วิธีการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเบย์กับการค้นหาชาวประมงที่หายไปในทะเล

บทความThe Odds, อัปเดตอย่างต่อเนื่องกล่าวถึงเรื่องราวของชาวประมงที่ลองไอส์แลนด์ที่แท้จริงเป็นหนี้ชีวิตของเขาเพื่อสถิติเบย์ นี่เป็นเวอร์ชั่นย่อ:

มีชาวประมงสองคนอยู่บนเรือกลางดึก ในขณะที่คนหนึ่งหลับไปอีกคนหนึ่งก็ตกลงไปในมหาสมุทร เรือยังคงหมุนรอบอัตโนมัติตลอดทั้งคืนจนกระทั่งในที่สุดชายคนแรกก็ตื่นขึ้นมาและแจ้งให้หน่วยยามฝั่งทราบ Coast Guard ใช้ชิ้นส่วนของซอฟต์แวร์ที่เรียกว่าSAROPS (ระบบค้นหาและกู้ภัยที่เหมาะสมที่สุดในการวางแผน)เพื่อค้นหาเขาทันเวลาเนื่องจากเขาเป็นคนที่มีอุณหภูมิและมีพลังงานเหลือพอที่จะลอยได้

นี่คือรุ่นยาว: Speck In The Sea

ฉันต้องการทราบเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการใช้ทฤษฎีบทของเบย์ที่นี่จริง ๆ ฉันพบข้อมูลเกี่ยวกับซอฟต์แวร์ SAROPS เพียงเล็กน้อยโดยใช้ Google

โปรแกรมจำลอง SAROPS

ส่วนประกอบของเครื่องจำลองจะพิจารณาข้อมูลที่ทันเวลาเช่นกระแสน้ำในมหาสมุทรลม ฯลฯ และจำลองเส้นทางล่องลอยที่เป็นไปได้หลายพันเส้นทาง จากเส้นทางดริฟท์เหล่านั้นจะสร้างแผนที่การกระจายความน่าจะเป็น

โปรดทราบว่ากราฟิกต่อไปนี้ไม่ได้อ้างถึงกรณีของชาวประมงที่หายไปที่ฉันกล่าวถึงข้างต้น แต่เป็นตัวอย่างของเล่นที่นำมาจากงานนำเสนอนี้

Probability Map 1 (สีแดงแสดงถึงความน่าจะเป็นสูงสุด; สีน้ำเงินต่ำสุด)

สังเกตวงกลมที่เป็นตำแหน่งเริ่มต้น

Probability Map 2 - เวลาผ่านไปแล้ว

โปรดทราบว่าแผนที่ความน่าจะเป็นกลายเป็นหลายรูปแบบ นั่นเป็นเพราะในตัวอย่างนี้มีการพิจารณาหลายสถานการณ์:

1. บุคคลกำลังลอยอยู่ในน้ำ - โหมดบนกลาง
2. บุคคลนั้นอยู่ในแพชูชีพ (ได้รับผลกระทบจากลมเหนือมากขึ้น) - โหมด 2 ด้านล่าง (แยกเพราะ "เอฟเฟ็กต์ jibing")

แผนที่ความน่าจะเป็น 3 - การค้นหาดำเนินไปตามทางเดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีแดง ภาพนี้แสดงเส้นทางที่ดีที่สุดที่ผู้วางแผนสร้างขึ้น (ส่วนประกอบอื่นของ SAROPS) อย่างที่คุณเห็นเส้นทางเหล่านั้นถูกค้นหาและเครื่องจำลองความน่าจะเป็นได้รับการปรับปรุงโดยเครื่องจำลอง

คุณอาจสงสัยว่าทำไมพื้นที่ที่ได้รับการค้นหาจึงไม่ลดลงจนน่าจะเป็นศูนย์ นั่นเป็นเพราะมีความน่าจะเป็นของความล้มเหลว , แยกตัวประกอบใน, นั่นคือมีโอกาสที่ไม่สำคัญที่ผู้ค้นหาจะมองข้ามคนในน้ำ เข้าใจได้ว่าความน่าจะเป็นของความล้มเหลวนั้นสูงกว่าคนที่อยู่คนเดียวมากกว่าคนในแพชูชีพ (มองเห็นได้ง่ายกว่า) ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมความน่าจะเป็นในพื้นที่ด้านบนจึงไม่ลดลงมากนัก$p(\text{fail})$

