อาจหมายถึงการบวกส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหนึ่งค่าเกินค่าสูงสุดหรือไม่

ฉันมีค่าเฉลี่ย 74.10 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 33.44 สำหรับตัวอย่างที่มีค่าต่ำสุด 0 และสูงสุด 94.33

อาจารย์ของฉันถามฉันว่าค่าเฉลี่ยบวกหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสูงกว่าค่าสูงสุดได้อย่างไร

ฉันแสดงตัวอย่างมากมายเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่เธอไม่เข้าใจ ฉันต้องการการอ้างอิงเพื่อแสดงให้เธอเห็น อาจเป็นบทหรือย่อหน้าใด ๆ จากหนังสือสถิติที่พูดถึงเรื่องนี้โดยเฉพาะ

แน่นอนค่าเฉลี่ยบวกหนึ่ง sd สามารถเกินการสังเกตที่ใหญ่ที่สุด

พิจารณาตัวอย่างที่ 1, 5, 5, 5 -

มันมีค่าเฉลี่ย 4 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 ดังนั้นค่าเฉลี่ย + sd คือ 6 หนึ่งมากกว่าค่าสูงสุดตัวอย่าง นี่คือการคำนวณใน R:

> x=c(1,5,5,5)
> mean(x)+sd(x)
[1] 6

มันเป็นเรื่องธรรมดา มันมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นเมื่อมีค่าสูงและหางออกไปทางซ้าย (เช่นเมื่อมีความเบ้ด้านซ้ายและจุดสูงสุดใกล้จุดสูงสุด)

-

ความเป็นไปได้เดียวกันนี้ใช้กับการแจกแจงความน่าจะเป็นไม่ใช่แค่ตัวอย่าง - ค่าเฉลี่ยประชากรบวกกับประชากร sd สามารถเกินค่าสูงสุดที่เป็นไปได้อย่างง่ายดาย

นี่คือตัวอย่างของความหนาแน่นซึ่งมีค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ 1:$\text{beta}(10,\frac{1}{2})$

ในกรณีนี้เราสามารถดูที่หน้า Wikipedia สำหรับการแจกแจงเบต้าซึ่งระบุว่าค่าเฉลี่ยคือ:

$\operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$

และความแปรปรวนคือ:

$\operatorname{var}[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$

(แม้ว่าเราไม่จำเป็นต้องพึ่งพาวิกิพีเดียเนื่องจากมันค่อนข้างง่ายที่จะหามา)

ดังนั้นสำหรับและเรามีค่าเฉลี่ยและ SD + SD จึงหมายถึงมากกว่าเป็นไปได้สูงสุด 1β = $\alpha=10$ ≈0.9523≈0.0628≈$\beta=\frac{1}{2}$$\approx 0.9523$$\approx 0.0628$$\approx 1.0152$

นั่นคือมันได้อย่างง่ายดายไปได้ที่จะมีค่าเฉลี่ย + SD ที่ไม่สามารถสังเกตเห็นเป็นข้อมูลที่มีค่า

-

สำหรับทุกสถานการณ์ที่โหมดมีค่าสูงสุดค่าความเบ้ของโหมดเพียร์สันจะต้องเป็น สำหรับค่าเฉลี่ย + sd เกินค่าสูงสุด มันสามารถรับค่าใด ๆ บวกหรือลบดังนั้นเราจึงเห็นว่าเป็นไปได้อย่างง่ายดาย$<\,-1$

-

ปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดมักจะมองเห็นได้ด้วยช่วงความเชื่อมั่นสำหรับสัดส่วนทวินามซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ใช้กันทั่วไปในช่วงเวลาประมาณปกติสามารถผลิตนอกขีด จำกัด[0,1]$[0,1]$

ตัวอย่างเช่นให้พิจารณาช่วงเวลาประมาณ 95.4% ปกติสำหรับสัดส่วนประชากรของความสำเร็จในการทดลองของ Bernoulli (ผลลัพธ์คือ 1 หรือ 0 แสดงถึงเหตุการณ์ความสำเร็จและความล้มเหลวตามลำดับ) โดยที่ 3 จาก 4 การสังเกตคือ " " และหนึ่งการสังเกตคือ " "$1$$0$

จากนั้นขีด จำกัด สูงสุดสำหรับช่วงเวลาคือ$\hat p + 2 \times \sqrt{\frac{1}{4}\hat p \left(1 - \hat p \right)} = \hat p + \sqrt{\hat p (1 - \hat p )} = 0.75 + 0.433=1.183$

นี่เป็นเพียงค่าเฉลี่ยตัวอย่าง + ค่าประมาณปกติของ sd สำหรับทวินาม ... และสร้างค่าที่เป็นไปไม่ได้

ตัวอย่าง SD ปกติสำหรับ 0,1,1,1 คือ 0.5 มากกว่า 0.433 (พวกมันต่างกันเพราะค่าทวินาม ML ของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสอดคล้องกับการหารความแปรปรวนโดยแทนที่จะเป็น ) แต่มันก็ไม่ได้ทำให้แตกต่าง - ในทั้งสองกรณีหมายความว่า + sd เกินสัดส่วนที่ใหญ่ที่สุดnn-$\hat p(1-\hat p)$$n$$n-1$

