ตัวอย่างของเมื่อช่วงความมั่นใจและช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือตรงกัน

ในบทความวิกิพีเดียเรื่องCredible Intervalกล่าวว่า:

สำหรับกรณีของพารามิเตอร์เดียวและข้อมูลที่สามารถสรุปได้ในสถิติที่เพียงพอเพียงครั้งเดียวก็สามารถแสดงให้เห็นว่าช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือและช่วงความเชื่อมั่นจะเกิดขึ้นหากพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักเป็นพารามิเตอร์ตำแหน่ง (เช่นฟังก์ชันความน่าจะเป็นไปข้างหน้ามีรูปแบบ Pr (x | μ) = f (x - μ)) โดยก่อนหน้านั้นคือการกระจายแบบคงที่แบบสม่ำเสมอ [5] และหากพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักเป็นพารามิเตอร์ขนาด (เช่นฟังก์ชันความน่าจะเป็นไปข้างหน้ามีรูปแบบ Pr (x | s) = f (x / s)), กับ Jeffreys 'ก่อนหน้า [5] - หลังต่อไปนี้เนื่องจากการลอการิทึมของพารามิเตอร์มาตราส่วนดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็นพารามิเตอร์ตำแหน่งที่มีการแจกแจงแบบเดียวกัน แต่สิ่งเหล่านี้เป็นกรณีพิเศษ (แม้ว่าสำคัญ) โดยทั่วไปไม่สามารถทำการเทียบเท่าได้ "

ผู้คนสามารถให้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้หรือไม่? 95% CI จริง ๆ แล้วตรงกับ "โอกาส 95%" เมื่อใดจึง "ละเมิด" คำจำกัดความทั่วไปของ CI

confidence-interval credible-interval

— เวย์น
แหล่งที่มา

การกระจายปกติ:

ทำการแจกแจงแบบปกติที่มีความแปรปรวนเป็นที่รู้จัก เราสามารถนำความแปรปรวนนี้มาเป็น 1 ได้โดยไม่สูญเสียความเอนเอียง (โดยการหารแต่ละการสังเกตด้วยสแควร์รูทของความแปรปรวน) สิ่งนี้มีการกระจายตัวตัวอย่าง:

p (X_{1} . . . X_{N} | μ) = {(2 π)}^{- \frac{N}{2}} \exp (- \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - μ)^{2}) = A \exp (- \frac{N}{2} (\bar{X} - μ)^{2})

$p(X_{1}...X_{N}|\mu)=\left(2\pi\right)^{-\frac{N}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}(X_{i}-\mu)^{2}\right)=A\exp\left(-\frac{N}{2}(\overline{X}-\mu)^{2}\right)$

โดยที่คือค่าคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับข้อมูลเท่านั้น นี่แสดงให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับค่าเฉลี่ยประชากร หากเราใช้เครื่องแบบก่อนหน้านี้การแจกแจงหลังสำหรับจะเป็น: $A$ $\mu$

(μ | X_{1} . . . X_{N}) \sim N o r m a l (\bar{X}, \frac{1}{N}) ⟹ (\sqrt{N} (μ - \bar{X}) | X_{1} . . . X_{N}) \sim N o r m a l (0, 1)

$(\mu|X_{1}...X_{N})\sim Normal\left(\overline{X},\frac{1}{N}\right)\implies \left(\sqrt{N}(\mu-\overline{X})|X_{1}...X_{N}\right)\sim Normal(0,1)$

ดังนั้นช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือจะอยู่ในรูปแบบ: $1-\alpha$

(\bar{X} + \frac{1}{\sqrt{N}} L_{α}, \bar{X} + \frac{1}{\sqrt{N}} U_{α})

$\left(\overline{X}+\frac{1}{\sqrt{N}}L_{\alpha},\overline{X}+\frac{1}{\sqrt{N}}U_{\alpha}\right)$

โดยที่และถูกเลือกเพื่อให้ตัวแปรสุ่มแบบปกติมาตรฐานตาม: $L_{\alpha}$ $U_{\alpha}$ $Z$

