จำนวนสีที่คาดหวังที่แตกต่างกันเมื่อวาดโดยไม่ต้องเปลี่ยน

พิจารณาโกศที่มีลูกสีต่างกันโดยที่ เป็นสัดส่วนของลูกบอลสีในบรรดาลูกบอล ( ) ฉันวาดลูกบอลจากโกศโดยไม่ต้องเปลี่ยนและดูที่หมายเลขของสีที่ต่างกันระหว่างลูกบอลที่ถูกวาด ความคาดหวังของในฐานะฟังก์ชันของขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่เหมาะสมของการแจกแจงคืออะไร? $N$ $P$ $p_i$ $i$ $N$ $\sum_i p_i = 1$ $n \leq N$ $\gamma$ $\gamma$ $n/N$ $\mathbf{p}$

เพื่อให้เข้าใจมากขึ้นถ้าและสำหรับแล้วฉันมักจะเห็นว่าสี, ที่อยู่,N) มิฉะนั้นก็สามารถแสดงให้เห็นว่าความคาดหวังของมีN) สำหรับและคงที่มันจะดูเหมือนว่าปัจจัยที่จะคูณจะสูงสุดเมื่อเหมือนกัน; จำนวนที่คาดหวังของสีที่ต่างกันที่เห็นถูก จำกัด ขอบเขตด้วยฟังก์ชันของและเช่น, เอนโทรปีของ ? $N = P$ $p_i = 1/P$ $i$ $n$ $\gamma = P (n/N)$ $\gamma$ $>P(n/N)$ $P$ $N$ $n/N$ $\mathbf{p}$ $n/N$ $\mathbf{p}$

ดูเหมือนว่าจะเกี่ยวข้องกับปัญหาของตัวสะสมคูปองยกเว้นการสุ่มตัวอย่างจะดำเนินการโดยไม่มีการแทนที่และการแจกคูปองไม่สม่ำเสมอ

probability expected-value coupon-collector-problem

— a3nm
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าปัญหานี้สามารถระบุได้เป็น: จำนวนที่คาดหวังของรายการที่ไม่ใช่ศูนย์ในตัวอย่างจากการกระจาย hypergeometric หลายตัวแปรคืออะไร?

— ประสาทวิทยา

สมมติว่าคุณมีสีที่ Nขอแสดงว่าจำนวนของลูกสีเพื่อ Nให้และปล่อยให้ notate ชุดซึ่งประกอบด้วยย่อยองค์ประกอบของBให้แทนจำนวนวิธีที่เราสามารถเลือก $k$ $k \leq N$ $b_i$ $i$ $\sum b_i = N$ $B = \{b_1, \ldots, b_k\}$ $E_i(B)$ $i$ $B$ $Q_{n, c}$ $n$ องค์ประกอบจากชุดข้างต้นดังกล่าวว่าจำนวนของสีที่แตกต่างกันอยู่ในชุดที่เลือกเป็นคสำหรับสูตรนั้นง่าย: $c$ $c = 1$

Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n})

$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$

สำหรับเราสามารถนับชุดลูกบอลขนาดซึ่งมีได้สูงสุด 2 สีลบด้วยจำนวนชุดที่มีสี: $c = 2$ $n$ $1$

Q_{n, 2} = \sum_{E \in E_{2} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - (\binom{k - 1}{1}) Q_{n, 1}

$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$

$\binom{k - 1}{1}$ คือจำนวนวิธีที่คุณสามารถเพิ่มสีให้กับสีคงที่ซึ่งคุณจะมี 2 สีหากคุณมีสีทั้งหมดสูตรทั่วไปคือถ้าคุณมีคงสีและคุณต้องการให้สีออกมาจากมันในขณะที่มีสีทั้งหมด ( ) จะc_1} ตอนนี้เรามีทุกอย่างที่จะได้รับสูตรทั่วไปสำหรับ : $k$ $c_1$ $c_2$ $k$ $c_1 \leq c_2 \leq k$ $\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$ $Q_{n, c}$

Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - \sum_{i = 1}^{c - 1} (\binom{k - i}{c - i}) Q_{n, i}

$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$

ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้สีแน่นอนถ้าคุณวาดลูกบอล : $c$ $n$

P_{n, c} = Q_{n, c} / (\binom{N}{n})

$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$

นอกจากนี้ยังทราบว่าถ้าx $\binom{x}{y} = 0$ $y > x$

อาจมีกรณีพิเศษที่สูตรสามารถลดความซับซ้อนได้ ฉันไม่ได้กังวลที่จะหาการทำให้เรียบง่ายในครั้งนี้

ค่าที่คาดหวังที่คุณกำลังมองหาจำนวนสีขึ้นอยู่กับคือ: $n$

γ_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i

$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$

— jakab922
แหล่งที่มา

คุณเรียกความน่าจะเป็นแต่ดูเหมือนว่าคุณได้กำหนดไว้ว่าเป็นผลรวมของจำนวนเต็ม คุณลืมแบ่งบางสิ่งหรือไม่?

P_{n, c}

$P_{n,c}$

— ประสาทวิทยา

ใช่ฉันเดาว่าคุณพูดถูก คุณต้องหารด้วยแต่น่าเสียดายที่มันยังไม่ถูกต้อง ถ้าและฉันทำการนับสองครั้งในสูตรข้างต้น

(\binom{N}{n})

$\binom{N}{n}$

E, F \in E_{c} (B)

$E, F \in E_{c}(B)$

E \cap F \neq \emptyset

$E \cap F \neq \emptyset$

— jakab922

ดูเหมือนว่าสูตรสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการกรอง ฉันจะโพสต์การแก้ไขในภายหลังวันนี้

— jakab922