มุมฉากมีความหมายอย่างไรในบริบทของสถิติ

60

ในบริบทอื่นหมายถึงมุมฉาก "ที่มุมฉาก" หรือ "ตั้งฉาก"

มุมฉากหมายถึงอะไรในบริบททางสถิติ?

ขอบคุณสำหรับคำอธิบายใด ๆ

descriptive-statistics

2

ขอบคุณสำหรับคำถาม ฉันถามคนทั่วไปมากกว่านี้ว่าอะไรเป็นสิ่งที่พบได้บ่อยในทุก ๆ กรณีของ orthogonality ฉันก็สนใจที่จะรู้ว่าอิสรภาพทางสถิติทำให้อสังหาริมทรัพย์นี้เป็นที่พึงพอใจได้อย่างไร? physics.stackexchange.com/questions/67506

— Val

5

ฉันประหลาดใจที่ไม่มีคำตอบใด ๆ ที่นี่พูดถึงว่าโดยปกติมันจะมีความหมายในเชิงคณิตศาสตร์ "เชิงพีชคณิต" ความรู้สึกของคำ ตัวอย่างเช่นเมื่อเราพูดถึง "ชุดมุมฉากของตัวแปร" มักจะมีความหมายว่า

สำหรับเมทริกซ์กับชุดของตัวแปรX

"orthonormal" ใช้เช่นกัน

X^{T} X = I

$X^{T}X=I$

X

$X$

— ความน่าจะเป็นของระบบ

4

@probability "ฉาก" มีความหมายสำหรับพื้นที่เวกเตอร์ที่มีรูปแบบสมการกำลังสอง

: สองเวกเตอร์

และ

เป็นมุมฉากและถ้าหาก

0

"orthonormal" หมายความว่านอกจากที่

)

ดังนั้น "orthogonal" และ "orthonormal" จึงไม่มีความหมายเหมือนกันและไม่ จำกัด เฉพาะเมทริกซ์ จำกัด ( เช่น ,

และ

Q

$Q$

v

$v$

w

$w$

Q (v, w) = 0

$Q(v,w)=0$

Q (v, v) = 1 = Q (w, w)

$Q(v,v)=1=Q(w,w)$

v

$v$

w

$w$ อาจจะเป็นองค์ประกอบของพื้นที่ Hilbert เช่นพื้นที่ของ

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนมูลค่าใน

ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัคลาสสิก).

L^{2}

$L^2$

R^{3}

$\mathbb{R}^3$

— whuber

ลิงค์นี้อาจช่วยให้เข้าใจการเชื่อมต่อ (ไม่) ของ orthogonality และสหสัมพันธ์ alecospapadopoulos.wordpress.com/2014/08/16/…

— RBirkelbach

คอลเลกชันที่เพิ่มขึ้นของคำตอบที่แตกต่างกัน (แต่ถูกต้อง) บ่งชี้ว่านี่เป็นเธรด CW ที่ดี

— whuber

-16

มันหมายความว่าพวกเขา [ตัวแปรสุ่ม X, Y] เป็น 'อิสระ' ซึ่งกันและกัน ตัวแปรสุ่มอิสระมักจะถูกพิจารณาว่าเป็น 'มุมฉาก' ซึ่งกันและกันโดย 'มุมฉาก' หมายความว่าผลิตภัณฑ์ภายในของทั้งสองคือ 0 (เงื่อนไขเทียบเท่าจากพีชคณิตเชิงเส้น)

ตัวอย่างเช่นบนระนาบ XY แกน X และ Y บอกว่าเป็น orthogonal เพราะถ้าค่า x ของจุดที่กำหนดเปลี่ยนไปพูดจาก (2,3) ถึง (5,3) ค่า y ยังคงเหมือนเดิม (3), และในทางกลับกัน. ดังนั้นตัวแปรทั้งสองจึงเป็น 'อิสระ'

