โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้นถูกสอนด้วยสัจพจน์ของ Kolgomorov Bayesians ยอมรับความจริงของ Kolmogorov หรือไม่?

ในความเห็นของฉันการตีความความน่าจะเป็นของค็อกซ์ - เจย์เน่เป็นรากฐานที่เข้มงวดสำหรับความน่าจะเป็นแบบเบย์:

• Cox, Richard T. "ความน่าจะเป็น, ความถี่และความคาดหวังที่สมเหตุสมผล" วารสารอเมริกันของฟิสิกส์ 14.1 (1946): 1-13
• Jaynes, Edwin T. ทฤษฎีความน่าจะเป็น: ตรรกะของวิทยาศาสตร์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2003
• เบ็คเจมส์แอล "การระบุระบบแบบเบย์ตามตรรกะความน่าจะเป็น" การควบคุมโครงสร้างและการตรวจสอบสุขภาพ 17.7 (2010): 825-847

สัจพจน์ของตรรกะความน่าจะเป็นที่ได้รับจาก Cox คือ:

1. $\Pr[b|a]\ge0$
2. (P2): (ฟังก์ชั่นการปฏิเสธ)$\Pr[\overline{b}|a]=1-\Pr[b|a]$
3. (P3): (ฟังก์ชั่นร่วม)$\Pr[b\cap c|a]=\Pr[c|b\cap a]\Pr[b|a]$

Axioms P1-P3 บ่งบอกถึงสิ่งต่อไปนี้ (เบ็ค, เจมส์แอล "การระบุระบบเบย์ตามตรรกะความน่าจะเป็น" การควบคุมโครงสร้างและการตรวจสอบสุขภาพ 17.7 (2010): 825-847):

4. (P4): a) ; b) ; c)Pr [ ¯ b | b ∩ c ] = 0 Pr [ b | c ] ∈ [ 0 , 1 $\Pr[b|b\cap c] = 1$$\Pr[\overline{b}|b\cap c] = 0$$\Pr[b|c]\in[0,1]$
5. (P5): a) , b) Pr [ a | c ∩ ( a ⇔ b ) ] = Pr [ b | ค∩ ( ⇔ ข) ]ซึ่งหมายความว่ามีอยู่ในและหมายความว่าเทียบเท่ากับขa ⇒ b a c a ⇔ b a $\Pr[a|c \cap (a \Rightarrow b)]\le\Pr[b|c\cap(a \Rightarrow b)]$$\Pr[a|c\cap(a \Leftrightarrow b)] = \Pr[b|c\cap(a \Leftrightarrow b)]$$a \Rightarrow b$$a$$c$$a \Leftrightarrow b$$a$$b$
6. (P6):$\Pr[a \cup b|c] = \Pr[a|c]+\Pr[b|c]-\Pr[a\cap b|c]$
7. (P7): สมมติว่าข้อเสนอระบุว่าข้อเสนอเพียงหนึ่งข้อนั้นเป็นจริงแล้ว: b 1 , … , b $c$$b_1,\ldots,b_N$
   • a) ทฤษฎีการทำให้เป็นชายขอบ:$\Pr[a|c]=\sum_{n=1}^N P[a \cap b_n|c]$
   • b) ทฤษฎีความน่าจะเป็นรวม:$\Pr[a|c] = \sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]$
   • ทฤษฎีบทของ Bayes: สำหรับ :Pr [ b k | a ∩ c ] = Pr [ a | b k ∩ c ] Pr [ b k | ค$k=1,\ldots,N$$\Pr[b_k|a\cap c] = \frac{\Pr[a|b_k\cap c]\Pr[b_k|c]}{\sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]}$

พวกเขาบ่งบอกถึงคำสั่งตรรกะของ Kolmogorov ซึ่งสามารถดูเป็นกรณีพิเศษ

ในการตีความมุมมองแบบเบย์ของฉันทุกอย่างมีเงื่อนไข (โดยปริยาย) อยู่บนความเชื่อและความรู้ของเรา

การเปรียบเทียบต่อไปนี้นำมาจาก Beck (2010): การระบุระบบแบบเบย์ตามตรรกะความน่าจะเป็น

มุมมองแบบเบย์

ความน่าจะเป็นการวัดความน่าเชื่อถือของข้อความตามข้อมูลที่ระบุ

1. การแจกแจงความน่าจะเป็นแสดงถึงสถานะของความรู้ที่เป็นไปได้เกี่ยวกับระบบและปรากฏการณ์ไม่ใช่คุณสมบัติโดยธรรมชาติของมัน
2. ความน่าจะเป็นของแบบจำลองเป็นการวัดความน่าเชื่อถือเมื่อเทียบกับรุ่นอื่น ๆ ในชุด
3. ในทางปฏิบัติเชิงปริมาณปริมาณความไม่แน่นอนเนื่องจากข้อมูลที่ขาดหายไปโดยไม่มีการเรียกร้องใด ๆ ว่านี่เป็นเพราะการสุ่มตามธรรมชาติของธรรมชาติ

