การคำนวณพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบเบต้าโดยใช้ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

ฉันจะคำนวณพารามิเตอร์และสำหรับการแจกแจงแบบเบต้าได้อย่างไรถ้าฉันรู้ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่ฉันต้องการให้การกระจายมี ตัวอย่างของคำสั่ง R เพื่อทำสิ่งนี้จะเป็นประโยชน์มากที่สุด$\alpha$$\beta$

ฉันตั้งค่าและและ แก้ไขสำหรับและ\ผลลัพธ์ของฉันแสดงว่าและ σ2=α

$$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$ αβα=(1- $$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$$ $\alpha$$\beta$β=α( $$\alpha=\left(\frac{1-\mu}{\sigma^2}-\frac{1}{\mu}\right)\mu^2$$ $$\beta=\alpha\left(\frac{1}{\mu}-1\right)$$

ฉันได้เขียนโค้ด R ขึ้นมาเพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ของการแจกแจงเบต้าจากค่าเฉลี่ย, mu, และค่าความแปรปรวน, var:

estBetaParams <- function(mu, var) {
  alpha <- ((1 - mu) / var - 1 / mu) * mu ^ 2
  beta <- alpha * (1 / mu - 1)
  return(params = list(alpha = alpha, beta = beta))
}

มีความสับสนรอบ ๆ ขอบเขตของและสำหรับการแจกแจงเบต้าที่กำหนดดังนั้นขอให้ชัดเจนตรงนี้σ $\mu$$\sigma^2$

1. $\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\in\left(0, 1\right)$
2. $\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}<\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{1}=\mu\left(1-\mu\right)\in\left(0,0.5^2\right)$

ต่อไปนี้เป็นวิธีทั่วไปในการแก้ปัญหาประเภทนี้โดยใช้ Maple แทนที่จะเป็น R สิ่งนี้ใช้ได้กับการแจกแจงแบบอื่นเช่นกัน:

with(Statistics):
eq1 := mu = Mean(BetaDistribution(alpha, beta)):
eq2 := sigma^2 = Variance(BetaDistribution(alpha, beta)):
solve([eq1, eq2], [alpha, beta]);

ซึ่งนำไปสู่การแก้ปัญหา

$$\begin{align*} \alpha &= - \frac{\mu (\sigma^2 + \mu^2 - \mu)}{\sigma^2} \\ \beta &= \frac{(\sigma^2 + \mu^2 - \mu) (\mu - 1)}{\sigma^2}. \end{align*}$$

นี่เทียบเท่ากับโซลูชันของ Max

ใน R การแจกแจงแบบเบต้าพร้อมพารามิเตอร์และมีความหนาแน่น$\textbf{shape1} = a$$\textbf{shape2} = b$

$f(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ ,

สำหรับ ,และ<1b > 0 0 < x < $a > 0$$b >0$$0 < x < 1$

ใน R คุณสามารถคำนวณได้โดย

dbeta (x, shape1 = a, shape2 = b)

ใน parametrisation ค่าเฉลี่ยคือและความแปรปรวนคือ)} ดังนั้นตอนนี้คุณสามารถติดตามคำตอบของ Nick Sabbe$E(X) = \frac{a}{a+b}$$V(X) = \frac{ab}{(a + b)^2 (a + b + 1)}$

การทำงานที่ดี!

แก้ไข

ฉันหา:

$a = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu^2$ ,

และ

$b = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu (1 - \mu)$ ,

ที่และ(X)$\mu=E(X)$$V=V(X)$

ตัวอย่างเช่นใน Wikipedia คุณสามารถค้นหาสูตรต่อไปนี้สำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงเบต้าที่ให้อัลฟ่าและเบต้า: และ เหล่านี้ (กรอกข้อมูลในสมการล่างสุด) ให้ผลลัพธ์ที่คุณต้องการ (แม้ว่ามันอาจจะใช้งานได้)

$$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$ $$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$$ $\beta=\alpha(\frac{1}{\mu}-1)$

สำหรับการแจกแจงเบต้าทั่วไปที่กำหนดไว้ในช่วงเวลาคุณมีความสัมพันธ์:$[a,b]$

$$\mu=\frac{a\beta+b\alpha}{\alpha+\beta},\quad\sigma^{2}=\frac{\alpha\beta\left(b-a\right)^{2}}{\left(\alpha+\beta\right)^{2}\left(1+\alpha+\beta\right)}$$

ซึ่งสามารถคว่ำให้:

$$\alpha=\lambda\frac{\mu-a}{b-a},\quad\beta=\lambda\frac{b-\mu}{b-a}$$

ที่ไหน

$$\lambda=\frac{\left(\mu-a\right)\left(b-\mu\right)}{\sigma^{2}}-1$$

แก้สมการสำหรับหรือ , แก้หาคุณจะได้ จากนั้นเสียบนี่เข้ากับสมการที่สองและแก้หา\ดังนั้นคุณจะได้รับซึ่งจะทำให้ แล้วเสร็จสิ้นการแก้\$\mu$$\alpha$$\beta$$\beta$

$$\beta=\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}$$ $\alpha$ $$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu})^2(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}+1)}$$ $$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\frac{\alpha}{\mu})^2\frac{\alpha+\mu}{\mu}}$$ $$\sigma^2=\frac{(1-\mu)\mu^2}{\alpha+\mu}$$ $\alpha$

ฉันกำลังมองหางูหลาม แต่สะดุดกับสิ่งนี้ ดังนั้นนี่จะเป็นประโยชน์สำหรับคนอื่นเช่นฉัน

นี่คือรหัสไพ ธ อนเพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์เบต้า (ตามสมการที่ให้ไว้ด้านบน):

# estimate parameters of beta dist.
def getAlphaBeta(mu, sigma):
    alpha = mu**2 * ((1 - mu) / sigma**2 - 1 / mu)

    beta = alpha * (1 / mu - 1)

    return {"alpha": 0.5, "beta": 0.1}


print(getAlphaBeta(0.5, 0.1)  # {alpha: 12, beta: 12}

คุณสามารถตรวจสอบพารามิเตอร์และโดยการนำเข้าแพ็คเกจ$\alpha$$\beta$scipy.stats.beta