ความจริงเรื่องนี้ - ว่าช่วงปกติประมาณสำหรับทวินามสามารถผลิต "ค่าที่เป็นไปไม่ได้" มักจะถูกบันทึกไว้ในหนังสือและเอกสาร อย่างไรก็ตามคุณไม่ได้จัดการกับข้อมูลทวินาม อย่างไรก็ตามปัญหา - นั่นหมายถึง + ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจำนวนหนึ่งไม่ใช่ค่าที่เป็นไปได้ - นั้นคล้ายคลึงกัน

-

ในกรณีของคุณค่า "0" ที่ผิดปกติในตัวอย่างของคุณคือการทำให้ sd มีขนาดใหญ่กว่าที่จะดึงค่าเฉลี่ยลงมาซึ่งเป็นสาเหตุที่ค่าเฉลี่ย + sd สูง

-

(คำถามจะเป็นไปได้ - โดยเหตุผลอะไรมันเป็นไปไม่ได้ - เพราะไม่รู้ว่าทำไมไม่มีใครคิดว่ามีปัญหาเราจะจัดการกับอะไร?)

แน่นอนมีเหตุผลหนึ่งแสดงให้เห็นว่าเป็นไปได้โดยให้ตัวอย่างที่เกิดขึ้น คุณทำสิ่งนั้นไปแล้ว ในกรณีที่ไม่มีเหตุผลที่ระบุว่าทำไมมันควรเป็นอย่างอื่นคุณจะทำอย่างไร?

หากตัวอย่างไม่เพียงพอหลักฐานอะไรที่จะยอมรับได้?

ไม่มีจุดไหนที่ชี้ไปที่ข้อความในหนังสือเนื่องจากหนังสือใด ๆ ที่อาจทำให้เกิดข้อผิดพลาด - ฉันเห็นพวกเขาตลอดเวลา เราต้องพึ่งพาการสาธิตโดยตรงว่าเป็นไปได้ไม่ว่าจะเป็นหลักฐานในพีชคณิต (เราสามารถสร้างจากตัวอย่างเบต้าด้านบนตัวอย่าง *) หรือตามตัวอย่างตัวเลข (ซึ่งคุณได้ให้ไว้แล้ว) ซึ่งทุกคนสามารถตรวจสอบความจริงของตนเองได้ .

* whuber แสดงเงื่อนไขที่แม่นยำสำหรับเคสเบต้าในความคิดเห็น

ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev นั้นน้อยกว่าk ^-2คะแนนอาจมากกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานk ดังนั้นสำหรับk = 1 ซึ่งหมายความว่าตัวอย่างของคุณน้อยกว่า 100% สามารถเบี่ยงเบนมาตรฐานได้มากกว่าหนึ่งค่า

มันน่าสนใจมากกว่าที่จะดูที่ขอบเขตต่ำ อาจารย์ของคุณควรแปลกใจมากขึ้นที่มีคะแนนซึ่งอยู่ที่ประมาณ 2.5 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานด้านล่างหมายถึง แต่ตอนนี้เรารู้ว่ามีเพียง 1 ใน 6 ของตัวอย่างของคุณที่สามารถเป็น 0

สาระสำคัญของปัญหาอาจเกิดจากการแจกจ่ายของคุณไม่ใช่การแจกแจงแบบปกติซึ่งค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะถือว่า การกระจายของคุณมีแนวโน้มที่จะได้ใส่เบ้ดังนั้นคุณจึงจำเป็นที่จะเปลี่ยนชุดของคุณลงในการกระจายปกติเป็นครั้งแรกโดยการเลือกฟังก์ชั่นที่เหมาะสมเปลี่ยนกระบวนการนี้เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงจะปกติ ฟังก์ชันตัวเลือกหนึ่งอย่างในกรณีของคุณอาจเป็นการแปลงบันทึกแบบมิร์เรอร์ เมื่อชุดของคุณผ่านการทดสอบตามปกติคุณสามารถทำการเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากนั้นใช้ 1หรือ 2$\sigma$$\sigma$ค่าที่คุณต้องแปลงให้กลับเป็นพื้นที่ข้อมูลดั้งเดิมของคุณโดยใช้ค่าผกผันของฟังก์ชันแปลงของคุณ ฉันคิดว่านี่คือสิ่งที่อาจารย์ของคุณพูดถึง

โดยทั่วไปสำหรับตัวแปรสุ่ม Bernoulliที่ใช้ค่ากับความน่าจะเป็นและค่ากับความน่าจะเป็นเรามี$X$$1$$0<p<1$$0$$1-p$

และเราต้องการ

สแควร์ทั้งสองด้านที่จะได้รับ

ในคำพูดสำหรับตัวแปรสุ่ม Bernoulli ใด ๆ ที่มีนิพจน์เชิงทฤษฎีถือE ( X ) + S E ( X ) > Max $p>1/2$$E(X)+ SE(X) > \max X$

ตัวอย่างเช่นสำหรับตัวอย่างใด ๆ ที่ดึงมาจาก Bernoulli ด้วย, พูด, , ในกรณีส่วนใหญ่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างบวกค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างจะสูงกว่าค่าซึ่งจะเป็นค่าสูงสุดที่สังเกตได้ (bar กรณีของ ตัวอย่างศูนย์ทั้งหมด!)$p=0.7$$1$

สำหรับการแจกแจงอื่น ๆ เรามักจะมีทิศทางที่ตรงข้ามในความไม่เท่าเทียมกันเช่นหาชุดก็มักจะเป็นกรณีที่ b ดังนั้นจึงไม่มีกฎทั่วไปE ( U ) + S E ( U ) < max U = $U(a,b)$$E(U)+ SE(U) < \max U=b$