่ง ๆ

นอกจากนี้ภายใต้คำสั่งที่สองที่อยู่กับที่นิ่งบอกว่าไม่มีการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับช่วงเวลาที่สูงกว่าลำดับที่หนึ่งและที่สอง ช่วงเวลาแรกสอดคล้องกับค่าเฉลี่ยหรือไม่ช่วงเวลาที่สองตรงกับความเปลี่ยนแปลงอัตโนมัติหรือไม่?

— Clarkson
แหล่งที่มา

ดูโพสต์นี้สำหรับการสนทนาที่เกี่ยวข้อง

— javlacalle

สิ่งที่คุณเรียก (หรือเรียกหลักสูตรของคุณ) ลำดับที่สองคือการหยุดนิ่งมักเรียกว่าการนิ่งหรือการเคลื่อนที่แบบไว (WSS) หรือการนิ่งในวงกว้าง กระบวนการ WSS นั้นไม่จำเป็นต้องอยู่กับที่อย่างเด็ดขาดเพราะโดยทั่วไปแล้วค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวนอัตโนมัตินั้นไม่เพียงพอที่จะพิจารณาการกระจายตัว แน่นอน WSS Gaussianหรือกระบวนการปกติ (หมายถึงทั้งหมดเป็นตัวแปรสุ่มปกติ) เป็นแบบคงที่อย่างเคร่งครัดเพราะเมทริกซ์เฉลี่ยและความแปรปรวนร่วมเป็นตัวกำหนดการกระจายข้อต่อ

X_{t}

$X_t$

— Dilip Sarwate

ดูเพิ่มเติมตัวอย่างของกระบวนการที่เป็นคำสั่งที่ 2 นิ่ง แต่ไม่นิ่งอย่างเคร่งครัด ทั้งสองใกล้เคียงกันมากกับการซ้ำซ้อน คำถามนี้ยังถามเกี่ยวกับช่วงเวลาที่สองที่เกี่ยวข้องกับการปรับค่าอัตโนมัติ แต่นั่นเป็นคำถามย่อยจริง ๆ หรือไม่และเป็นอัตราที่จัดการกับเธรดกระบวนการนิ่งลำดับที่สองคืออะไร

— Silverfish

mathoverflow.net/questions/42141/…

— Robby McKilliam

คำสั่งที่สองคือคำสั่งที่อ่อนแอกว่าคำสั่งที่เข้มงวด ลำดับที่สอง stationarity ต้องการช่วงเวลาลำดับที่หนึ่งและสอง (หมายถึงความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วม) เป็นค่าคงที่ตลอดเวลาและดังนั้นจึงไม่ขึ้นอยู่กับเวลาที่กระบวนการสังเกต โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณพูดความแปรปรวนร่วมจะขึ้นอยู่กับลำดับความล่าช้าเท่านั้น แต่ไม่ใช่ในเวลาที่วัดสำหรับทุกคน $k$ $Cov(x_t, x_{t-k}) = Cov(x_{t+h}, x_{t+h-k})$ . $t$

ในกระบวนการ stationarity เข้มงวดช่วงเวลาของการสั่งซื้อทั้งหมดที่คงที่ตลอดเวลากล่าวคือในขณะที่คุณพูดว่าการกระจายร่วมกันของเป็นเช่นเดียวกับการจัดจำหน่ายร่วมกันของสำหรับทุก $X_{t1},X_{t2},...,X_{tm}$ $X_{t1+k}+X_{t2+k}+...+X_{tm+k}$ และk $t1,t2,...,tm$ $k$

ดังนั้นความนิ่งแบบเข้มงวดเกี่ยวข้องกับความนิ่งลำดับที่สอง แต่การสนทนาไม่เป็นความจริง

แก้ไข (แก้ไขเป็นคำตอบสำหรับความคิดเห็นของ @ whuber)

ข้อความก่อนหน้าคือความเข้าใจโดยทั่วไปเกี่ยวกับความอ่อนแอและความแข็งแกร่งโดยทั่วไป แม้ว่าความคิดที่ว่าการคงอยู่ในความรู้สึกที่อ่อนแอไม่ได้หมายความถึงความคงที่ในความรู้สึกที่แข็งแกร่งอาจเห็นด้วยกับสัญชาตญาณ แต่ก็อาจไม่ตรงไปตรงมาพิสูจน์ มันจะมีประโยชน์ในการแสดงความคิดตามที่แนะนำในความคิดเห็นนั้น

เราจะกำหนดกระบวนการที่คงที่ลำดับที่สองได้อย่างไร (ค่าเฉลี่ยความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วมคงที่ตลอดเวลา) แต่มันไม่คงที่ในความหมายที่เข้มงวด (ช่วงเวลาของลำดับที่สูงขึ้นกับเวลา)

