อัตราส่วนของการแจกแจงอิสระให้การกระจายแบบปกติคืออะไร?

อัตราส่วนของการแจกแจงปกติสองแบบอิสระให้การแจกแจงแบบโคชี การแจกแจงแบบ t เป็นการแจกแจงแบบปกติหารด้วยการแจกแจงแบบไคสแควร์อิสระ อัตราส่วนของการแจกแจงแบบไคสแควร์อิสระสองตัวนั้นให้การกระจายแบบ F

ฉันกำลังมองหาอัตราส่วนของการแจกแจงแบบต่อเนื่องอิสระที่ให้ตัวแปรสุ่มแบบกระจายที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ?$\mu$$\sigma^2$

อาจมีคำตอบที่เป็นไปได้จำนวนมาก คุณสามารถให้คำตอบที่เป็นไปได้เหล่านี้ให้ฉันได้ไหม ฉันจะซาบซึ้งเป็นพิเศษหากทั้งสองการแจกแจงอิสระซึ่งการคำนวณอัตราส่วนนั้นเหมือนกันหรืออย่างน้อยก็มีความแปรปรวนที่คล้ายกัน

ให้โดยที่มีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีค่าเฉลี่ยและมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ให้ที่0.5) สมมติมีความเป็นอิสระร่วมกันแล้วเป็นอิสระจากและ2) ดังนั้นเราจึงมี E2σ2Z=±1Y2=1/$Y_1 = Z \sqrt{E}$$E$$2 \sigma^2$$Z = \pm 1$ B∼เบต้า(0.5,0.5)(Z,E,B)Y1Y2Y1/Y2∼ปกติ(0,σ2$Y_2 = 1 / \sqrt{B}$$B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$$(Z, E, B)$$Y_1$$Y_2$$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

1. Y $Y_1$เป็นอิสระจาก ;$Y_2$
2. ทั้งต่อเนื่อง ดังนั้น
3. $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$2)

ผมไม่ได้คิดว่าจะได้รับ2) มันยากที่จะเห็นวิธีการทำเช่นนี้เนื่องจากปัญหาลดลงในการหาและซึ่งเป็นอิสระเช่นนั้น ซึ่งค่อนข้าง บิตยากกว่าการทำอิสระและBA B A - B $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$$A$$B$A/B∼ปกติ(0,1)A

$$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$$ $A/B \sim \text{Normal}(0,1)$$A$$B$

ฉันจะซาบซึ้งเป็นพิเศษหากทั้งสองการแจกแจงอิสระที่อัตราส่วนคำนวณเหมือนกัน 

$\chi^2$

• $A, B \sim F$$F$

  $$X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• $A$$B$

  $$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• $X \sim N(\mu,\sigma^2)$$X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$

---

$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_X$

เช่นค่าผกผันของตัวแปรกระจาย Cauchy ก็กระจาย Cauchy เช่นกัน ค่าผกผันของตัวแปรที่มีการกระจายแบบ F นั้นก็คือแบบกระจายตัวแบบ F

• $X$$1/X$

  $X$$1/X$$P(X=1)=0$$P(X=1) \neq 0$

ดีนี่คือหนึ่ง แต่ฉันจะไม่พิสูจน์มันเพียงแสดงในการจำลอง

$\text{Beta}(200,200)$$n=40,000$$x$$\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$$n=40,000$

$(0,1)$

$\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

$\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าอัตราส่วนนั้นไม่ปกติแม้จะพยายามอย่างหนัก

ตอนนี้ทำไม สัญชาตญาณในส่วนของฉันซึ่งฉันมีมากเกินไป หลักฐานที่เหลือให้ผู้อ่านถ้ามีอยู่ (อาจผ่านขีด จำกัด ของวิธีการในช่วงเวลา แต่อีกครั้งที่เป็นเพียงสัญชาตญาณ)

$\text{Beta}(20,20)$$\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$$t$$\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

$$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$$t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$$

$X_1^G,X_2^G$$X^C_{\gamma}$

$$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$$\gamma$

$$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$$

$\mu$$\mu$$\sigma$$\gamma\rightarrow1/\gamma$