การกระจายปกติ:
ทำการแจกแจงแบบปกติที่มีความแปรปรวนเป็นที่รู้จัก เราสามารถนำความแปรปรวนนี้มาเป็น 1 ได้โดยไม่สูญเสียความเอนเอียง (โดยการหารแต่ละการสังเกตด้วยสแควร์รูทของความแปรปรวน) สิ่งนี้มีการกระจายตัวตัวอย่าง:
p ( X)1. . . Xยังไม่มีข้อความ| μ)= ( 2 π)- N2ประสบการณ์( - 12Σi = 1ยังไม่มีข้อความ( Xผม- μ )2) =ประสบการณ์( - N2( X¯¯¯¯- μ )2)
โดยที่คือค่าคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับข้อมูลเท่านั้น นี่แสดงให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับค่าเฉลี่ยประชากร หากเราใช้เครื่องแบบก่อนหน้านี้การแจกแจงหลังสำหรับจะเป็น:μAμ
( μ | X1. . . Xยังไม่มีข้อความ) ∼ No r m a l ( X¯¯¯¯, 1ยังไม่มีข้อความ)⟹( N--√( μ - X¯¯¯¯) | X1. . . Xยังไม่มีข้อความ) ∼ No r m a l ( 0 , 1 )
ดังนั้นช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือจะอยู่ในรูปแบบ:1 - α
( X¯¯¯¯+ 1ยังไม่มีข้อความ--√Lα, X¯¯¯¯+1ยังไม่มีข้อความ--√ยูα)
โดยที่และถูกเลือกเพื่อให้ตัวแปรสุ่มแบบปกติมาตรฐานตาม: U α ZLαยูαZ
Pr ( ลα< Z< คุณα) = 1 - α
ตอนนี้เราสามารถเริ่มต้นจาก "ปริมาณสำคัญ" นี้เพื่อสร้างช่วงความมั่นใจ การกระจายตัวตัวอย่างของสำหรับ fixedคือการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานดังนั้นเราสามารถแทนที่สิ่งนี้ลงในความน่าจะเป็นข้างต้น:μยังไม่มีข้อความ--√( μ - X¯¯¯¯)μ
Pr ( ลα< N--√( μ - X¯¯¯¯) < Uα) =1-α
จากนั้นจัดเรียงใหม่เพื่อแก้ไขสำหรับและช่วงความมั่นใจจะเหมือนกับช่วงเวลาที่เชื่อถือได้μ
พารามิเตอร์สเกล:
สำหรับพารามิเตอร์ขนาดไฟล์ PDF มีรูปแบบขวา) เราสามารถใช้ซึ่งสอดคล้องกับ 1 การสุ่มตัวอย่างร่วมกันคือ:p ( X)ผม| s)= 1sฉ( Xผมs)( Xผม| s)∼คุณn ฉันfo r m ( 0 , s )ฉ( t ) = 1
p ( X)1. . . Xยังไม่มีข้อความ| s)= s- N0 < X1. . . Xยังไม่มีข้อความ< s
จากการที่เราพบว่าสถิติเพียงพอที่จะเท่ากับ (สูงสุดของการสังเกต) ตอนนี้เราพบการกระจายตัวตัวอย่าง:Xm a x
Pr ( Xm a x< y| s)=Pr ( X1< y, X2< y. . . Xยังไม่มีข้อความ< y| s)= ( ys)ยังไม่มีข้อความ
ตอนนี้เราสามารถทำให้เป็นอิสระของพารามิเตอร์นี้โดยการการ yซึ่งหมายความว่า "ปริมาณที่สำคัญ" ของเรานั้นมอบให้โดยพร้อมซึ่งเป็นการกระจายดังนั้นเราสามารถเลือกโดยใช้เบต้าควอลล์เช่น:Y= qsQ = s- 1Xm a xPr ( Q < q) = qยังไม่มีข้อความขE t ( N, 1 )Lα, Uα
Pr ( ลα< Q < คุณα) = 1 - α = Uยังไม่มีข้อความα- ลยังไม่มีข้อความα
และเราทดแทนปริมาณการพิจาณา:
Pr ( ลα< s- 1Xm a x< คุณα) = 1 - α = Pr ( Xm a xL- 1α> s > Xm a xยู- 1α)
และมีช่วงความมั่นใจของเรา สำหรับวิธีการแก้ปัญหาแบบเบย์กับเจฟเฟรย์ก่อนหน้านี้เรา:
p ( s | X1. . . Xยังไม่มีข้อความ) = s- N- 1∫∞Xm a xR- N- 1dR= N( Xm a x)ยังไม่มีข้อความs- N- 1
⟹Pr ( s > t | X1. . . Xยังไม่มีข้อความ) = N( Xm a x)ยังไม่มีข้อความ∫∞เสื้อs- N- 1ds = ( Xm a xเสื้อ)ยังไม่มีข้อความ
ตอนนี้เราเสียบช่วงความมั่นใจแล้วคำนวณความน่าเชื่อถือ
Pr ( Xm a xL- 1α> s > Xm a xยู- 1α| X1. . . Xยังไม่มีข้อความ) = ( Xm a xXm a xยู- 1α)ยังไม่มีข้อความ- ( Xm a xXm a xL- 1α)ยังไม่มีข้อความ
= Uยังไม่มีข้อความα- ลยังไม่มีข้อความα= Pr ( ลα< Q < คุณα)
และ presto เรามีความน่าเชื่อถือและความคุ้มครอง1 - α