P r (L_{α} < Z < U_{α}) = 1 - α

$Pr\left(L_{\alpha}<Z<U_{\alpha}\right)=1-\alpha$

ตอนนี้เราสามารถเริ่มต้นจาก "ปริมาณสำคัญ" นี้เพื่อสร้างช่วงความมั่นใจ การกระจายตัวตัวอย่างของสำหรับ fixedคือการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานดังนั้นเราสามารถแทนที่สิ่งนี้ลงในความน่าจะเป็นข้างต้น: $\sqrt{N}(\mu-\overline{X})$ $\mu$

P r (L_{α} < \sqrt{N} (μ - \bar{X}) < U_{α}) = 1 - α

$Pr\left(L_{\alpha}<\sqrt{N}(\mu-\overline{X})<U_{\alpha}\right)=1-\alpha$

จากนั้นจัดเรียงใหม่เพื่อแก้ไขสำหรับและช่วงความมั่นใจจะเหมือนกับช่วงเวลาที่เชื่อถือได้ $\mu$

พารามิเตอร์สเกล:

สำหรับพารามิเตอร์ขนาดไฟล์ PDF มีรูปแบบขวา) เราสามารถใช้ซึ่งสอดคล้องกับ 1 การสุ่มตัวอย่างร่วมกันคือ: $p(X_{i}|s)=\frac{1}{s}f\left(\frac{X_{i}}{s}\right)$ $(X_{i}|s)\sim Uniform(0,s)$ $f(t)=1$

p (X_{1} . . . X_{N} | s) = s^{- N} 0 < X_{1} . . . X_{N} < s

$p(X_{1}...X_{N}|s)=s^{-N}\;\;\;\;\;\;\;0<X_{1}...X_{N}<s$

จากการที่เราพบว่าสถิติเพียงพอที่จะเท่ากับ (สูงสุดของการสังเกต) ตอนนี้เราพบการกระจายตัวตัวอย่าง: $X_{max}$

P r (X_{m a x} < y | s) = P r (X_{1} < y, X_{2} < y . . . X_{N} < y | s) = {(\frac{y}{s})}^{N}

$Pr(X_{max}<y|s)=Pr(X_{1}<y,X_{2}<y...X_{N}<y|s)=\left(\frac{y}{s}\right)^{N}$

ตอนนี้เราสามารถทำให้เป็นอิสระของพารามิเตอร์นี้โดยการการ yซึ่งหมายความว่า "ปริมาณที่สำคัญ" ของเรานั้นมอบให้โดยพร้อมซึ่งเป็นการกระจายดังนั้นเราสามารถเลือกโดยใช้เบต้าควอลล์เช่น: $y=qs$ $Q=s^{-1}X_{max}$ $Pr(Q<q)=q^{N}$ $beta(N,1)$ $L_{\alpha},U_{\alpha}$

P r (L_{α} < Q < U_{α}) = 1 - α = U_{α}^{N} - L_{α}^{N}

$Pr(L_{\alpha}<Q<U_{\alpha})=1-\alpha=U_{\alpha}^{N}-L_{\alpha}^{N}$

และเราทดแทนปริมาณการพิจาณา:

P r (L_{α} < s^{- 1} X_{m a x} < U_{α}) = 1 - α = P r (X_{m a x} L_{α}^{- 1} > s > X_{m a x} U_{α}^{- 1})

$Pr(L_{\alpha}<s^{-1}X_{max}<U_{\alpha})=1-\alpha=Pr(X_{max}L_{\alpha}^{-1}>s>X_{max}U_{\alpha}^{-1})$

และมีช่วงความมั่นใจของเรา สำหรับวิธีการแก้ปัญหาแบบเบย์กับเจฟเฟรย์ก่อนหน้านี้เรา:

p (s | X_{1} . . . X_{N}) = \frac{s^{- N - 1}}{\int_{X_{m a x}}^{\infty} r^{- N - 1} d r} = N (X_{m a x})^{N} s^{- N - 1}

$p(s|X_{1}...X_{N})=\frac{s^{-N-1}}{\int_{X_{max}}^{\infty}r^{-N-1}dr}=N (X_{max})^{N}s^{-N-1}$