ดูรายการวิกิพีเดียสำหรับความเป็นอิสระและOrthogonality

— crazyjoe
แหล่งที่มา

24

เนื่องจากความแตกต่างระหว่างสหสัมพันธ์และการขาดการพึ่งพาอาศัยกันเป็นสิ่งสำคัญการถือเอาฉาก orthogonality กับความเป็นอิสระไม่ใช่สิ่งที่ดีที่จะทำ

— whuber

เนื่องจากทั้ง OP และผู้ตอบไม่มีการใช้งานมานานกว่าหนึ่งปีมันอาจจะคุ้มค่าที่จะแก้ไขอย่างน้อยก็ทำให้มันเป็นคำตอบที่ชัดเจน ฉันพยายามแล้ว

— อัสซาด Ebrahim

1

ตัวอย่างหนึ่งที่พบบ่อยในสถิตินี้คือ PCA เทียบกับ ICA โดยมี PCA บังคับใช้ orthogonality และ ICA เพื่อเพิ่มความเป็นอิสระสูงสุด

— jona

5

สำหรับผู้ดำเนินรายการ: เป็นเรื่องน่าละอายที่คำถามนี้ได้รับความนิยมและดีมากคือ "ติดอยู่" พร้อมกับคำตอบที่คิดว่าจะลดระดับลงมาก (คะแนนปัจจุบัน -4) เนื่องจากทั้ง OP และผู้ตอบไม่ได้เปิดใช้งานมานานกว่าหนึ่งปีอาจจะสามารถลบเช็คที่ "ยอมรับ" และคำถามจะถูก "open" คำตอบที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นด้านล่างพูดเพื่อตัวเอง

— อัสซาด Ebrahim

1

@Assad mods ไม่สามารถลบการยอมรับของ OP ได้ นั่นคือจังหวัดของ OP

— Glen_b

33

ฉันไม่สามารถแสดงความคิดเห็นเพราะฉันมีคะแนนไม่เพียงพอดังนั้นฉันจึงถูกบังคับให้พูดความคิดของฉันเป็นคำตอบโปรดยกโทษให้ฉัน จากสิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ฉันรู้ฉันไม่เห็นด้วยกับคำตอบที่เลือกโดย @crazyjoe เพราะ orthogonality ถูกกำหนดให้เป็น

E [X Y^{⋆}] = 0

$E[XY^{\star}] = 0$

ดังนั้น:

ถ้ามี pdf สมมาตรพวกมันจะขึ้นอยู่กับมุมฉาก $Y=X^2$

ถ้าแต่ pdf เป็นศูนย์สำหรับค่าลบแสดงว่ามันขึ้นอยู่กับ แต่ไม่ใช่มุมฉาก $Y=X^2$

ดังนั้นความตั้งฉากไม่ได้หมายความถึงความเป็นอิสระ

— user497804
แหล่งที่มา

2

Y^{*}

$Y^{*}$

2

@mugen, อาจบ่งบอกถึงคอนจูเกตที่ซับซ้อน

— A. Donda

E [X Y]

$E[XY]$

X

$X$

Y

$Y$

⟨ X, Y ⟩ = E [X Y]

$\langle X,Y\rangle=E[XY]$

21

ถ้า X และ Y เป็นอิสระจากนั้นพวกเขาจะเป็นมุมฉาก แต่การสนทนานั้นไม่เป็นความจริงตามตัวอย่างของผู้ใช้ 497804 ที่ฉลาด สำหรับคำจำกัดความที่แน่นอนอ้างถึง

$C_1$ $C_2$ ${\rm cov}(C_1,C_2)=0$

(หน้า 376, ความน่าจะเป็นและกระบวนการสุ่มโดยเจฟฟรีย์กริมเมตต์และเดวิด Stirzaker)

$X$ $Y$ $F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$ $x,y \in \mathbb{R}$

$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$

(หน้า 99, ความน่าจะเป็นและกระบวนการสุ่มโดย Geoffrey Grimmett และ David Stirzaker)

— Naresh
แหล่งที่มา

21

@ เมี่ยนได้ให้คำตอบแล้วและตามที่ระบุโดย @whuber ว่า orthogonal หมายถึงไม่เกี่ยวข้องกัน อย่างไรก็ตามฉันหวังว่าผู้คนจะให้การอ้างอิงบางอย่าง คุณอาจพิจารณาลิงค์ต่อไปนี้มีประโยชน์เนื่องจากอธิบายแนวคิดของสหสัมพันธ์จากมุมมองทางเรขาคณิต