ผลของการค้นหาที่ไม่สำเร็จ

นี่คือที่ทฤษฎีบทของเบย์มาเพื่อเล่น เมื่อทำการค้นหาแล้วแผนที่ความน่าจะเป็นจะได้รับการอัปเดตตามลำดับเพื่อให้สามารถวางแผนการค้นหาอื่นได้อย่างเหมาะสมที่สุด

หลังจากตรวจสอบทฤษฎีบทของเบย์ในวิกิพีเดียและในบทความคำอธิบายง่าย ๆ (และสั้น) ของทฤษฎีบทของเบย์ในBetterExplained.com

ฉันใช้สมการของเบย์:

$$P(\text{A}\mid\text{X}) = \frac{P(\text{X}\mid\text{A}) \times P(\text{A})}{P(\text{X})}$$

และนิยาม A และ X ดังนี้ ...

• เหตุการณ์ A:บุคคลอยู่ในพื้นที่นี้ (เซลล์กริด)

• ทดสอบ X:ค้นหาพื้นที่ไม่สำเร็จ (เซลล์กริด) เช่นค้นหาพื้นที่นั้นและไม่เห็นอะไรเลย

ผลผลิต

$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{unsuccessful}\mid\text{person there}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$$

$P(\text{fail})$$P(\text{fail})$คืออะไร

ดังนั้นตอนนี้เรามี

$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{fail}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$$

1. สมการของเบย์ใช้ที่นี่อย่างถูกต้องหรือไม่?

2. ตัวหารความน่าจะเป็นของการค้นหาที่ไม่สำเร็จจะคำนวณอย่างไร

   นอกจากนี้ในการค้นหาและช่วยเหลือที่เหมาะสมของระบบการวางแผนพวกเขากล่าวว่า

   ความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้"ปกติในแบบเบย์ปกติ"เพื่อผลิตความน่าจะเป็นหลัง

3. อะไร"ปกติในแฟชั่นคชกรรมปกติ"หมายถึง?

   $P(\text{unsuccessful})$

4. $P(\text{person there})$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful})$

อีกบันทึกย่อที่ทำให้เข้าใจง่ายอีกอย่างหนึ่ง - ตามระบบการวางแผนการค้นหาและกู้ภัยที่เหมาะสมการกระจายหลังถูกคำนวณโดยการอัพเดทความน่าจะเป็นของเส้นทางดริฟท์จำลองและจากนั้นสร้างแผนที่ความน่าจะเป็นแบบ gridded ใหม่ เพื่อให้ตัวอย่างนี้ง่ายพอฉันเลือกที่จะไม่ใส่ซิมพา ธ และมุ่งเน้นไปที่เซลล์กริด

1. สมมติว่ามีความเป็นอิสระระหว่างเซลล์กริดแล้วใช่ว่าจะปรากฏว่าทฤษฎีบทของเบย์ถูกนำไปใช้อย่างเหมาะสม
2. $$P(X) = P(X|A)P(A) + P(X|A^c)P(A^c)$$ $A^c$$A$$P(X|A^c)=1$ 1
3. ฉันไม่แน่ใจจริงๆว่า "การทำให้เป็นมาตรฐานในแบบเบย์ตามปกติหมายถึงอะไร" เนื่องจากฉันไม่ได้เขียนคู่มือ แต่พวกเขากำลังพูดถึงความจริงที่ว่าสมการทั้งสามต่อไปนี้เพียงพอที่จะค้นหา$P(A|X)$ $$P(A|X) \propto P(X|A)P(A)\quad P(A^c|X), \propto P(X|A^c)P(A^c), \mbox{ and } P(A|X)+P(A^c|X) = 1$$ $P(X)$