ตามที่แนะนำโดย @whuber (ถ้าฉันเข้าใจถูกต้อง) เราสามารถเชื่อมโยงการสังเกตที่มาจากการแจกแจงที่ต่างกัน เราแค่ต้องระวังว่าการแจกแจงนั้นมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากัน (ณ จุดนี้ลองพิจารณาว่าพวกมันสุ่มตัวอย่างเป็นอิสระจากกัน) ในอีกด้านหนึ่งเราสามารถสร้างการสังเกตจากการแจกแจงแบบของนักเรียนด้วยองศาอิสระ ค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนเป็น 3บนมืออื่นเราสามารถใช้การกระจายเสียนกับศูนย์ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน 3 $t$ $5$ $5/(5-2)=5/3$ $5/3$

ทั้งการกระจายแบ่งปันค่าเฉลี่ยเท่ากัน (ศูนย์) และความแปรปรวน ( ) ดังนั้นการต่อค่าสุ่มเข้าด้วยกันจากการแจกแจงเหล่านี้จะเป็นลำดับที่สองที่อยู่นิ่ง อย่างไรก็ตามโด่งที่จุดเหล่านั้นควบคุมโดยเสียนกระจายจะเป็นในขณะที่บรรดาจุดเวลาที่ข้อมูลมาจากนักศึกษา -distribution มันจะเป็น 9ดังนั้นข้อมูลที่สร้างขึ้นในลักษณะนี้จึงไม่คงที่อย่างเคร่งครัดเนื่องจากช่วงเวลาของคำสั่งที่สี่ไม่คงที่ $5/3$ $3$ $t$ $3+6/(5-4)=9$

ความแปรปรวนร่วมนั้นยังคงที่และมีค่าเท่ากับศูนย์เนื่องจากเราพิจารณาการสังเกตอย่างอิสระ สิ่งนี้อาจดูเล็กน้อยดังนั้นเราสามารถสร้างการพึ่งพาระหว่างการสังเกตตามแบบจำลองการตอบโต้อัตโนมัติต่อไปนี้

กับ

Y_{เสื้อ} = φ Y_{เสื้อ - 1} + ε_{เสื้อ}, | φ | < 1, เสื้อ = 1, 2, . . ., 120

$y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t \,, \quad |\phi| < 1 \,, \quad t = 1,2,...,120$

\begin{array}{rcl} ε_{เสื้อ} ~ {\begin{cases} ยังไม่มีข้อความ (0, σ^{2} = 5 / 3) & ถ้า เสื้อ \in [0, 20], [41, 60], [81, 100] \\ {เสื้อ}_{5} & ถ้า เสื้อ \in [21, 40], [61, 80], [101, 120] . \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_t \sim \left\{ \begin{array}{ll} N(0, \sigma^2=5/3) \quad & \hbox{if} \; t \in [0,20], [41,60], [81,100] \\ t_5 \quad & \hbox{if} \; t \in [21,40], [61,80], [101,120] \,. \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$|\phi| < 1$

$20$ $\phi=0.8$ $n=240$

# this function is required below
kurtosis <- function(x)
{
  n <- length(x)
  m1 <- sum(x)/n
  m2 <- sum((x - m1)^2)/n
  m3 <- sum((x - m1)^3)/n
  m4 <- sum((x - m1)^4)/n
  b1 <- (m3/m2^(3/2))^2
  (m4/m2^2)
}
# begin simulation
set.seed(123)
n <- 240
Mmeans <- Mvars <- Mcovs <- Mkurts <- matrix(nrow = 1000, ncol = n/20)
for (i in seq(nrow(Mmeans)))
{
  eps1 <- rnorm(n = n/2, sd = sqrt(5/3))
  eps2 <- rt(n = n/2, df = 5)
  eps <- c(eps1[1:20], eps2[1:20], eps1[21:40], eps2[21:40], eps1[41:60], eps2[41:60], 
    eps1[61:80], eps2[61:80], eps1[81:100], eps2[81:100], eps1[101:120], eps2[101:120])
  y <- arima.sim(n = n, model = list(order = c(1,0,0), ar = 0.8), innov = eps)

  ly <- split(y, gl(n/20, 20))
  Mmeans[i,] <- unlist(lapply(ly, mean))
  Mvars[i,] <- unlist(lapply(ly, var))
  Mcovs[i,] <- unlist(lapply(ly, function(x) 
    acf(x, lag.max = 1, type = "cov", plot = FALSE)$acf[2,,1]))
  Mkurts[i,] <- unlist(lapply(ly, kurtosis))
}

ผลลัพธ์ไม่ใช่สิ่งที่ฉันคาดไว้:

round(colMeans(Mmeans), 4)
#  [1]  0.0549 -0.0102 -0.0077 -0.0624 -0.0355 -0.0120  0.0191  0.0094 -0.0384
# [10]  0.0390 -0.0056 -0.0236
round(colMeans(Mvars), 4)
#  [1] 3.0430 3.0769 3.1963 3.1102 3.1551 3.2853 3.1344 3.2351 3.2053 3.1714
# [11] 3.1115 3.2148
round(colMeans(Mcovs), 4)
#  [1] 1.8417 1.8675 1.9571 1.8940 1.9175 2.0123 1.8905 1.9863 1.9653 1.9313
# [11] 1.8820 1.9491
round(colMeans(Mkurts), 4)
#  [1] 2.4603 2.5800 2.4576 2.5927 2.5048 2.6269 2.5251 2.5340 2.4762 2.5731
# [11] 2.5001 2.6279