เรขาคณิตของเวกเตอร์ (ดูหน้า 7)
ตัวแปรเชิงเส้นอิสระมุมฉากและตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้อง
ภาพกราฟิกแสดงความสัมพันธ์สองมิติในปริภูมิเวกเตอร์ (อาจไม่ฟรีสำหรับคุณ)

— Bernd Weiss
แหล่งที่มา

1

ลิงค์ที่สองอธิบายทุกสิ่งที่ฉันอยากรู้ ขอบคุณ! :)

— Lenar Hoyt

ตัวแปรสุ่มที่มีมูลค่าจริงXและYไม่มีการเชื่อมโยงหากและถ้าตัวแปรตรงกลางX-E(X)และY-E(Y)เป็นมุมฉาก [ref]

— knedlsepp

1

@Bernd สองลิงค์แรกไม่ทำงาน

— จม

@ ยอดเยี่ยมฉันเดาว่านี่เป็นบทความที่ลิงก์ที่สองชี้ไป

— Josh O'Brien

8

เว็บไซต์ NIST (อ้างอิงด้านล่าง) กำหนดมุมฉากดังนี้ "การออกแบบการทดลองเป็นมุมฉากหากผลกระทบของปัจจัยใดก็ตามที่สมดุล (ผลรวมเป็นศูนย์) ข้ามผลกระทบของปัจจัยอื่น ๆ "

ใน deisgn ทางสถิติฉันเข้าใจ orthogonal เพื่อหมายถึง "ไม่ได้ทำร่วม" หรือ "ไม่ได้ใช้นามแฝง" สิ่งนี้มีความสำคัญเมื่อออกแบบและวิเคราะห์การทดสอบของคุณหากคุณต้องการตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณสามารถระบุปัจจัย / การรักษาต่าง ๆ ได้อย่างชัดเจน หากการทดสอบที่คุณออกแบบนั้นไม่ใช่มุมฉากนั่นหมายความว่าคุณจะไม่สามารถแยกผลของการรักษาที่แตกต่างกันได้อย่างสมบูรณ์ ดังนั้นคุณจะต้องทำการทดสอบติดตามเพื่อแยกแยะผลกระทบ สิ่งนี้จะเรียกว่า augmented deisgn หรือการออกแบบเชิงเปรียบเทียบ

ความเป็นอิสระดูเหมือนจะเป็นตัวเลือกคำที่ไม่ดีเนื่องจากมันใช้ในด้านอื่น ๆ ของการออกแบบและการวิเคราะห์

NIST Ref http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section7/pri7.htm

— คริส
แหล่งที่มา

3

+1 สำหรับการแนะนำบริบทการออกแบบการทดลอง คำว่า "orthogonal" ควรที่จะใช้ที่นี่เพราะจริงๆแล้วมันเป็นสิ่งเดียวกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์: เวกเตอร์ (คอลัมน์) ที่เป็นตัวแทนของปัจจัยในการทดลองซึ่งถือว่าเป็นองค์ประกอบของปริภูมิแบบยุคลิดจริง ๆ จะเป็นมุมฉาก (ขวา มุมด้วยผลิตภัณฑ์ศูนย์จุด) ในการออกแบบมุมฉาก

— whuber

2

เป็นไปได้ว่าพวกเขาหมายถึง 'ไม่เกี่ยวข้อง' หากพวกเขาพูดว่า 'มุมฉาก'; ถ้าสองปัจจัยเป็นมุมฉาก (เช่นในการวิเคราะห์ปัจจัย) พวกเขาไม่เกี่ยวข้องความสัมพันธ์ของพวกเขาคือศูนย์

— ท่าทาง
แหล่งที่มา

3

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (หรือตีความได้ตามธรรมชาติ) ค่าโคไซน์ของมุม เมื่อเป็นศูนย์คุณคิดว่ามุมคืออะไร? :-) Uncorrelated ไม่ได้หมายความว่าไม่เกี่ยวข้อง!

