ทำไมการบิดจึงใช้งานได้?

ดังนั้นฉันรู้ว่าถ้าเราต้องการหาการแจกแจงความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ $X + Y$ เราสามารถคำนวณได้จากการแจกแจงความน่าจะเป็นของ $X$ และ $Y$ โดยการพูดว่า

f_{X + Y} (a) = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X, Y} (X = x, Y = a - x) d x = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x

$f_{X + Y}(a) = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_{X, Y}(X = x, Y = a - x)~dx = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(a - x)~dx$

สังหรณ์ใจนี้ทำให้รู้สึกเพราะถ้าเราต้องการที่จะหาโอกาสที่สองตัวแปรสุ่มรวมไปก็พื้นผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดที่นำไปสู่ข้อสรุปตัวแปรเหล่านั้นไป แต่ฉันจะพิสูจน์ข้อความนี้อย่างเป็นทางการได้อย่างไร? $a$ $a$

probability

— เจสสิก้า
แหล่งที่มา

เล็กน้อยคำถามที่แตกต่าง แต่คำตอบคือที่คล้ายกัน

— คาร์ล

คำตอบ:

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่มากขึ้นจะพิจารณา $Z = X + Y$ โดยที่ $X$ และ $Y$ ไม่จำเป็นต้องเป็นอิสระ กลยุทธ์การแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับปัญหาที่คุณสงสัยว่า PDF มาจากไหนหรือจะหาเหตุผลได้อย่างไรคือหาการสะสมอาจแทนแล้วแยกความแตกต่างเพื่อลด CDF เป็น PDF

มันค่อนข้างง่ายที่จะเห็นว่าในกรณีที่ที่เป็นพื้นที่ของ -เครื่องบินที่ Z $F_Z(z) = \mathrm{P}(Z \leq z) = \int \int_R f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ $R$ $x$ $y$ $x + y \leq z$

นี่คือพื้นที่ที่ฟักเป็นสีน้ำเงินในแผนภาพด้านล่าง มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะรวมกันในภูมิภาคนี้โดยการแบ่งมันออกเป็นแถบ - ฉันทำมันด้วยแถบแนวตั้ง แต่แนวนอนจะทำ ได้อย่างมีประสิทธิภาพผมจบลงด้วยแถบสำหรับแต่ละประสานตั้งแต่เพื่อและพร้อมแถบแต่ละฉันต้องการค่าไม่ได้ที่จะเพิ่มขึ้นเหนือเส้นดังนั้น x $x$ $-\infty$ $\infty$ $y$ $x + y = z$ $y \leq z - x$

z <x + y

ขีด จำกัด ตอนนี้เราได้รับการบูรณาการในแง่ของและเราสามารถทำให้ลียนตัว , ดังต่อไปนี้มีจุดประสงค์ในการรับให้ปรากฏเป็นขีด จำกัด บนของโวลต์คณิตศาสตร์นั้นตรงไปตรงมาตราบใดที่คุณเข้าใจการใช้ยาโคบเบียนเพื่อเปลี่ยนตัวแปร $x$ $y$ $u=x$ $v=x+y$ $z$ $v$

F_{Z} (z) = \int_{x = - \infty}^{x = \infty} \int_{y = - \infty}^{y = z - x} f_{X, Y} (x, y) d x d y = \int_{v = - \infty}^{v = z} \int_{u = - \infty}^{y = \infty} f_{X, Y} (u, v - u) d u d v

$F_Z(z) = \int_{x = -\infty}^{x=\infty}\int_{y=-\infty}^{y=z-x}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{v = -\infty}^{v=z}\int_{u=-\infty}^{y=\infty}f_{X,Y}(u,v-u)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$

ตราบใดที่มีเงื่อนไขบางประการเราสามารถแยกแยะความแตกต่างภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลกับเพื่อรับ: $z$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (u, z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(u, z-u)\,\mathrm{d}u$

