การกระจายความน่าจะเป็นสำหรับคลื่นไซน์ที่มีเสียงดัง

ฉันต้องการวิเคราะห์การกระจายความน่าจะเป็นของจุดสุ่มตัวอย่างจากฟังก์ชันการแกว่งเมื่อมีข้อผิดพลาดในการวัด ฉันได้คำนวณการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับส่วน "ไม่มีเสียง" แล้ว (ฉันจะใส่ท้ายนี้) แต่ฉันไม่สามารถหาวิธีรวม "เสียง" ได้

การประมาณเชิงตัวเลข

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นลองจินตนาการว่ามีฟังก์ชั่นซึ่งคุณสุ่มเลือกคะแนนจากในรอบเดียว หากคุณได้รับคะแนนในฮิสโตแกรมคุณจะได้รับบางสิ่งที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจง$y(x) = \sin(x)$

ไม่มีเสียงดังรบกวน

ตัวอย่างเช่นนี่คือและฮิสโตแกรมที่เกี่ยวข้อง$sin(x)$

พร้อมเสียงดัง

ตอนนี้หากมีข้อผิดพลาดในการวัดบางอย่างมันจะเปลี่ยนรูปร่างของฮิสโตแกรม ตัวอย่างเช่น

การคำนวณเชิงวิเคราะห์

ดังนั้นหวังว่าฉันจะทำให้คุณมั่นใจว่ามีความแตกต่างระหว่างสองอย่างนี้ตอนนี้ฉันจะเขียนวิธีคำนวณกรณี "ไม่มีเสียง":

ไม่มีเสียงดังรบกวน

$$y(x) = \sin(x)$$

จากนั้นถ้าเวลาที่เราสุ่มตัวอย่างกระจายอย่างสม่ำเสมอการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับ$y$จะต้องเป็นไปตาม:

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

ตั้งแต่นั้นมา

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

และอื่น ๆ

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

ซึ่งการปรับมาตรฐานให้เหมาะสมนั้นเหมาะกับฮิสโตแกรมที่สร้างขึ้นในกรณี "ไม่มีเสียงรบกวน"

พร้อมเสียงดัง

ดังนั้นคำถามของฉันคือฉันจะวิเคราะห์เสียงรบกวนในการกระจายได้อย่างไร ฉันคิดว่ามันเหมือนกับการรวมการแจกแจงในวิธีที่ฉลาดหรือรวมถึงเสียงรบกวนในคำจำกัดความของแต่ฉันไม่มีความคิดและวิธีที่จะก้าวไปข้างหน้าดังนั้นคำแนะนำ / เคล็ดลับหรือแม้แต่การอ่านที่แนะนำจะมาก ชื่นชม$y(x)$

ขึ้นอยู่กับว่าโครงสร้างเสียงนั้นเป็นอย่างไร

สมมติว่าผมเคยเข้าใจสถานการณ์ของคุณได้อย่างถูกต้องถ้าเสียงเป็นสารเติมแต่งที่เป็นอิสระและกระจายเหมือนกันคุณก็จะใช้เวลาบิดของความหนาแน่นของเสียงที่มีความหนาแน่นของY$Y$

ถ้าสุ่มชุดตลอดวัฏจักรกระบวนการไม่มีเสียงของคุณบนคือซึ่งเลวลงโดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน 0 การกระจายตัวเล็กน้อยของคือการรวมกันของการแจกแจงแบบถดถอยเหล่านั้น ; ดูเหมือนว่าคุณได้ทำการแจกจ่ายออกอย่างถูกต้องแล้ว ขอเรียกว่าความหนาแน่นกรัม$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

ตัวอย่างเช่นหากเสียงของคุณคือซึ่งจะกล่าวถึงจากนั้นคือความหนาแน่นของผลรวมของเสียงด้วยการรวมกันของตัวแปรที่ไม่มีเสียง$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(การบิดนี้ทำด้วยตัวเลขฉันไม่รู้ว่าอินทิกรัลที่อินทิกรัลอยู่ในตัวอย่างนี้เพราะฉันไม่ได้ลอง)

ฉันคิดว่านิพจน์ที่ได้รับสำหรับ P (x) นั้นปิดด้วยสองปัจจัย เวลาตัวอย่างที่กระจายแบบสม่ำเสมอนั้นเทียบเท่ากับการกระจายเฟสอย่างสม่ำเสมอในช่วง -pi, pi ฟังก์ชันตรีโกณมิติกระจายความน่าจะเป็นในช่วง y {-1,1} การรวม P (y) ในช่วงเวลานี้จะต้อง = 1 ไม่ใช่ 2 ตามที่ได้รับโดยใช้การรวมของคุณด้านบน ฉันคิดว่า P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))