อะไรคือ Plotable Variable Plot (Partial Regression Plot) ที่อธิบายในการถดถอยหลายครั้ง?

ฉันมีชุดข้อมูลภาพยนตร์และฉันใช้การถดถอย:

model <- lm(imdbVotes ~ imdbRating + tomatoRating + tomatoUserReviews+ I(genre1 ** 3.0) +I(genre2 ** 2.0)+I(genre3 ** 1.0), data = movies)
library(ggplot2)
res <- qplot(fitted(model), resid(model))
res+geom_hline(yintercept=0)

ซึ่งให้ผลลัพธ์:

ตอนนี้ฉันลองทำงานบางอย่างที่เรียกว่า "เพิ่ม Variable Plot" ครั้งแรกและฉันได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้:

car::avPlots(model, id.n=2, id.cex=0.7)

ปัญหาคือฉันพยายามที่จะทำความเข้าใจกับตัวแปรที่เพิ่มเข้ามาโดยใช้ google แต่ฉันไม่สามารถเข้าใจความลึกของมันได้เพราะเห็นพล็อตที่ฉันเข้าใจว่ามันเป็นตัวแทนของการบิดเบือนที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรอินพุตแต่ละตัวที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์

ฉันสามารถรับรายละเอียดเพิ่มเติมได้เล็กน้อยเช่นวิธีปรับข้อมูลให้เป็นมาตรฐาน

เพื่อประกอบการอธิบายฉันจะใช้รูปแบบการถดถอยที่ซับซ้อนน้อยกว่า$Y = \beta_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \epsilon$ที่ตัวแปร$X_2$และ$X_3$อาจจะมีความสัมพันธ์ สมมติว่าเนินเขา$\beta_2$และ$\beta_3$มีทั้งทางบวกเพื่อให้เราสามารถพูดได้ว่า (i) $Y$เพิ่มขึ้นเป็น$X_2$เพิ่มขึ้นถ้า$X_3$เป็นค่าคงที่จัดขึ้นตั้งแต่$\beta_2$เป็นบวก; (ii) $Y$เพิ่มขึ้นเมื่อ$X_3$เพิ่มขึ้นหาก$X_2$นั้นคงที่เนื่องจาก$\beta_3$เป็นค่าบวก

โปรดทราบว่าการตีความสัมประสิทธิ์การถดถอยหลายตัวเป็นสิ่งสำคัญโดยการพิจารณาว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อตัวแปรอื่น ๆ มีค่าคงที่ ("ceteris paribus") สมมติว่าผมแค่ถดถอย$Y$กับ$X_2$กับรูปแบบ$Y = \beta_1' + \beta_2' X_2 + \epsilon'$ ' การประมาณค่าสัมประสิทธิ์ความชันของฉัน$\beta_2'$ซึ่งวัดผลกระทบต่อ$Y$ของการเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วยใน$X_2$ โดยไม่ต้องถือ$X_3$คงอาจจะแตกต่างจากการประมาณการของฉัน$\beta_2$จากการถดถอยพหุคูณ - ที่ยังมีขนาดผลกระทบต่อ$Y$จากการเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วยใน$X_2$แต่ก็ไม่ถือ$X_3$อย่างต่อเนื่อง ปัญหาเกี่ยวกับการประมาณการของฉัน$\hat{\beta_2'}$คือว่ามันมีความลำเอียงจากตัวแปรที่ละเว้นหาก$X_2$และ$X_3$มีความสัมพันธ์กัน

เพื่อให้เข้าใจว่าเหตุใดจึงจินตนาการว่า$X_2$และ$X_3$มีความสัมพันธ์เชิงลบ ตอนนี้เมื่อฉันเพิ่ม$X_2$โดยหน่วยหนึ่งฉันรู้ว่าค่าเฉลี่ยของ$Y$ควรจะเพิ่มขึ้นตั้งแต่$\beta_2 > 0$ 0 แต่เป็น$X_2$เพิ่มขึ้นถ้าเราไม่ถือ$X_3$คงที่แล้ว$X_3$มีแนวโน้มที่จะลดลงและตั้งแต่$\beta_3 > 0$นี้จะมีแนวโน้มที่จะลดค่าเฉลี่ยของY$Y$ดังนั้นผลกระทบโดยรวมของการเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วยใน$X_2$จะลดลงถ้าฉันยอมให้$X_3$จะแตกต่างกันยังจึง$\beta_2' < \beta_2$ 2 สิ่งต่าง ๆ ยิ่งแย่ลงยิ่งรุนแรงยิ่งขึ้น$X_2$และ$X_3$มีความสัมพันธ์กันและยิ่งเอฟเฟกต์ของ$X_3$ถึง$\beta_3$มากขึ้นในกรณีที่รุนแรงมากเราอาจพบ$\beta_2' < 0$แม้ว่าเราจะรู้แล้วก็ตาม Ceteris paribus,$X_2$มีอิทธิพลเชิงบวกต่อ$Y$ !