มันใช้งานได้แม้ว่าและจะไม่เป็นอิสระ แต่ถ้าเป็นเช่นนั้นเราสามารถเขียนความหนาแน่นของรอยต่อเป็นผลคูณของขอบสองอัน: $X$ $Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (u) f_{Y} (z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_X(u)f_Y(z-u)\,\mathrm{d}u$

ตัวแปรหุ่นสามารถโดยไม่เป็นอันตรายจะเขียนเป็นถ้าต้องการ $u$ $x$

สัญกรณ์ของฉันสำหรับอินทิกรัลตรงตามมาตรา 6.4 ของ Geoffrey Grimmett และ Dominic Walsh, ความน่าจะเป็น: บทนำ , Oxford University Press, New York, 2000

— สีเงิน
แหล่งที่มา

+1 ตามสัญกรณ์อนุสัญญาก็คือความแตกต่างด้านนอกของอินทิกรัลหลายค่าใช้กับอินทิกรัลนอก ดังนั้นในการแสดงออกของรูปแบบ

การบูรณาการด้วยความเคารพต่อทำได้ก่อน -มันคืออินทิกรัลชั้นใน - และว่าด้วยความเคารพต่อจะทำครั้งสุดท้าย - มันคืออินทิกรัลชั้นนอก ใบนี้เราเป็นอิสระที่จะวงเล็บสถานที่โดยไม่ต้องเปลี่ยนความหมายเช่นเดียวกับในY

\iint \dots d x d y

$\iint \cdots \mathrm{d}x\,\mathrm{d} y$

x

$x$

y

$y$

\int (\int \dots d x) d y

$\int\left(\int \cdots \mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$

— whuber

@whuber คิดเกี่ยวกับมันแน่นอนว่าเป็นแบบแผนที่นำมาใช้ในตำราเรียนทุกเล่มที่ฉันรู้จัก (ดังนั้นการผสมผสานหลาย ๆ ครั้งจึงเป็นการรวมเข้าด้วยกันอย่างมีประสิทธิภาพ) แต่การส่งผ่าน Grimmett และ Welsh "ความน่าจะเป็น: บทนำ" นั้นสอดคล้องกับระเบียบของตัวเองในลำดับซ้ายขวาเหมือนกันทั้งข้อ จำกัด และความแตกต่างเช่นพวกเขาให้ !

\int_{u} \int_{v} \int_{w} . . . d u d v d w

$\int_u \int_v \int_w ... du\,dv\,dw$

— Silverfish

ฉันรู้สึกขบขันอยู่ตลอดเวลาว่าที่จุดตัดของหลาย ๆ เขตเรากำลังเผชิญกับการประชุมที่ขัดแย้งกัน มันเป็นหนึ่งในความสุขของการทำงานกับผู้คนที่มีภูมิหลังต่างกัน

— whuber

@ เมื่อฉันรู้ว่าอนุสัญญาสำหรับการวางอินทิกรัลนั้นแตกต่างกันอย่างมากระหว่างประเทศ - คุณจะเพลิดเพลินไปกับสิ่งนี้จาก Tex SE tex.stackexchange.com/a/88961/25866และฉันหวังว่ามันจะถูกขยายเพื่อครอบคลุมการรวมหลาย ๆ !

— Silverfish

คำแถลงนั้นเป็นจริงถ้าหากว่าทางด้านขวาทำตัวเหมือนความหนาแน่นของ ; นั่นคือ, $X+Y$

F_{X + Y} (a) = P (X + Y \leq a) = \int_{- \infty}^{a} f_{X + Y} (z) d z = \int_{- \infty}^{a} (\int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x) d z

$F_{X+Y}(a)=\mathbb{P}(X+Y\le a) = \int_{-\infty}^a f_{X+Y}(z)\,\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^a \left(\int f_X(x) f_Y(z-x)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}z$

