ทำไมการกระจายตัวตัวอย่างของความแปรปรวนเป็นการแจกแจงแบบไคสแควร์

คำสั่ง

การแจกแจงตัวอย่างของความแปรปรวนตัวอย่างคือการแจกแจงแบบไคสแควร์ที่มีระดับความเป็นอิสระเท่ากับโดยที่คือขนาดตัวอย่าง (เนื่องจากตัวแปรสุ่มที่น่าสนใจกระจายอยู่ตามปกติ)$n-1$$n$

แหล่ง

สัญชาตญาณของฉัน

มันค่อนข้างสมเหตุสมผลกับฉัน 1) เพราะการทดสอบไคสแควร์ดูเหมือนผลรวมของสแควร์และ 2) เพราะการแจกแจงแบบไคสแควร์เป็นเพียงผลรวมของการแจกแจงแบบปกติกำลังสอง แต่ถึงกระนั้นฉันไม่เข้าใจมัน

คำถาม

คำพูดนั้นเป็นจริงหรือไม่? ทำไม?

[ฉันจะสมมติจากการอภิปรายในคำถามของคุณว่าคุณยินดีที่จะยอมรับตามความจริงว่าถ้ามีการกระจายแบบอิสระเหมือนกันN ( 0 , 1 )ตัวแปรสุ่มแล้ว∑ k i = 1 Z 2 ฉัน ∼ χ 2 k .]$Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

อย่างเป็นทางการผลที่คุณต้องการดังนี้จากทฤษฎีบทค็อชฮาน (แม้ว่ามันจะสามารถแสดงในรูปแบบอื่น ๆ )

พิจารณาอย่างเป็นทางการน้อยว่าถ้าเรารู้ค่าเฉลี่ยประชากรและประเมินความแปรปรวนของมัน (มากกว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่าง): จากนั้นs 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ , (Zi=(Xi-μ)/σ) ซึ่งจะเป็น$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ครั้งχ 2 nตัวแปรสุ่ม$\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

ความจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างถูกนำมาใช้แทนของประชากรเฉลี่ย ( ) ทำให้ผลรวมของกำลังสองของการเบี่ยงเบนที่มีขนาดเล็ก แต่ในเวลาเพียงลักษณะที่Σ n ฉัน= 1 ( Z ∗ i ) $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ (เกี่ยวกับการที่ดูทฤษฎีบทค็อชฮาน) ดังนั้นแทนที่จะ n s 2 0 / σ 2 ~ χ 2 nตอนนี้เรามี ( n - 1 ) s 2 / σ 2 ~ χ 2 n - 1$\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$