ตัวอย่างของตัวแปรปกติสองตัวที่มีความสัมพันธ์ * ซึ่งผลรวมไม่ปกติ

ฉันรับรู้ถึงตัวอย่างที่ดีของคู่ตัวแปรสุ่มที่มีความสัมพันธ์ซึ่งปกติเล็กน้อย แต่ไม่ได้ร่วมกัน ดูคำตอบนี้โดยDilip Sarwateและหนึ่งในนี้โดยพระคาร์ดินัล

ฉันยังรับรู้ถึงตัวอย่างของตัวแปรสุ่มสองตัวที่มีผลรวมไม่ปกติ ดูคำตอบนี้โดยมาโคร แต่ในตัวอย่างนี้ตัวแปรสุ่มสองตัวไม่มีการเชื่อมโยงกัน

มีตัวอย่างของตัวแปรสุ่มสองตัวที่มีความแปรปรวนร่วมที่ไม่ใช่ศูนย์และผลรวมที่ไม่ปกติหรือไม่? หรือเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ว่าผลรวมของตัวแปรสุ่มปกติสองตัวใด ๆ ที่มีความสัมพันธ์กันแม้ว่าพวกเขาจะไม่ได้เป็นตัวแปรตามปกติก็ตาม

[บริบท: ฉันมีคำถามที่ถามทำการบ้านสำหรับการกระจายของX + ขYที่XและYเป็นปกติมาตรฐานที่มีความสัมพันธ์ρ ฉันคิดว่าคำถามหมายถึงการระบุว่าพวกเขาเป็นตัวแปรปกติ แต่ฉันสงสัยว่าจะสามารถพูดอะไรได้หรือไม่หากไม่มีข้อสมมุติพิเศษสำหรับρไม่ใช่ศูนย์]$aX+bY$$X$$Y$$\rho$$\rho$

ขอบคุณ!

เกือบทุก ๆ bivariate จะสร้างคู่ของตัวแปรสุ่มปกติที่มีความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (บางคนจะให้เป็นศูนย์ แต่มันก็เป็นกรณีพิเศษ) ส่วนใหญ่ (เกือบทั้งหมด) จะสร้างผลรวมที่ไม่ปกติ

ในบางครอบครัว copula ต้องการ (ประชากร) สหสัมพันธ์สเปียร์แมนสามารถผลิต; ความยากลำบากในการค้นหาความสัมพันธ์ของเพียร์สันสำหรับระยะขอบปกติเท่านั้น เป็นไปได้ในหลักการ แต่พีชคณิตอาจจะค่อนข้างซับซ้อนโดยทั่วไป [อย่างไรก็ตามหากคุณมีความสัมพันธ์ของประชากรสเปียร์แมนความสัมพันธ์ของเพียร์สัน - อย่างน้อยสำหรับระยะขอบเทลด์แบบเบาเช่นเกาส์เซียน - อาจไม่ไกลจากในหลาย ๆ กรณี]

ทั้งหมด แต่ตัวอย่างสองตัวอย่างแรกในพล็อตของพระคาร์ดินัลควรให้ผลรวมที่ไม่ปกติ

บางตัวอย่าง - สองอันแรกนั้นมาจากตระกูลโคคูล่าเดียวกันกับลำดับที่ห้าของการแจกแจงตัวอย่างแบบ bivariate ตัวอย่างที่สามคือความเสื่อม

ตัวอย่างที่ 1:

$\theta=-0.7$

ที่นี่ผลรวมนั้นแหลมมากอย่างชัดเจนและเอียงค่อนข้างถูก

$\ $

ตัวอย่างที่ 2:

$\theta=2$

$-(x+y)$

$\hspace{1cm}$

$\ $

$X^*=-X$$Y^*=-Y$

ในทางกลับกันถ้าเราเพียงแค่ลบล้างหนึ่งในนั้นเราจะเปลี่ยนความสัมพันธ์ระหว่างความแข็งแกร่งของความเบ้กับเครื่องหมายของความสัมพันธ์ (แต่ไม่ใช่ทิศทางของมัน)

มันคุ้มค่าที่จะได้เล่นกับ copulas ที่แตกต่างกันสองสามอย่างเพื่อรับรู้ว่าอะไรจะเกิดขึ้นกับการกระจายตัวแบบไบวาริเอทและระยะขอบปกติ

ส่วนต่างของ Gaussian กับ t-copula สามารถทดลองได้โดยไม่ต้องกังวลกับรายละเอียดของ copulas (สร้างจากความสัมพันธ์ bivariate t ซึ่งง่ายจากนั้นเปลี่ยนเป็นระยะขอบสม่ำเสมอผ่านการแปลงความน่าจะเป็นแบบอินทิกรัล c ผกผันปกติ) มันจะมีผลรวมที่ไม่ปกติ แต่สมมาตร ดังนั้นแม้ว่าคุณจะไม่มี copula-แพ็คเกจที่ดีคุณยังสามารถทำบางสิ่งบางอย่างได้อย่างง่ายดาย (เช่นถ้าฉันพยายามแสดงตัวอย่างที่น่าสนใจใน Excel ฉันอาจเริ่มด้วย t-copula)

-

ตัวอย่างที่ 3 : (นี่เป็นสิ่งที่ฉันควรเริ่มต้นด้วย)

$U$$V=U$$0\leq U<\frac{1}{2}$$V=\frac{3}{2}-U$$\frac{1}{2}\leq U\leq 1$$U$$V$$X=\Phi^{-1}(U), Y=\Phi^{-1}(V)\,$$X+Y$

ในกรณีนี้ความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาประมาณ 0.66

$X$$Y$

$U$$(\frac{1}{2}-c,\frac{1}{2}+c)$$c$$[0,\frac{1}{2}]$$V$

บางรหัส:

library("copula")
par(mfrow=c(2,2))

# Example 1
U <- rCopula(100000, claytonCopula(-.7))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
       col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
       main="Bivariate distribution")
text(-3,-1.2,"cor = -0.68")
text(-2.5,-2.8,expression(paste("Clayton: ",theta," = -0.7")))

ตัวอย่างที่สอง:

#--
# Example 2:
U <- rCopula(100000, claytonCopula(2))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
    col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
    main="Bivariate distribution")
text(3,-2.5,"cor = 0.68")
text(2.5,-3.6,expression(paste("Clayton: ",theta," = 2")))
#
par(mfrow=c(1,1))

รหัสสำหรับตัวอย่างที่สาม:

#--
# Example 3:
u <- runif(10000)
v <- ifelse(u<.5,u,1.5-u)
x <- qnorm(u)
y <- qnorm(v)
hist(x+y,n=100)

ฉันมาด้วยตัวอย่างหนึ่ง X คือตัวแปรปกติมาตรฐานและ Y = -X จากนั้น X + Y = 0 ซึ่งเป็นค่าคงที่ ทุกคนสามารถยืนยันว่าเป็นตัวอย่างได้หรือไม่

เราทราบความจริงว่าถ้า X, Y เป็นค่าปกติแล้วผลรวมของพวกมันก็เป็นปกติ แต่ถ้าความสัมพันธ์ของพวกเขาคือ -1 ??

ฉันสับสนเล็กน้อยเกี่ยวกับเรื่องนี้ ขอบคุณ.