ตัวแปรสุ่มแบบสม่ำเสมอเป็นผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว

นำมาจากGrimmet และ Stirzaker :

แสดงว่าไม่สามารถเป็นกรณีที่$U=X+Y$ที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอบน [0,1] และและมีความเป็นอิสระและกระจายตัวเหมือนกัน คุณไม่ควรสรุปว่า X และ Y เป็นตัวแปรต่อเนื่อง$U$$X$$Y$

หลักฐานที่เรียบง่ายโดยขัดแย้งพอเพียงสำหรับกรณีที่ ,ถูกสมมติว่าไม่ต่อเนื่องโดยการโต้เถียงว่าเป็นไปได้เสมอที่จะหาและเช่นนั้นในขณะที่')$X$$Y$$u$$u'$$P(U\leq u+u') \geq P(U\leq u)$$P(X+Y \leq u) = P(X+Y \leq u+u')$

อย่างไรก็ตามหลักฐานนี้ไม่ได้ขยายไปถึงอย่างต่อเนื่องหรือเป็นเอกพจน์อย่างต่อเนื่อง คำแนะนำ / ความคิดเห็น / คำติชม?$X,Y$

ผลที่ได้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยภาพ:พื้นที่สีเทาที่มองเห็นได้แสดงให้เห็นว่าการกระจายตัวแบบไม่สามารถสลายตัวเป็นผลรวมของตัวแปรอิสระที่กระจายตัวเหมือนกันสองตัว

เอกสาร

ให้$X$และ$Y$เป็นคนแบบนั้น$X+Y$มีการกระจายเครื่องแบบ$[0,1]$ ] ซึ่งหมายความว่าสำหรับ$0\le a \le b \le 1$ทั้งหมด

การสนับสนุนที่สำคัญของการแจกแจงร่วมของ$X$และ$Y$คือ$[0,1/2]$ (สำหรับมิฉะนั้นจะมีความน่าจะเป็นในแง่บวกว่า$X+Y$อยู่นอก$[0,1]$ )

ภาพ

Let $0 \lt \epsilon \lt 1/4$ 4 พิจารณาแผนภาพนี้แสดงให้เห็นว่าการคำนวณหาผลรวมของตัวแปรสุ่ม:

การกระจายความน่าจะเป็นพื้นฐานที่เป็นหนึ่งที่ร่วมกัน( X , Y ) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆที่< X + Y ≤ bถูกกำหนดโดยความน่าจะเป็นทั้งหมดที่ครอบคลุมโดยแถบเส้นทแยงมุมยืดระหว่างบรรทัดx + y = aและx + y = $(X,Y)$$a \lt X+Y \le b$$x+y=a$$x+y=b$ Bมีการแสดงสามแถบดังกล่าว: จาก0ถึงϵปรากฏเป็นรูปสามเหลี่ยมสีน้ำเงินเล็ก ๆ ที่ด้านซ้ายล่าง จาก1 / 2 - εไป1 /$0$$\epsilon$$1/2-\epsilon$+ ϵแสดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเทาต่อยอดด้วยรูปสามเหลี่ยมสองรูป (สีเหลืองและสีเขียว) และจาก 1 - ϵถึง 1ปรากฏเป็นรูปสามเหลี่ยมสีแดงขนาดเล็กที่มุมขวาบน$1/2+\epsilon$$1-\epsilon$$1$

ภาพแสดงให้เห็นอะไร

เมื่อเปรียบเทียบสามเหลี่ยมล่างซ้ายในรูปภาพกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสล่างซ้ายที่มีและใช้ประโยชน์จากสมมติฐาน iid สำหรับXและYจะเห็นได้ว่า$X$$Y$

โปรดทราบว่าความไม่เท่าเทียมนั้นเข้มงวด: ความเป็นไปไม่ได้เพราะมีความเป็นไปได้ในเชิงบวกบางประการที่ทั้ง$X$และYน้อยกว่าεแต่อย่างไรก็ตามX + Y > ε$Y$$\epsilon$$X+Y \gt \epsilon$

ในทำนองเดียวกันการเปรียบเทียบสามเหลี่ยมสีแดงกับสี่เหลี่ยมที่มุมขวาบน

ในที่สุดการเปรียบเทียบสามเหลี่ยมสองรูปแบบที่ตรงกันข้ามในด้านบนซ้ายและขวาล่างกับแถบเส้นทแยงมุมที่มีความไม่เท่าเทียมกันอีกอัน

ensues ความไม่เท่าเทียมกันครั้งแรกจากก่อนหน้านี้สอง (ใช้รากที่สองของพวกเขาและพวกเขาคูณ) ในขณะที่คนที่สองอธิบาย (เข้มงวด) รวมของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ภายในวงและความเสมอภาคที่ผ่านมาเป็นการแสดงออกถึงความสม่ำเสมอของX + Y สรุปได้ว่า2 ϵ < $X+Y$ εขัดแย้งพิสูจน์เช่น Xและ Yไม่สามารถอยู่QED$2\epsilon \lt 2\epsilon$$X$$Y$

