ความแปรปรวนและความเป็นอิสระ?

54

ฉันอ่านจากตำราเรียนว่าไม่รับประกันว่า X และ Y จะเป็นอิสระ แต่ถ้าพวกเขาเป็นอิสระความแปรปรวนร่วมของพวกเขาจะต้องเป็น 0 ฉันไม่สามารถนึกถึงตัวอย่างที่เหมาะสมได้ มีคนให้หรือไม่ $\text{cov}(X,Y)=0$

independence covariance

— หมูบิน
แหล่งที่มา

10

นอกจากนี้คุณยังสามารถเพลิดเพลินกับการทบทวนQuartet ของ Anscombe ได้อย่างรวดเร็วซึ่งแสดงให้เห็นถึงวิธีที่แตกต่างกันหลายประการซึ่งการแปรปรวนร่วมที่ไม่เป็นศูนย์โดยเฉพาะสามารถรับรู้ได้โดยชุดข้อมูล bivariate

— whuber

7

สิ่งที่ควรทราบก็คือการวัดความแปรปรวนร่วมนั้นเป็นการวัดความเป็นเส้นตรง .. การคำนวณความแปรปรวนร่วมกำลังตอบคำถามว่า 'ข้อมูลในรูปแบบเส้นตรงหรือไม่?' หากข้อมูลเป็นไปตามรูปแบบเชิงเส้นพวกเขาจะขึ้นอยู่กับ แต่นี่เป็นเพียงวิธีเดียวที่ข้อมูลจะขึ้นอยู่กับ มันเหมือนกับถามว่าฉันกำลังขับรถโดยประมาทหรือเปล่า คำถามหนึ่งอาจเป็น 'คุณเดินทางเกิน 25 ไมล์ต่อชั่วโมงหรือไม่?' แต่นั่นไม่ใช่วิธีเดียวที่จะขับรถอย่างประมาท คำถามอื่นอาจเป็น 'คุณเมาหรือไม่?' ฯลฯ มีมากกว่าหนึ่งวิธีในการขับขี่โดยประมาท

— อดัม

การวัดเชิงเส้นที่เรียกว่าให้โครงสร้างกับความสัมพันธ์ สิ่งสำคัญคือความสัมพันธ์อาจไม่ใช่เชิงเส้นซึ่งไม่ใช่เรื่องแปลก โดยทั่วไปความแปรปรวนร่วมไม่เป็นศูนย์มันเป็นสมมติฐานความแปรปรวนร่วมแสดงขนาดและไม่ได้เป็นอัตราส่วน

— Subhash C. Davar

48

ตัวอย่างง่าย ๆ : ให้เป็นตัวแปรสุ่มนั่นคือหรือด้วยความน่าจะเป็น 0.5 แล้วปล่อยให้เป็นตัวแปรสุ่มเช่นที่ถ้าและคือสุ่มหรือกับความน่าจะเป็น 0.5 ถ้า 1 $X$ $-1$ $+1$ $Y$ $Y=0$ $X=-1$ $Y$ $-1$ $+1$ $X=1$

เห็นได้ชัดว่าและขึ้นอยู่กับระดับสูง (ตั้งแต่รู้ว่าทำให้ฉันรู้ว่าสมบูรณ์ ) แต่ความแปรปรวนร่วมเป็นศูนย์: พวกเขาทั้งคู่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และ $X$ $Y$ $Y$ $X$

\begin{aligned} E [X Y] & = & (- 1) & \cdot & 0 & \cdot & P (X = - 1) \\ + & 1 & \cdot & 1 & \cdot & P (X = 1, Y = 1) \\ + & 1 & \cdot & (- 1) & \cdot & P (X = 1, Y = - 1) \\ = & 0. \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}[XY] &=&(-1) &\cdot &0 &\cdot &P(X=-1) \\ &+& 1 &\cdot &1 &\cdot &P(X=1,Y=1) \\ &+& 1 &\cdot &(-1)&\cdot &P(X=1,Y=-1) \\ &=&0. }$

