ตัวอย่างของเมื่อช่วงความมั่นใจและช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือตรงกัน


11

ในบทความวิกิพีเดียเรื่องCredible Intervalกล่าวว่า:

สำหรับกรณีของพารามิเตอร์เดียวและข้อมูลที่สามารถสรุปได้ในสถิติที่เพียงพอเพียงครั้งเดียวก็สามารถแสดงให้เห็นว่าช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือและช่วงความเชื่อมั่นจะเกิดขึ้นหากพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักเป็นพารามิเตอร์ตำแหน่ง (เช่นฟังก์ชันความน่าจะเป็นไปข้างหน้ามีรูปแบบ Pr (x | μ) = f (x - μ)) โดยก่อนหน้านั้นคือการกระจายแบบคงที่แบบสม่ำเสมอ [5] และหากพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักเป็นพารามิเตอร์ขนาด (เช่นฟังก์ชันความน่าจะเป็นไปข้างหน้ามีรูปแบบ Pr (x | s) = f (x / s)), กับ Jeffreys 'ก่อนหน้า [5] - หลังต่อไปนี้เนื่องจากการลอการิทึมของพารามิเตอร์มาตราส่วนดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็นพารามิเตอร์ตำแหน่งที่มีการแจกแจงแบบเดียวกัน แต่สิ่งเหล่านี้เป็นกรณีพิเศษ (แม้ว่าสำคัญ) โดยทั่วไปไม่สามารถทำการเทียบเท่าได้ "

ผู้คนสามารถให้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้หรือไม่? 95% CI จริง ๆ แล้วตรงกับ "โอกาส 95%" เมื่อใดจึง "ละเมิด" คำจำกัดความทั่วไปของ CI

คำตอบ:


13

การกระจายปกติ:

ทำการแจกแจงแบบปกติที่มีความแปรปรวนเป็นที่รู้จัก เราสามารถนำความแปรปรวนนี้มาเป็น 1 ได้โดยไม่สูญเสียความเอนเอียง (โดยการหารแต่ละการสังเกตด้วยสแควร์รูทของความแปรปรวน) สิ่งนี้มีการกระจายตัวตัวอย่าง:

p(X1...XN|μ)=(2π)N2exp(12i=1N(Xiμ)2)=Aexp(N2(X¯μ)2)

โดยที่คือค่าคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับข้อมูลเท่านั้น นี่แสดงให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับค่าเฉลี่ยประชากร หากเราใช้เครื่องแบบก่อนหน้านี้การแจกแจงหลังสำหรับจะเป็น:μAμ

(μ|X1...XN)Normal(X¯,1N)(N(μX¯)|X1...XN)Normal(0,1)

ดังนั้นช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือจะอยู่ในรูปแบบ:1α

(X¯+1NLα,X¯+1NUα)

โดยที่และถูกเลือกเพื่อให้ตัวแปรสุ่มแบบปกติมาตรฐานตาม: U α ZLαUαZ

Pr(Lα<Z<Uα)=1α

ตอนนี้เราสามารถเริ่มต้นจาก "ปริมาณสำคัญ" นี้เพื่อสร้างช่วงความมั่นใจ การกระจายตัวตัวอย่างของสำหรับ fixedคือการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานดังนั้นเราสามารถแทนที่สิ่งนี้ลงในความน่าจะเป็นข้างต้น:μN(μX¯)μ

Pr(Lα<N(μX¯)<Uα)=1α

จากนั้นจัดเรียงใหม่เพื่อแก้ไขสำหรับและช่วงความมั่นใจจะเหมือนกับช่วงเวลาที่เชื่อถือได้μ

พารามิเตอร์สเกล:

สำหรับพารามิเตอร์ขนาดไฟล์ PDF มีรูปแบบขวา) เราสามารถใช้ซึ่งสอดคล้องกับ 1 การสุ่มตัวอย่างร่วมกันคือ:p(Xi|s)=1sf(Xis)(Xi|s)Uniform(0,s)f(t)=1

p(X1...XN|s)=sN0<X1...XN<s

จากการที่เราพบว่าสถิติเพียงพอที่จะเท่ากับ (สูงสุดของการสังเกต) ตอนนี้เราพบการกระจายตัวตัวอย่าง:Xmax