ฉันพยายามหาหลักฐานโดยไม่คำนึงถึงฟังก์ชั่นพิเศษ Kurtosis ส่วนเกินทำเคล็ดลับ ต่อไปนี้เป็นคำตอบสองบรรทัด: Kurt ( U ) = Kurt ( X + Y ) = Kurt ( X ) / 2เนื่องจากXและYเป็น iid จากนั้น เคิร์ต( U ) = - 1.2หมายถึงเคิร์ต( X ) = - 2.4ซึ่งเป็นความขัดแย้งเป็นเคิร์ต( X $\text{Kurt}(U) = \text{Kurt}(X + Y) = \text{Kurt}(X) / 2$$X$$Y$$\text{Kurt}(U) = -1.2$$\text{Kurt}(X) = -2.4$≥ - 2สำหรับตัวแปรสุ่มใด ๆ$\text{Kurt}(X) \geq -2$

สิ่งที่น่าสนใจมากกว่านั้นคือเหตุผลที่ทำให้ฉันถึงจุดนั้น X (และY ) จะต้องมีขอบเขตระหว่าง 0 ถึง 0.5 - มีความชัดเจนมาก แต่เป็นประโยชน์หมายถึงช่วงเวลาและช่วงเวลาส่วนกลาง เริ่มจากการพิจารณาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน: E ( U ) = 0.5และVar ( U ) = $X$$Y$$\mathbb{E}(U)=0.5$12 . ถ้าXและYมีการกระจายเหมือนกันเรามี:$\text{Var}(U)=\frac{1}{12}$$X$$Y$

ดังนั้นE ( X ) = 0.25 สำหรับความแปรปรวนที่เรายังต้องใช้ความเป็นอิสระในการใช้:$\mathbb{E}(X) = 0.25$

ดังนั้นVar ( X ) = 124และσX=$\text{Var}(X) = \frac{1}{24}$2 √6 ≈0.204 ว้าว! นั่นคือความแตกต่างมากมายสำหรับตัวแปรสุ่มที่การสนับสนุนอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 0.5 แต่เราควรคาดหวังว่าเนื่องจากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะไม่ขยายในลักษณะเดียวกันกับที่ค่าเฉลี่ยได้$\sigma_X = \frac{1}{2\sqrt{6}} \approx 0.204$

ทีนี้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ใหญ่ที่สุดที่ตัวแปรสุ่มสามารถมีได้ถ้าค่าที่เล็กที่สุดที่สามารถใช้ได้คือ 0, ค่าที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถใช้ได้คือ 0.5 และค่าเฉลี่ยคือ 0.25? การรวบรวมความน่าจะเป็นทั้งหมดที่มวลสองจุดบนสุดขั้ว 0.25 ห่างจากค่าเฉลี่ยจะให้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานอย่างชัดเจน 0.25 ดังนั้นσ Xของเรามีขนาดใหญ่ แต่ไม่เป็นไปไม่ได้ (ฉันหวังว่าจะแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้บ่งบอกถึงความน่าจะเป็นที่มากเกินไปที่จะอยู่ในหางเพื่อให้X + Yเหมือนกัน แต่ฉันไม่สามารถไปไหนมาไหนได้ที่ด้านหลังของซองจดหมาย)$\sigma_X$$X + Y$

การพิจารณาช่วงเวลาที่สองเกือบทำให้ข้อ จำกัด ที่เป็นไปไม่ได้บนXดังนั้นลองพิจารณาช่วงเวลาที่สูงขึ้น สิ่งที่เกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์เพียร์สันของเบ้ , แกมมา1 = E ( X - μ X ) $X$σ 3 X =κ3κ 3 / 2 2 ? นี้มีอยู่ตั้งแต่ช่วงเวลากลางอยู่และσX≠0 มันจะช่วยให้ทราบคุณสมบัติบางอย่างของ cumulants โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้ความเป็นอิสระและจากนั้นการกระจายที่เหมือนกันให้:$\gamma_1 = \frac{\mathbb{E}(X - \mu_X)^3}{\sigma_X^3} = \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}}$$\sigma_X \neq 0$

This additivity property is precisely the generalisation of how we dealt with the mean and variance above - indeed, the first and second cumulants are just $\kappa_1 = \mu$ and $\kappa_2 = \sigma^2$.

Then $\kappa_3(U) = 2\kappa_3(X)$ and $\big(\kappa_2(U)\big)^{3/2} = \big(2\kappa_2(X)\big)^{3/2} = 2^{3/2} \big(\kappa_2(X)\big)^{3/2}$. The fraction for $\gamma_1$ cancels to yield $\text{Skew}(U) = \text{Skew}(X + Y) = \text{Skew}(X) / \sqrt{2}$. Since the uniform distribution has zero skewness, so does $X$, but I can't see how a contradiction arises from this restriction.

So instead, let's try the excess kurtosis, $\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} = \frac{\mathbb{E}(X - \mu_X)^4}{\sigma_X^4} - 3$. By a similar argument (this question is self-study, so try it!), we can show this exists and obeys:

The uniform distribution has excess kurtosis $-1.2$ so we require $X$ to have excess kurtosis $-2.4$. But the smallest possible excess kurtosis is $-2$, which is achieved by the $\text{Binomial}(1, \frac{1}{2})$ Bernoulli distribution.