สำหรับทุก มาตรวจสอบสิ่งนี้กันโดยเริ่มจากด้านขวามือ $a$

สมัครFubini ทฤษฎีบทเพื่อเปลี่ยนลำดับของการรวมกลุ่มและทำให้ทดแทน y ที่ดีเทอร์มิแนนต์ของยาโคเบียนคือดังนั้นจึงไม่มีคำแนะนำเพิ่มเติมจากการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรนี้ โปรดทราบว่าเนื่องจากและอยู่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งและหากเพียง แต่ถ้าเราอาจเขียนอินทิกรัลเป็น $z = x+y$ $1$ $z$ $y$ $-\infty \lt z \le a$ $-\infty \lt y \lt a-x$

= \int (\int_{- \infty}^{a - x} f_{X} (x) f_{Y} (y) d y) d x .

$=\int \left(\int_{-\infty}^{a-x}f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d} y\right)\mathrm{d}x.$

ตามคำนิยามนี่คืออินทิกรัลสำหรับของ $\mathbb{R}^2$

= \iint I (x + y \leq a) f_{X} (x) f_{Y} (y) d y d x

$=\iint I(x+y\le a)f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

ที่คือฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้ของชุด ในที่สุดเนื่องจากและเป็นอิสระสำหรับทุกคนแสดงให้เห็นถึงความสมบูรณ์เป็นเพียงความคาดหวัง $I$ $X$ $Y$ $f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ $(x,y)$

= \iint I (x + y \leq a) f_{(X, Y)} (x, y) d y d x = E (I (X + Y \leq a)) = P (X + Y \leq a),

$=\iint I(x+y\le a)f_{(X,Y)}(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \mathbb{E}(I(X+Y\le a))=\mathbb{P}(X+Y\le a),$

ตามที่ต้องการ

โดยทั่วไปแม้ว่าหนึ่งหรือทั้งสองของหรือไม่มีฟังก์ชันการแจกแจงเราก็ยังสามารถรับได้ $X$ $Y$

F_{X + Y} (a) = E_{X} (F_{Y} (a - X)) = E_{Y} (F_{X} (a - Y))

$F_{X+Y}(a) = \mathbb{E}_X\left(F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_Y\left(F_X(a-Y)\right)$

โดยตรงจากคำจำกัดความพื้นฐานโดยใช้ความคาดหวังของตัวบ่งชี้เพื่อย้อนกลับไปมาระหว่างความน่าจะเป็นและความคาดหวังและใช้ประโยชน์จากสมมติฐานที่เป็นอิสระเพื่อแยกการคำนวณออกเป็นความคาดหวังแยกต่างหากสำหรับและ : $X$ $Y$

\begin{aligned} P (X + Y \leq a) & = E (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (E_{Y} (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (P_{Y} (Y \leq a - X)) \\ = E_{X} (F_{Y} (a - X)) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{P}(X+Y\le a) &= \mathbb{E}(I(X+Y\le a)) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{E}_Y(I(X+Y\le a)\right) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{P}_Y(Y\le a-X)\right) \\ &=\mathbb{E}_X(F_Y(a-X)). }$

ซึ่งรวมถึงสูตรปกติสำหรับตัวแปรสุ่มแบบแยกเช่นแม้ว่าจะอยู่ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อยกว่าปกติ (เพราะมีการระบุไว้ในรูปของ CDF มากกว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบมวล)

$a$ $f_{X+Y}$

\begin{aligned} f_{X + Y} (a) & = \frac{d}{d a} F_{X + Y} (a) = E_{X} (\frac{d}{d a} F_{Y} (a - X)) = E_{X} (f_{Y} (a - X)) \\ = \int f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{X+Y}(a) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_{X+Y}(a) =\mathbb{E}_X\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_X \left(f_Y(a-X)\right) \\ &= \int f_X(x) f_Y(a-x) \,\mathrm{d} x. }$

— whuber
แหล่งที่มา