การหาค่าเฉลี่ยที่แท้จริงจากการสังเกตที่มีเสียงดัง

ฉันมีชุดข้อมูลขนาดใหญ่ของฟอร์ม (mean, stdev) ฉันต้องการลดสิ่งนี้ให้เป็นค่าเฉลี่ยเดียว (ดีกว่า) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานขนาดเล็ก (หวังว่า)

เห็นได้ชัดว่าฉันสามารถคำนวณอย่างไรก็ตามเรื่องนี้ไม่ได้ใช้เวลาในบัญชีความจริงที่ว่าบางส่วนของจุดข้อมูลที่ถูกต้องอย่างมีนัยสำคัญมากกว่าคนอื่น ๆ $\frac{\sum data_{mean}}{N}$

เพื่อให้ง่ายฉันต้องการ preform น้ำหนักเฉลี่ยของจุดข้อมูลเหล่านี้ แต่ไม่ทราบว่าฟังก์ชันน้ำหนักควรอยู่ในรูปของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

normal-distribution repeated-measures weighted-mean

— ไมเคิล
แหล่งที่มา

คุณค้นหาตัวประมาณเชิงเส้นสำหรับค่าเฉลี่ยของแบบฟอร์ม $\mu$

\hat{μ} = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} x_{i}

$\hat{\mu} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i$

ที่เป็นน้ำหนักและเป็นข้อสังเกต วัตถุประสงค์คือเพื่อหาค่าที่เหมาะสมสำหรับน้ำหนัก ให้เป็นจริงเบี่ยงเบนมาตรฐานของซึ่งอาจจะหรืออาจจะไม่ตรงกับการประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคุณมีแนวโน้มที่จะมี สมมติว่าการสังเกตนั้นไม่เอนเอียง นั่นคือความคาดหวังของพวกเขาทั้งหมดเท่ากับค่าเฉลี่ยμในแง่เหล่านี้เราสามารถคำนวณว่าความคาดหวังของคือ $\alpha_i$ $x_i$ $\sigma_i$ $x_i$ $\mu$ $\hat{\mu}$

E [\hat{μ}] = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} E [x_{i}] = μ \sum_{i = 1}^{n} α_{i}

$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \mathbb{E}[x_i] = \mu \sum_{i=1}^{n} \alpha_i$

และ (หากไม่มีส่วนเกี่ยวข้อง) ความแปรปรวนของตัวประมาณนี้คือ $x_i$

Var [\hat{μ}] = \sum_{i = 1}^{n} α_{i}^{2} σ_{i}^{2} .

$\operatorname{Var}\left[\hat{\mu}\right] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2 \sigma_i^2.$

ณ จุดนี้หลายคนต้องการให้ตัวประมาณมีความเป็นกลาง นั่นคือเราต้องการความคาดหวังให้เท่ากับค่าเฉลี่ยที่แท้จริง นี่แสดงถึงน้ำหนักที่จะต้องรวมกับความสามัคคี ภายใต้ข้อ จำกัด นี้ความถูกต้องของเครื่องประมาณ (ตามที่วัดได้ด้วยค่าคลาดเคลื่อนกำลังสอง) ถูกปรับให้เหมาะสมโดยลดความแปรปรวนให้น้อยที่สุด วิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (ที่ได้รับได้อย่างง่ายดายด้วยตัวคูณ Lagrange หรือโดยการตีความสถานการณ์ทางเรขาคณิตเป็นปัญหาระยะลด) คือการที่น้ำหนักจะต้องได้สัดส่วนกับฉัน $\alpha_i$ $1/\sigma_i^2$ ข้อ จำกัด sum-to-unity ตรึงค่าลงและให้ผล

\hat{μ} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / σ_{i}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} 1 / σ_{i}^{2}}

$\hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i / \sigma_i^2}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2}$

และ

Var [\hat{μ}] = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} 1 / σ_{i}^{2}} = \frac{1}{n} {(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{σ_{i}^{2}})}^{- 1} .

$\operatorname{Var}\left[\hat\mu\right] = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2} = \frac{1}{n} \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}\right)^{-1}.$

ในคำ,

$1/n$

$\sigma_i$

— whuber
แหล่งที่มา

และเกี่ยวข้องกับคำตอบนี้เช่นกันจาก whuber: stats.stackexchange.com/questions/9071/…

— Henry

x_{i}

$x_i$