หวังว่าตอนนี้คุณสามารถเห็นได้ว่าทำไมการวาดกราฟของ$Y$ต่อ$X_2$จะเป็นวิธีที่ไม่ดีในการมองเห็นความสัมพันธ์ระหว่าง$Y$และ$X_2$ในแบบจำลองของคุณ ในตัวอย่างของฉันดวงตาของคุณจะถูกวาดให้อยู่ในแนวที่เหมาะสมที่สุดกับความชัน$\hat{\beta_2'}$ที่ไม่สะท้อน$\hat{\beta_2}$จากแบบจำลองการถดถอยของคุณ ในกรณีที่เลวร้ายที่สุดแบบจำลองของคุณอาจคาดการณ์ว่า$Y$เพิ่มขึ้นเมื่อ$X_2$เพิ่มขึ้น (โดยมีตัวแปรอื่น ๆ คงที่) และยังมีจุดบนกราฟที่แนะนำว่า$Y$ลดลงเมื่อ$X_2$เพิ่มขึ้น

ปัญหาคือในกราฟอย่างง่ายของ$Y$เทียบกับ$X_2$ตัวแปรอื่น ๆ จะไม่คงที่ นี่เป็นข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญเกี่ยวกับประโยชน์ของพล็อตตัวแปรที่เพิ่มเข้ามา (หรือที่เรียกว่าพล็อตการถดถอยบางส่วน) - มันใช้ทฤษฎีบท Frisch-Waugh-Lovell เพื่อ "แยกบางส่วน" ออกผลของการทำนายอื่น ๆ แกนแนวนอนและแนวตั้งบนพล็อตอาจจะเข้าใจได้ง่ายที่สุด * ในขณะที่ " $X_2$หลังจากตัวทำนายอื่น ๆ ได้รับการพิจารณา" และ " $Y$หลังจากตัวทำนายอื่น ๆ ได้รับการพิจารณา" ตอนนี้คุณสามารถดูความสัมพันธ์ระหว่าง$Y$ และ$X_2$ เมื่อมีการใช้ตัวทำนายอื่นทั้งหมด. ตัวอย่างเช่นความชันที่คุณเห็นในแต่ละตอนนี้สะท้อนถึงสัมประสิทธิ์การถดถอยบางส่วนจากแบบจำลองการถดถอยหลายแบบดั้งเดิมของคุณ

จำนวนมากของพล็อตตัวแปรที่เพิ่มเข้ามาจะอยู่ในขั้นตอนการวินิจฉัยการถดถอยโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากค่าคงที่ในพล็อตตัวแปรที่เพิ่มนั้นเป็นค่าที่เหลือจากการถดถอยพหุคูณดั้งเดิมอย่างแม่นยำ ซึ่งหมายความว่าค่าผิดปกติและ heteroskedasticity สามารถระบุได้ในลักษณะที่คล้ายกันเมื่อดูที่พล็อตของแบบง่ายมากกว่าแบบจำลองการถดถอยหลายแบบ นอกจากนี้ยังสามารถเห็นคะแนนที่มีอิทธิพลซึ่งเป็นประโยชน์ในการถดถอยหลายครั้งเนื่องจากจุดที่มีอิทธิพลบางอย่างไม่ชัดเจนในข้อมูลดั้งเดิมก่อนที่คุณจะพิจารณาตัวแปรอื่น ๆ ในตัวอย่างของฉันค่า$X_2$มีขนาดใหญ่พอสมควรอาจไม่ได้ดูนอกสถานที่ในตารางของข้อมูล แต่ถ้าค่า$X_3$นั้นมีขนาดใหญ่เช่นกันแม้จะมี$X_2$และ$X_3$มีความสัมพันธ์เชิงลบจากนั้นการรวมกันจะหายาก "การบัญชีสำหรับผู้ทำนายอื่น ๆ "ค่า$X_2$นั้นใหญ่ผิดปกติและจะโดดเด่นกว่าในพล็อตตัวแปรที่เพิ่มเข้ามา

$*$ทางเทคนิคแล้วพวกมันจะเหลือจากการวิ่งอีกสองถดถอย: ส่วนที่เหลือจากการถดถอย$Y$กับตัวทำนายอื่นที่ไม่ใช่$X_2$จะอยู่ในแกนตั้งในขณะที่ส่วนที่เหลือจากการถดถอย$X_2$กับตัวทำนายอื่น ๆ นี่คือสิ่งที่ตำนานของ "$Y$มอบให้ผู้อื่น" และ "$X_2$มอบให้ผู้อื่น" กำลังบอกคุณ เนื่องจากค่าเฉลี่ยที่เหลือจากการถดถอยทั้งสองนี้เป็นศูนย์จุดเฉลี่ยของ ($X_2$ให้กับคนอื่น$Y$ให้คนอื่น ๆ ) จะเป็น (0, 0) ซึ่งจะอธิบายว่าทำไมเส้นถดถอยในพล็อตตัวแปรที่เพิ่มเข้ามามักจะผ่านจุดกำเนิด แต่บ่อยครั้งที่ฉันพบว่าการพูดถึงแกนเป็นแค่เศษเหลือจากการถดถอยอื่น ๆ ทำให้คนสับสน (อาจจะแปลกใจเพราะตอนนี้เรากำลังพูดถึงการถดถอยสี่แบบที่แตกต่างกัน!) ดังนั้นฉันจึงพยายามไม่อยู่กับเรื่องนี้ เข้าใจพวกเขาในฐานะ " $X_2$มอบให้ผู้อื่น" และ " $Y$มอบให้ผู้อื่น" และคุณควรจะสบายดี

มีอะไรที่สามารถพูดได้จริงเกี่ยวกับแนวโน้มที่เห็นในแปลง

แน่นอนว่าความลาดชันของพวกเขาคือสัมประสิทธิ์การถดถอยจากแบบจำลองดั้งเดิม (สัมประสิทธิ์การถดถอยบางส่วนคาดการณ์อื่น ๆ ทั้งหมดคงที่)