มุมมองของผู้ใช้บ่อย

ความน่าจะเป็นความถี่ของการเกิดของสุ่มโดยเนื้อแท้เหตุการณ์ในระยะยาว

1. การแจกแจงความน่าจะเป็นเป็นคุณสมบัติโดยธรรมชาติของปรากฏการณ์สุ่ม
2. ขอบเขตที่ จำกัด เช่นไม่มีความหมายต่อความน่าจะเป็นของแบบจำลอง
3. สันนิษฐานว่าเป็นเรื่องสุ่มแต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้

ทำอย่างไรจึงจะได้รับสัจพจน์ของ Kolmogorov จากสัจพจน์ข้างต้น

ในส่วนต่อไปนี้ 2.2 ของ [Beck, James L. "การระบุระบบแบบเบย์ตามตรรกะความน่าจะเป็น" การควบคุมโครงสร้างและการตรวจสอบสุขภาพ 17.7 (2010): 825-847.] ถูกสรุป:

ในต่อไปนี้เราจะใช้: น่าจะเป็นตัวชี้วัดในเซตของ จำกัด ชุด :A $\Pr(A)$$A$$X$

1. [K1]:$\Pr(A)\ge 0, \forall A \subset X$
2. [K2]:$\Pr(X) = 1$
3. [K3]:ถ้าและถูกแยกออกA $\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B), \forall A,B \subset X$$A$$B$

เพื่อให้ได้มา (K1-K3) จากหลักการของทฤษฎีความน่าจะเป็น [เบ็ค 2010] แนะนำ propositonที่รัฐและระบุรูปแบบน่าจะเป็นx[เบ็ค 2010] นอกจากแนะนำปี่]x ∈ X x Pr ( A ) = Pr [ x ∈ A | π $\pi$$x\in X$$x$$\Pr(A) = \Pr[x\in A|\pi]$

• P1 หมายถึง K1 ด้วยและ$b=\{x\in A\}$$c=\pi$
• K2 ดังนี้จาก ; P4 (ก) และระบุว่าX$\Pr[x\in X|\pi]=1$$\pi$$x\in X$
• K3 สามารถหาได้จาก P6:และคือ disjoint หมายความว่าและนั้นไม่เกิดร่วมกัน ดังนั้นK3:$A$$B$$x\in A$$x\in B$ $\Pr(x\in A\cup B|\pi)=\Pr(x\in A|\pi)+\Pr(x\in B|\pi)$

หลังจากการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นมันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะแสดงให้เห็นว่าแนวคิดที่หลวมตอบคำถามของ "ความน่าจะเป็น" วัดถึงแนวคิดที่กำหนดไว้อย่างจริงจังพวกเขาได้แรงบันดาลใจ "อัตนัย" ความน่าจะเป็นแบบเบย์ได้รับการพิจารณาโดยแรมซีย์และเด Finetti ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างอิสระว่าปริมาณของการศึกษาระดับปริญญาของเรื่องความเชื่อข้อ จำกัด ของการเปรียบเทียบและเชื่อมโยงกัน (ความเชื่อของคุณมีความเชื่อมโยงกันถ้าไม่มีใครสามารถทำให้หนังสือดัตช์กับคุณ) จะสามารถ น่าจะเป็น

ความแตกต่างระหว่าง axiomatizations ส่วนใหญ่เป็นเรื่องของรสนิยมเกี่ยวกับสิ่งที่ควรจะเป็นสิ่งที่กำหนดไว้และสิ่งที่ได้มา แต่สารเติมแต่งที่นับได้เป็นหนึ่งใน Kolmogorov ที่ไม่ได้มาจาก Cox's หรือ Finetti's & ได้รับการโต้เถียง Bayesians บางคน (เช่น de Finetti & Savage) หยุดที่จุดเติมที่ จำกัด & ดังนั้นอย่ายอมรับสัจพจน์ของ Kolmogorov ทั้งหมด พวกเขาสามารถทำให้การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบสม่ำเสมอในช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยไม่ถูกต้อง คนอื่น ๆ ติดตาม Villegas โดยสมมติว่ามีความต่อเนื่องแบบโมโนโทนและได้รับความสามารถในการนับเพิ่มจากสิ่งนั้น

แรมซีย์ (1926), "ความจริงและความน่าจะเป็น", ในแรมซีย์ (1931), รากฐานของคณิตศาสตร์และบทความเชิงตรรกะอื่น ๆ

เดอ Finetti (2474), "Sul ซิกนาโต soggettivo della probabilità", Fundamenta Mathematicæ , 17 , pp 298 - 329

$\sigma$