$t$ $20$

— javlacalle
แหล่งที่มา

แม้ว่าคุณจะถูกต้องคุณยังไม่ได้แสดงข้อสรุปขั้นสุดท้ายอย่างเพียงพอ (คุณดูเหมือนจะสันนิษฐานว่าช่วงเวลาที่สูงขึ้นของกระบวนการนิ่งลำดับที่สองสามารถกำหนดได้โดยอิสระจากสองช่วงเวลาแรก แต่นั่น - ถึงแม้ว่าบางส่วนเป็นจริง - ไม่ชัดเจน) วิธีที่แข็งแกร่งที่สุดในการแสดงให้เห็นถึงข้อสรุปของคุณคือ เพื่อจัดแสดงกระบวนการซึ่งเป็นลำดับที่สองแบบคงที่ แต่ไม่ใช่แบบนิ่ง แม้ว่าจะเป็นเรื่องง่ายที่จะทำกับลำดับที่เหมาะสมของตัวแปรสุ่มแบบอิสระมันเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะให้ตัวอย่างที่มีความสัมพันธ์ที่ไม่หายไปที่ความล่าช้าทั้งหมด

— whuber

@ เมื่อฉันแก้ไขคำตอบของฉัน ฉันคิดว่าฉันเข้าใจประเด็นของคุณ แต่ความพยายามในการติดตามความคิดของคุณไม่เป็นที่น่าพอใจ

— javlacalle

U_{i}, i = 0, 1

$U_i,i=0,1$

p \neq 1 / 2

$p\ne 1/2$

1 - p

$1-p$

(X_{i})

$(X_i)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

Y_{i} = U_{[i]} - p_{[i]} + X_{i}

$Y_i=U_{[i]}-p_{[i]}+X_i$

[i] = 0

$[i]=0$

i

$i$

[i] = 1

$[i]=1$ Rn <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)

ฉันจะไม่สั่งการจัดวางอย่างเข้มงวดและความแปรปรวนร่วม - (คงที่การใช้คำว่า "อ่อนแอ" สำหรับจุดหลังน่าเสียดายที่มีต่อการสั่งซื้อดังกล่าว) เหตุผลก็คือความคงที่ที่เข้มงวดไม่ได้บ่งบอกถึงความแปรปรวนร่วมแบบคงที่: กระบวนการอาจจะอยู่กับที่อย่างเคร่งครัด แต่ช่วงเวลาการกระจายอาจไม่มีอยู่หรือไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งในกรณีนี้กระบวนการคงที่แบบเข้มงวดนี้ไม่

— Alecos Papadopoulos

เราไม่สามารถจำลองเหตุการณ์ที่ไม่เกิดขึ้นได้โดยตรง สร้างกระบวนการคงที่อย่างเข้มงวดของ Cauchy เพื่อยกตัวอย่างเล็กน้อย กราฟจะดูสมบูรณ์แบบ "นิ่ง" เนื่องจากพฤติกรรมของกระบวนการซ้ำซ้อนพฤติกรรมที่ขึ้นอยู่กับช่วงเวลาเฉพาะเมื่อมีอยู่เท่านั้น หากไม่มีอยู่พฤติกรรมจะถูกอธิบายและขึ้นอยู่กับลักษณะอื่น ๆ ของการกระจาย

— Alecos Papadopoulos

เนื่องจากฉันไม่สามารถแสดงความคิดเห็นได้และฉันมีข้อแม้ที่คุ้มค่าต่อคำตอบของ@javlacalleฉันจึงถูกบังคับให้รวมนี่เป็นคำตอบแยกต่างหาก:

@javlacalleเขียนว่า

คำสั่งที่เข้มงวดนั้นเกี่ยวข้องกับลำดับที่สอง แต่การสนทนานั้นไม่เป็นความจริง

อย่างไรก็ตามการอยู่กับที่ไม่ได้หมายความว่าการอยู่กับที่จะอ่อน เหตุผลก็คือความคงที่ที่แข็งแกร่งไม่ได้หมายความว่ากระบวนการจำเป็นต้องมีช่วงเวลาที่ จำกัด ตัวอย่างเช่นกระบวนการ iid ที่มีการแจกแจงมาตรฐาน Cauchy เป็นเครื่องเขียนอย่างเคร่งครัด แต่ไม่มีช่วงเวลาที่ จำกัด อันที่จริงการมีช่วงเวลาที่ จำกัด แน่นอนเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความคงที่อ่อนแอของกระบวนการคงที่อย่างรุนแรง

การอ้างอิง: Myers, DE, 1989 จะเป็นหรือไม่เป็น . . เครื่องเขียน? นั่นคือคำถาม. คณิตศาสตร์. Geol 21, 347–362

— ShayPal5
แหล่งที่มา