การถดถอยด้วยตัวแปรอิสระผกผัน

สมมุติว่าฉันมี -vectorของตัวแปรตามและ -vectorของตัวแปรอิสระ เมื่อได้วางแผนกับฉันเห็นว่ามีความสัมพันธ์เชิงเส้น (แนวโน้มสูงขึ้น) ระหว่างทั้งสอง ตอนนี้ก็หมายความว่ามีแนวโน้มลดลงเชิงเส้นตรงระหว่างและXY N X Y $N$$Y$$N$$X$$Y$ Y$\frac{1}{X}$$Y$$X$

ตอนนี้ถ้าฉันใช้การถดถอย: และรับค่าที่ติดตั้งY = β$Y = \beta * X + \epsilon$$\hat{Y} = \hat{\beta}X$

จากนั้นฉันก็ทำการถดถอย:และรับค่าติดตั้ง ~ Y = α$Y = \alpha * \frac{1}{X} + \epsilon$$\tilde{Y} = \hat{\alpha} \frac{1}{X}$

ค่าสองค่าที่คาดการณ์ไว้และจะเท่ากันหรือไม่? ~ $\hat{Y}$$\tilde{Y}$

 เมื่อ Y ได้วางแผนกับฉันเห็นว่ามีความสัมพันธ์เชิงเส้น (แนวโน้มสูงขึ้น) ระหว่างทั้งสอง ตอนนี้ยังหมายความว่ามีแนวโน้มลดลงเชิงเส้นระหว่าง Y และ X$\frac{1}{X}$

ประโยคสุดท้ายนั้นผิด: มีแนวโน้มลดลง แต่มันไม่เชิงเส้น:

ผมใช้เป็นฟังก์ชั่นบวกบิตของเสียงในYอย่างที่คุณเห็นในขณะที่วางแผนกับให้ผลกับพฤติกรรมเชิงเส้นต่อนั้นไกลจากเส้นตรง YY$f(x) = \frac{1}{x}$$Y$$Y$ Y$\frac{1}{X}$$Y$$X$

(@whuber ชี้ให้เห็นว่าพล็อตเทียบกับไม่ได้ดูแบบ homoscedastic ฉันคิดว่ามันมีความแปรปรวนที่สูงขึ้นสำหรับต่ำเนื่องจากความหนาแน่นของเคสที่สูงกว่านำไปสู่ช่วงที่กว้างกว่า การรับรู้จริง ๆ แล้วข้อมูลเป็นแบบ homoscedastic: ฉันใช้เพื่อสร้างข้อมูลดังนั้นจึงไม่ขึ้นกับขนาดของ )$Y$ Y$\frac{1}{X}$$Y$Y = 1 / X + rnorm (length (X), sd = 0.1)$X$

ดังนั้นโดยทั่วไปความสัมพันธ์จึงไม่ใช่เชิงเส้นมาก นั่นคือยกเว้นว่าช่วงของคุณแคบมากจนคุณสามารถประมาณนี่คือตัวอย่าง:d $X$$\frac{d \frac{1}{x}}{dx} = - \frac{1}{x^2} \approx const.$

bottomline:

• โดยทั่วไปแล้วมันเป็นเรื่องยากมากที่จะประมาณ - ฟังก์ชั่นประเภทโดยฟังก์ชั่นเชิงเส้นหรือพหุนาม และหากไม่มีคำศัพท์ชดเชยคุณจะไม่ได้รับการประมาณที่สมเหตุสมผล$\frac{1}{X}$
• หากช่วงแคบพอที่จะให้การประมาณเชิงเส้นคุณจะไม่สามารถคาดเดาความสัมพันธ์ได้จากและไม่ใช่เชิงเส้น ( )$X$$\frac{1}{X}$$X$

ฉันไม่เห็นเหตุผลที่พวกเขาจะ "โดยประมาณเท่ากัน" โดยทั่วไป - แต่คุณหมายถึงอะไรโดยประมาณเท่ากัน?

นี่คือตัวอย่างของเล่น:

library(ggplot2)
n <- 10^3
df <- data.frame(x=runif(n, min=1, max=2))
df$y <- 5 / df$x + rnorm(n)
p <- (ggplot(df, aes(x=x, y=y)) +
      geom_point() +
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + x) +  # Blue, OP's y hat
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + I(x^-1), color="red"))  # Red, OP's y tilde
p

ภาพ:

แบบจำลอง "สีน้ำเงิน" จะทำได้ดีกว่ามากหากได้รับอนุญาตให้มีการตัดคำ (เช่นค่าคงที่) ...