หรือโดยทั่วไปให้ใช้การแจกแจงและๆ ที่ทำให้สำหรับทั้งหมด(เช่นการกระจายข้อต่อที่เป็น สมมาตรรอบแกน ) และคุณจะมีค่าความแปรปรวนร่วมเป็นศูนย์เสมอ แต่คุณจะไม่มีอิสระเมื่อใดก็ตามที่ ; กล่าวคือเงื่อนไขไม่ได้ทั้งหมดเท่ากับส่วนเพิ่ม หรือเหมือนกันสำหรับสมมาตรรอบแกน $P(X)$ $P(Y|X)$ $P(Y=a|X) = P(Y=-a|X)$ $X$ $x$ $P(Y|X) \neq P(Y)$ $y$

— jpillow
แหล่งที่มา

32

นี่คือตัวอย่างที่ฉันให้กับนักเรียนเสมอ รับตัวแปรสุ่มด้วย และเช่นตัวแปรสุ่มปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ใช้ 2 เป็นที่ชัดเจนว่าและมีความเกี่ยวข้อง แต่ $X$ $EX=0$ $EX^3=0$ $Y=X^2$ $X$ $Y$

c o v (X, Y) = E X Y - E X \cdot E Y = E X^{3} = 0.

$cov(X,Y)=EXY-EX\cdot EY=EX^3=0.$

— mpiktas
แหล่งที่มา

ฉันชอบตัวอย่างนั้นด้วย ในบางกรณีจะไม่มีการแบ่งแยก N (0,1) rv และ chi2 (1) rv

— ocram

3

+1 แต่ในฐานะ nitpick เล็กน้อยคุณต้องสมมติว่าแยกกัน (มันไม่ได้เป็นไปตามสมมติฐานของการกระจายแบบสมมาตรหรือจาก ) ดังนั้นเราจึงไม่ 't มีปัญหาเช่นการทำงานออกมาเป็นในรูปแบบ\ และผมไม่สบายใจเกี่ยวกับ @ ocram ของยืนยันว่า " N (0,1) RV และchi2 (1) RV มี uncorrelated." (เน้นเพิ่ม) ใช่และมี uncorrelated แต่ไม่ใด ๆและตัวแปรสุ่ม .

E [X^{3}] = 0

$E[X^3] = 0$

E [X] = 0

$E[X] = 0$

E [X^{3}]

$E[X^3]$

\infty - \infty

$\infty - \infty$

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

X^{2} \sim χ^{2} (1)

$X^2 \sim \chi^2(1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate ขอบคุณฉันได้แก้ไขคำตอบของฉันแล้ว เมื่อฉันเขียนมันฉันคิดว่าเกี่ยวกับตัวแปรปกติสำหรับพวกเขาศูนย์ช่วงเวลาที่สามตามมาจากค่าเฉลี่ยศูนย์

— mpiktas

19

รูปภาพด้านล่าง (ซอร์สWikipedia ) มีตัวอย่างจำนวนหนึ่งในแถวที่สามโดยเฉพาะตัวอย่างแรกและตัวที่สี่มีความสัมพันธ์แบบพึ่งพาที่แข็งแกร่ง แต่ความสัมพันธ์ 0 (และ 0 ความแปรปรวนร่วม)

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— naught101
แหล่งที่มา

15

ตัวอย่างอื่น ๆ ลองพิจารณาดาต้าพอยน์ที่เป็นวงกลมหรือวงรีความแปรปรวนร่วมเป็น 0 แต่เมื่อรู้ค่า x คุณจะ จำกัด ค่า y เป็น 2 หรือข้อมูลในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า ข้อมูลที่มีรูปแบบ X หรือ V หรือ ^ หรือ <หรือ> ทั้งหมดจะให้ความแปรปรวนร่วม 0 แต่ไม่อิสระ ถ้า y = sin (x) (หรือ cos) และ x ครอบคลุมจำนวนเต็มหลายช่วงเวลา cov จะเท่ากับ 0 แต่รู้ว่าคุณรู้จัก x คุณรู้ y หรืออย่างน้อย | y | ในรูปวงรี, x, <และ>

— เกร็กสโนว์
แหล่งที่มา

1

ถ้าหากเป็น "ถ้า x ครอบคลุมจำนวนเต็มหลายช่วงเวลาเริ่มต้นที่จุดสูงสุดหรือรางน้ำ" หรือมากกว่าโดยทั่วไป: "ถ้า x ครอบคลุมช่วงเวลาที่ y มีความสมมาตร"

— naught101