4. ลองขยายสัญกรณ์ให้มีกริดเซลล์ $i$$A_i$$i$$X_i$$i$$X$

   • $\sum_i P(A_i|X)=1$
   • $P(A_i|X) = P(A_i|X_i)\propto P(X_i|A_i)P(A_i)$$P(A_i|X) \propto P(A_i)$$P(A_i|X)$

   $P(A_i|X)$และปรับปรุงแผนที่ให้สอดคล้องกัน

ฉันถูกชี้ไปที่หนังสือที่มีทั้งบทที่อุทิศให้กับคำถามของฉัน - การวิเคราะห์ปฏิบัติการทางเรือ - โดยอดีตศาสตราจารย์ที่เคยเป็นนักบินเฮลิคอปเตอร์และได้ปฏิบัติภารกิจค้นหาและกู้ภัยจริง ๆ แล้วไม่น้อยไปกว่านี้!

ในบทที่ 8 ตัวอย่างมีให้บางอย่างเช่นนี้ (ฉันปรับแต่งเล็กน้อย):

เริ่มต้นด้วยการแจกจ่ายก่อนหน้า gridded สำหรับตำแหน่งของคนหายเรือ ฯลฯ

การกระจายก่อนหน้า:

ทำการค้นหาในส่วนของกริดและความน่าจะเป็นได้รับการอัพเดตด้วยการแจกแจงแบบหลังโดยการใช้สมการของเบย์ในแบบเดียวกับที่ฉันพูดถึงในคำถามของฉัน:

$$P(\text{target in (i,j)}\mid\text{no detection}) = \frac{P(\text{no detection}\mid\text{target in (i,j)}) \times P(\text{target in (i,j)})}{P(\text{no detection})}$$

โดยที่ (i, j) = (lat, long)

ในกรณีนี้ฉันตัดสินใจค้นหาคอลัมน์ 3 เนื่องจากคอลัมน์นั้นมีความน่าจะเป็นทั้งหมดก่อนหน้านี้มากที่สุด

การกระจายหลังปกติหลังจากการค้นหาคอลัมน์ที่สามด้วย pFail = 0.2:

คำถามของฉันส่วนใหญ่เกี่ยวกับวิธีการหลังเป็นปกติ นี่คือวิธีการที่ทำในหนังสือ - เพียงแค่แบ่งแต่ละหลังน่าจะเป็นของแต่ละบุคคลโดยผลรวม , S :

ฉันเลือก 0.2 ความน่าจะเป็นของการค้นหาที่ล้มเหลวเพราะศาสตราจารย์ของฉันต้องบอกว่า"เราค้นหาความน่าจะเป็นที่จะตรวจจับได้ 80% เท่านั้นเพราะโดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้จะเป็นการแลกเปลี่ยนที่ดีที่สุดระหว่างความตรงเวลาและความแม่นยำ"

แค่เตะก็วิ่งอีกตัวอย่างด้วยpFail 0.5 ในขณะที่ในตัวอย่างแรก ( pFail = 0.2) เส้นทางการค้นหาที่ดีที่สุดถัดไป (จากการหาแนวเส้นหลังปกติและสมมติว่าการค้นหาเส้นตรงไม่มีเส้นทแยงมุมหรือซิกแซก) จะบินข้ามคอลัมน์ 2 ในตัวอย่างที่สอง ( pFail = 0.5) เส้นทางที่ดีที่สุดถัดไปคือข้ามแถวที่ 2

การกระจายหลังปกติหลังจากค้นหาคอลัมน์ที่สามด้วย pFail = 0.5:

นอกจากนี้เขายังกล่าวเพิ่มเติมว่า"เครื่องบินมีรายการตรวจสอบขนาดเล็กกับพวกเขาเพื่อช่วยในการกำหนดระดับความสูงและความเร็วของเครื่องบินที่ดีที่สุดการทำงานในเฮลิคอปเตอร์บินเหมือนนั่งอยู่บนเครื่องซักผ้า