Pr(Xmax<y|s)=Pr(X1<y,X2<y...XN<y|s)=(ys)N

ตอนนี้เราสามารถทำให้เป็นอิสระของพารามิเตอร์นี้โดยการการ yซึ่งหมายความว่า "ปริมาณที่สำคัญ" ของเรานั้นมอบให้โดยพร้อมซึ่งเป็นการกระจายดังนั้นเราสามารถเลือกโดยใช้เบต้าควอลล์เช่น:y=qsQ=s1XmaxPr(Q<q)=qNbeta(N,1)Lα,Uα

Pr(Lα<Q<Uα)=1α=UαNLαN

และเราทดแทนปริมาณการพิจาณา:

Pr(Lα<s1Xmax<Uα)=1α=Pr(XmaxLα1>s>XmaxUα1)

และมีช่วงความมั่นใจของเรา สำหรับวิธีการแก้ปัญหาแบบเบย์กับเจฟเฟรย์ก่อนหน้านี้เรา:

p(s|X1...XN)=sN1XmaxrN1dr=N(Xmax)NsN1
Pr(s>t|X1...XN)=N(Xmax)NtsN1ds=(Xmaxt)N

ตอนนี้เราเสียบช่วงความมั่นใจแล้วคำนวณความน่าเชื่อถือ

Pr(XmaxLα1>s>XmaxUα1|X1...XN)=(XmaxXmaxUα1)N(XmaxXmaxLα1)N

=UαNLαN=Pr(Lα<Q<Uα)

และ presto เรามีความน่าเชื่อถือและความคุ้มครอง1α


ผลงานชิ้นเอกขอบคุณ! ฉันหวังว่าอาจมีคำตอบเช่น "เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจากการแจกแจงแบบปกติ 95% CI จริง ๆ ก็เป็นช่วงที่น่าเชื่อถือ 95%" หรืออะไรทำนองนั้น (เพียงทำตามคำตอบที่คาดไว้นี้ฉันไม่มีเบาะแสเกี่ยวกับตัวอย่างเฉพาะ)
Wayne

ฉันเชื่อว่าช่วงการคาดการณ์ / การยอมรับ 95% ที่พบบ่อยนั้นสอดคล้องกับช่วงการทำนายแบบเบย์ด้วยการถดถอยแบบ OLS และข้อผิดพลาดปกติ มันจะปรากฏขึ้นเมื่อฉันเปรียบเทียบคำตอบของ Pred.lm กับคำตอบที่จำลองขึ้นมา แต่อย่างใด มันเป็นเรื่องจริงเหรอ?
Wayne

สำหรับหากคุณใช้เครื่องแบบก่อนหน้าสำหรับและ jeffreys ก่อนหน้านี้สำหรับว่าคุณมีความเท่าเทียมกัน α , β σY=α+βXα,βσ
ความน่าจะเป็นทางการ

เยี่ยมมากขอบคุณ! ฉันพยายามอธิบาย CI สำหรับการถดถอยที่ฉันทำในแง่ของ Confidence Interval และมันก็ไม่ได้เชื่อมโยงกับผู้ชมทั่วไปซึ่งคาดว่าช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือ ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมากสำหรับฉัน ... แม้ว่าบางทีมันอาจจะไม่ดีสำหรับโลกสถิติโดยรวมเพราะมันจะเสริมความเข้าใจผิดของคนธรรมดาสามัญของ CI
Wayne

@Wayne - สถานการณ์เป็นเรื่องทั่วไปมากกว่าเพียงแค่ระดับครอบครัวเท่านั้น โดยปกติแล้ว CI จะเทียบเท่ากับช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือหากเป็นไปตาม "สถิติที่เพียงพอ" (ตามที่ทั้งสองมี) ซึ่งมีอยู่นี้ หากสถิติไม่เพียงพอ CI ต้องกำหนดเงื่อนไขในสิ่งที่เรียกว่า "สถิติเสริม" เพื่อให้มีการตีความช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือ
ความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.