การประมาณค่าตัดและความชันของการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายเป็นอิสระหรือไม่

พิจารณาแบบจำลองเชิงเส้น

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

และการประมาณความชันและการสกัดกั้น $\hat{\alpha}$ และ $\hat{\beta}$ใช้กำลังสองน้อยสุดธรรมดา นี้อ้างอิงสำหรับสถิติคณิตศาสตร์ทำให้คำสั่งว่า$\hat{\alpha}$ และ $\hat{\beta}$ มีความเป็นอิสระ (ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของพวกเขา)

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจว่าทำไม ตั้งแต่

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

นี่ไม่ได้หมายความว่า $\hat{\alpha}$ และ $\hat{\beta}$มีความสัมพันธ์กันอย่างไร ฉันอาจจะคิดถึงบางสิ่งที่ชัดเจนที่นี่

ไปที่ไซต์เดียวกันในเพจย่อยต่อไปนี้:

https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

คุณจะเห็นได้ชัดเจนมากขึ้นว่าพวกเขาระบุรูปแบบการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายด้วย regressor มีศูนย์กลางอยู่ที่ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง และนี่อธิบายได้ว่าทำไมพวกเขาถึงพูดในภายหลัง$\hat \alpha$ และ $\hat \beta$ มีความเป็นอิสระ

สำหรับกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์ถูกประมาณด้วย regressor ที่ไม่ได้อยู่กึ่งกลางความแปรปรวนร่วมของพวกเขาคือ

ดังนั้นคุณจะเห็นว่าถ้าเราใช้ regressor เป็นศูนย์กลาง $\bar x$เรียกมันว่า $\tilde x$นิพจน์ความแปรปรวนร่วมข้างต้นจะใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างของ regressor กึ่งกลาง $\tilde {\bar x}$ซึ่งจะเป็นศูนย์และเช่นนั้นก็จะเป็นศูนย์และตัวประมาณค่าสัมประสิทธิ์จะเป็นอิสระ

โพสต์นี้มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพีชคณิตการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย