กระบวนการสุ่มเป็นกระบวนการที่วิวัฒนาการไปตามกาลเวลาดังนั้นมันจึงเป็นวิธีที่ดีกว่าในการพูดว่า "อนุกรมเวลา" หรือไม่?

เนื่องจากความคลาดเคลื่อนจำนวนมากแสดงให้เห็นในความคิดเห็นและคำตอบลองอ้างอิงถึงหน่วยงานบางแห่ง

James Hamilton ไม่ได้กำหนดอนุกรมเวลา แต่เขาชัดเจนเกี่ยวกับสิ่งที่เป็น:

... ชุดตัวเลขนี้เป็นเพียงผลลัพธ์เดียวที่เป็นไปได้ของกระบวนการสุ่มที่สร้างข้อมูล แน่นอนแม้ว่าเราจะต้องจินตนาการว่าได้สังเกตกระบวนการในช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดมาถึงลำดับลำดับอนันต์ จะ ยังคงถูกมองว่าเป็นการรับรู้ครั้งเดียวจากกระบวนการอนุกรมเวลา ...$T$

$$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$

ลองนึกภาพแบตเตอรี่ของ ... คอมพิวเตอร์สร้างลำดับและพิจารณาเลือกการสังเกตที่เกี่ยวข้องกับวันที่จากแต่ละ ลำดับ: นี้จะอธิบายเป็นตัวอย่างของเข้าใจของตัวแปรสุ่มY_t...$I$$\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$$t$

$$\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$$ $I$$Y_t$

(การวิเคราะห์อนุกรมเวลาบทที่ 3)

ดังนั้นกระบวนการ "อนุกรมเวลา" คือชุดของตัวแปรสุ่มดัชนีโดยจำนวนเต็มที$\{Y_t\}$$t$

ในStochastic Differential Equations, Bernt Øksendalให้คำนิยามทางคณิตศาสตร์มาตรฐานของกระบวนการ stochastic ทั่วไป:

คำจำกัดความ 2.1.4 กระบวนการสุ่มเป็นชุด parametrized ของตัวแปรสุ่มกำหนดไว้ในพื้นที่น่าจะเป็นและสมมติค่าใน n

$$\{X_t\}_{t\in T}$$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$

พื้นที่พารามิเตอร์มักจะ (เหมือนในหนังสือเล่มนี้) ครึ่งหนึ่งแต่มันอาจจะเป็นช่วงเวลา , ไม่ใช่จำนวนเต็มลบและแม้แต่เซตย่อยของสำหรับ1$T$$[0,\infty)$$[a,b]$$\mathbb{R}^n$$n\ge 1$

เมื่อนำทั้งสองเข้าด้วยกันเราจะเห็นว่ากระบวนการอนุกรมเวลาเป็นกระบวนการสุ่มที่ทำดัชนีโดยจำนวนเต็ม

บางคนใช้ "อนุกรมเวลา" เพื่ออ้างถึงการตระหนักถึงกระบวนการอนุกรมเวลา (เช่นเดียวกับในบทความ Wikipedia ) เราสามารถเห็นได้ในภาษาของแฮมิลตันว่ามีความพยายามอย่างสมเหตุสมผลในการแยกกระบวนการออกจากการทำให้เกิดผลโดยใช้ "กระบวนการอนุกรมเวลา" ของเขาเพื่อให้เขาสามารถใช้ "อนุกรมเวลา" เพื่ออ้างอิงการรับรู้ (หรือแม้แต่ข้อมูล)

กระบวนการสุ่มคือชุดหรือชุดของตัวแปรสุ่ม (ไม่จำเป็นต้องเป็นอิสระ) โดยที่ดัชนี t ใช้ค่าในชุดหนึ่งชุดนี้จะได้รับคำสั่งและสอดคล้องกับช่วงเวลา ตัวอย่างการเดินสุ่ม อนุกรมเวลาคือการทำให้เกิดกระบวนการสโทแคสติก$\left\{X_t\right\}$

การกำหนดกระบวนการสุ่ม

ปล่อยให้เป็นพื้นที่ความน่าจะเป็น ให้เป็นอีกหนึ่งพื้นที่ที่สามารถวัดได้ (เช่นพื้นที่ของจำนวนจริง ) พูดค่อนข้างไม่แน่นอน:$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$S$$\mathbb{R}$

• ตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชั่นที่สามารถวัดได้จากจะS$\Omega$$S$
• กระบวนการสุ่มเป็นครอบครัวของตัวแปรสุ่มการจัดทำดัชนีตามเวลาที $t$
  • ทุกเวลา ,เป็นตัวแปรสุ่ม$t \in \mathcal{T}$$X_t$
  • สำหรับผลลัพธ์ใด ๆ ,เป็นสำนึกของกระบวนการสุ่มซึ่งเป็นเส้นทางที่เป็นไปได้โดยเมื่อเวลาผ่านไป$\omega \in \Omega$$X(\omega)$$X$

การกำหนดอนุกรมเวลา

ในขณะที่กระบวนการสุ่มมีคำจำกัดความที่ชัดเจนทางคณิตศาสตร์ อนุกรมเวลาเป็นแนวคิดที่แม่นยำน้อยกว่าและผู้คนใช้อนุกรมเวลาเพื่ออ้างถึงวัตถุที่เกี่ยวข้อง แต่แตกต่างกันสองรายการ:

1. ตามที่ WHuber อธิบายกระบวนการสโทแคสติกถูกจัดทำดัชนีโดยจำนวนเต็มหรือหน่วยเพิ่มเวลาปกติที่สามารถจับคู่กับจำนวนเต็ม (เช่นข้อมูลรายเดือน)
2. การรวบรวมข้อมูลที่ตรวจพบในช่วงเวลาปกติ นี่อาจเป็นการรับรู้ของกระบวนการสโทแคสติกที่จัดทำดัชนีโดยจำนวนเต็ม บางครั้งสิ่งนี้เรียกว่าข้อมูลอนุกรมเวลา

ตัวอย่าง: กลัดสองครั้ง

Let\} ให้เป็นผลมาจากการพลิก 1 และ 2 ตามลำดับ$\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$$X_1, X_2$

ชัดเจนเป็นกระบวนการสุ่ม ผู้คนอาจเรียกว่าอนุกรมเวลาเนื่องจากการจัดทำดัชนีเป็นจำนวนเต็ม ผู้คนอาจเรียกว่าการรับรู้ของเช่น , อนุกรมเวลาหรือข้อมูลอนุกรมเวลาX X ( ω H H ) = ( H , H $\{X_1, X_2\}$$X$$X(\omega_{HH}) = (H, H)$

ความแตกต่างระหว่างกระบวนการสุ่มและอนุกรมเวลานั้นค่อนข้างเหมือนกับความแตกต่างระหว่างแมวบนแป้นพิมพ์และคำตอบในการแลกเปลี่ยนแบบกองซ้อน: แมวบนแป้นพิมพ์สามารถสร้างคำตอบได้ แต่แมวบนแป้นพิมพ์ไม่ใช่คำตอบ นอกจากนี้แมวทุกตัวยังไม่มีคำตอบทุกคำตอบ

อนุกรมเวลาสามารถเข้าใจได้เป็นชุดของคู่ค่าเวลา - จุดข้อมูล กระบวนการสุ่มในอีกทางหนึ่งคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หรือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงอนุกรมเวลา¹ อนุกรมเวลาบางส่วนเป็นการทำให้เกิดกระบวนการสโตแคสติก หรือจากมุมมองอื่น: ฉันสามารถใช้กระบวนการสุ่มเป็นแบบจำลองเพื่อสร้างอนุกรมเวลา

นอกจากนี้ยังสามารถสร้างอนุกรมเวลาด้วยวิธีอื่นได้:

• พวกเขาสามารถเป็นผลมาจากการสังเกตและถูกสร้างขึ้นโดยความเป็นจริง ในขณะที่ฉันสามารถจำลองความเป็นจริงเป็นกระบวนการสุ่ม (ฉันอาจพูดได้ว่าฉันถือว่าความจริงเป็นกระบวนการสุ่ม) แต่ความจริงไม่ใช่กระบวนการสุ่มในลักษณะเดียวกับที่การตกแต่งภายในของกล่องไม่ใช่ชุดของคะแนน (แม้ว่าเรามักจะ คำนึงถึงสองเทียบเท่าในการสร้างแบบจำลองบริบท)

• พวกเขาสามารถสร้างขึ้นโดยกระบวนการที่กำหนดไว้ ตอนนี้พูดอย่างเคร่งครัดเราสามารถ (และควร arguably) กำหนดกระบวนการสุ่มและกำหนดกระบวนการในแบบที่เป็นกรณีพิเศษของอดีต แต่เราไม่ค่อยใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้และพูดถึงกระบวนการกำหนดเป็นกรณีพิเศษของกระบวนการสุ่ม อาจทำให้เกิดความสับสน - คุณสามารถเปรียบเทียบกับการเรียกระบบของสมการที่ไม่ใช่เชิงเส้น$x=2$

^{¹หากเป็นกระบวนการสุ่มเวลาไม่ต่อเนื่อง กระบวนการสุ่มต่อเนื่องเป็นการกระจายฟังก์ชั่นแทนอนุกรมเวลา}

ฉันขอขอบคุณการอภิปราย / ความคิดเห็นทั้งหมดที่มีส่วนร่วมในเรื่องของอนุกรมเวลาเทียบกับกระบวนการ Stochastic นี่คือความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับความแตกต่าง: อนุกรมเวลาเป็นปรากฏการณ์ที่สังเกตบันทึกเป็นชุดตัวเลขที่ทำดัชนีด้วยเวลาที่สังเกต มันน่าจะเป็นชุดของการสังเกตของปรากฏการณ์ชีวิตจริงเช่นราคาหุ้นในตลาดหลักทรัพย์นิวยอร์ก ในทางกลับกันกระบวนการสโตแคสติกนั้นเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์ (ไม่ใช่การผลิต) ของอนุกรมเวลา