— whuber

ฉันไม่ได้บอกว่าคุณผิด แต่คุณช่วยยกตัวอย่างบางอย่างที่ไม่เกี่ยวข้องและเกี่ยวข้องกันได้ไหม หรือในทางกลับกัน? ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจความแตกต่าง

— เมี่ยน

และใช่ฉันรู้ว่ามุมนั้นจะเป็น 90 ° มุมฉากคือมุมฉาก

— เมี่ยน

5

X

$X$

{- 1, 0, 1}

$\{-1,0,1\}$

Y = X^{2}

$Y=X^2$

X

$X$

Y

$Y$

ρ_{X, Y} = 0

$\rho_{X,Y}=0$

Y

$Y$

X

$X$

อ่าใช่ขอบคุณ แต่ตรงกันข้ามไม่ได้เป็นไปได้หรือไม่ (ถ้าไม่มีตัวแปรตัวที่สามหรืออะไรที่คล้ายกัน)?

— เมี่ยน

2

อ้างอิงจากhttp://terpconnect.umd.edu/~bmomen/BIOM621/LineardepCorrOrthogonal.pdfความเป็นอิสระเชิงเส้นเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ orthogonality หรือ uncorrelatedness แต่มีความแตกต่างที่ชัดเจนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง orthogonality ไม่ใช่ความสัมพันธ์

— user45059
แหล่งที่มา

1

$(X,Y)$ $X\cdot Y=0$

C o v (X - E [X], Y - E [Y]) = E [X \cdot Y] = E [0] = 0 ⟹ C o r r (X - E [X], Y - E [Y]) = 0

$Cov(X-E[X],Y-E[Y]) = E[X\cdot Y]= E[0]=0\implies \\Corr(X-E[X],Y-E[Y])=0$

— Diogo
แหล่งที่มา

1

ในเศรษฐมิติสมมติฐาน orthogonality หมายถึงค่าที่คาดหวังของผลรวมของข้อผิดพลาดทั้งหมดคือ 0 ตัวแปรทั้งหมดของ regressor คือ orthogonal ตามเงื่อนไขข้อผิดพลาดในปัจจุบัน

$E(x_{i}·ε_{i}) = 0$

ในแง่ที่ง่ายกว่ามันหมายถึงการถดถอยคือ "ตั้งฉาก" กับข้อผิดพลาด

— Leopold W.
แหล่งที่มา

-2

IV ที่ไม่เกี่ยวข้อง (อิสระ) อย่างน้อยสองอันต่อกันและกัน แต่ทั้งคู่มีอิทธิพลต่อ DV IV แต่ละอันมีส่วนช่วยในการแยกแยะคุณค่าของผลลัพธ์ในขณะที่ IV ของทั้งคู่หรือทั้งหมดมีส่วนช่วยในการทำนายรายได้ IV ไม่มีความสัมพันธ์กันและมักจะอยู่ในมุมฉาก * ดู Venn Diagram

ตัวอย่าง: ความสัมพันธ์ระหว่างแรงจูงใจและการศึกษาต่อรายได้

IV = ปีแห่งการศึกษา IV = แรงจูงใจ DV = รายได้

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat505/node/167

— ตบเบา ๆ
แหล่งที่มา

-2

ตัวแปรสุ่มที่เกี่ยวข้องหมายถึงตัวแปรที่บอกว่า X และ Y สามารถมีความสัมพันธ์ใด ๆ อาจเป็นแบบเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น คุณสมบัติความเป็นอิสระและมุมฉากจะเหมือนกันถ้าตัวแปรทั้งสองเกี่ยวข้องกันเป็นเส้นตรง

— J Subramani
แหล่งที่มา

2

สิ่งนี้ทำให้ความผิดพลาดเกิดขึ้นโดย crazyjoe: orthogonality ไม่ได้หมายความถึงความเป็นอิสระเว้นแต่ตัวแปรจะกระจายกันตามปกติ

— whuber