⟹ P r (s > t | X_{1} . . . X_{N}) = N (X_{m a x})^{N} \int_{t}^{\infty} s^{- N - 1} d s = {(\frac{X_{m a x}}{t})}^{N}

$\implies Pr(s>t|X_{1}...X_{N})=N (X_{max})^{N}\int_{t}^{\infty}s^{-N-1}ds=\left(\frac{X_{max}}{t}\right)^{N}$

ตอนนี้เราเสียบช่วงความมั่นใจแล้วคำนวณความน่าเชื่อถือ

P r (X_{m a x} L_{α}^{- 1} > s > X_{m a x} U_{α}^{- 1} | X_{1} . . . X_{N}) = {(\frac{X_{m a x}}{X_{m a x} U_{α}^{- 1}})}^{N} - {(\frac{X_{m a x}}{X_{m a x} L_{α}^{- 1}})}^{N}

$Pr(X_{max}L_{\alpha}^{-1}>s>X_{max}U_{\alpha}^{-1}|X_{1}...X_{N})=\left(\frac{X_{max}}{X_{max}U_{\alpha}^{-1}}\right)^{N}-\left(\frac{X_{max}}{X_{max}L_{\alpha}^{-1}}\right)^{N}$

= U_{α}^{N} - L_{α}^{N} = P r (L_{α} < Q < U_{α})

$=U_{\alpha}^{N}-L_{\alpha}^{N}=Pr(L_{\alpha}<Q<U_{\alpha})$

และ presto เรามีความน่าเชื่อถือและความคุ้มครอง $1-\alpha$

— probabilityislogic
แหล่งที่มา

ผลงานชิ้นเอกขอบคุณ! ฉันหวังว่าอาจมีคำตอบเช่น "เมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจากการแจกแจงแบบปกติ 95% CI จริง ๆ ก็เป็นช่วงที่น่าเชื่อถือ 95%" หรืออะไรทำนองนั้น (เพียงทำตามคำตอบที่คาดไว้นี้ฉันไม่มีเบาะแสเกี่ยวกับตัวอย่างเฉพาะ)

— Wayne

ฉันเชื่อว่าช่วงการคาดการณ์ / การยอมรับ 95% ที่พบบ่อยนั้นสอดคล้องกับช่วงการทำนายแบบเบย์ด้วยการถดถอยแบบ OLS และข้อผิดพลาดปกติ มันจะปรากฏขึ้นเมื่อฉันเปรียบเทียบคำตอบของ Pred.lm กับคำตอบที่จำลองขึ้นมา แต่อย่างใด มันเป็นเรื่องจริงเหรอ?

— Wayne

สำหรับหากคุณใช้เครื่องแบบก่อนหน้าสำหรับและ jeffreys ก่อนหน้านี้สำหรับว่าคุณมีความเท่าเทียมกัน

Y = α + β X

$Y=\alpha+\beta X$

α, β

$\alpha,\beta$

σ

$\sigma$

— ความน่าจะเป็นทางการ

เยี่ยมมากขอบคุณ! ฉันพยายามอธิบาย CI สำหรับการถดถอยที่ฉันทำในแง่ของ Confidence Interval และมันก็ไม่ได้เชื่อมโยงกับผู้ชมทั่วไปซึ่งคาดว่าช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือ ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมากสำหรับฉัน ... แม้ว่าบางทีมันอาจจะไม่ดีสำหรับโลกสถิติโดยรวมเพราะมันจะเสริมความเข้าใจผิดของคนธรรมดาสามัญของ CI

— Wayne

@Wayne - สถานการณ์เป็นเรื่องทั่วไปมากกว่าเพียงแค่ระดับครอบครัวเท่านั้น โดยปกติแล้ว CI จะเทียบเท่ากับช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือหากเป็นไปตาม "สถิติที่เพียงพอ" (ตามที่ทั้งสองมี) ซึ่งมีอยู่นี้ หากสถิติไม่เพียงพอ CI ต้องกำหนดเงื่อนไขในสิ่งที่เรียกว่า "สถิติเสริม" เพื่อให้มีการตีความช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือ

— ความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้