สูตร ACF และ PACF

ฉันต้องการสร้างรหัสสำหรับการลงจุด ACF และ PACF จากข้อมูลอนุกรมเวลา เช่นเดียวกับพล็อตที่สร้างจาก minitab (ด้านล่าง)

ฉันพยายามค้นหาสูตรแล้ว แต่ฉันยังไม่เข้าใจ คุณจะบอกสูตรและวิธีการใช้ให้ฉันได้ไหม เส้นสีแดงแนวนอนของพล็อต ACF และ PACF ด้านบนคืออะไร สูตรคืออะไร?

ขอขอบคุณ,

Autocorrelations

ความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปร$y_1, y_2$ถูกกำหนดเป็น:

$$\rho = \frac{\hbox{E}\left[(y_1-\mu_1)(y_2-\mu_2)\right]}{\sigma_1 \sigma_2} = \frac{\hbox{Cov}(y_1, y_2)}{\sigma_1 \sigma_2} \,,$$

โดยที่ E คือตัวดำเนินการที่คาดหวัง$\mu_1$และ$\mu_2$เป็นวิธีการตามลำดับสำหรับ$y_1$และ$y_2$และ$\sigma_1, \sigma_2$เป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ในบริบทของตัวแปรเดี่ยวเช่นauto -correlation $y_1$เป็นชุดดั้งเดิมและ$y_2$เป็นรุ่นที่ล้าหลัง ตามนิยามข้างต้น autocorrelations ตัวอย่างของการสั่งซื้อ$k=0,1,2,...$สามารถรับได้โดยการคำนวณนิพจน์ต่อไปนี้กับข้อสังเกตชุด$y_t$ , $t=1,2,...,n$ :

$$\rho(k) = \frac{\frac{1}{n-k}\sum_{t=k+1}^n (y_t - \bar{y})(y_{t-k} - \bar{y})}{ \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^n (y_t - \bar{y})^2}\sqrt{\frac{1}{n-k}\sum_{t=k+1}^n (y_{t-k} - \bar{y})^2}} \,,$$

โดยที่$\bar{y}$คือค่าเฉลี่ยตัวอย่างของข้อมูล

ความสัมพันธ์บางส่วน

บางส่วน autocorrelations วัดการพึ่งพาเชิงเส้นของตัวแปรหนึ่งหลังจากลบผลกระทบของตัวแปรอื่น ๆ ที่ส่งผลกระทบต่อตัวแปรทั้งสอง ยกตัวอย่างเช่นอัตบางส่วนของคำสั่งมาตรการผล (การพึ่งพาอาศัยเชิงเส้น) ของ$y_{t-2}$ใน$y_t$หลังจากลบผลกระทบของ$y_{t-1}$ทั้ง$y_t$และ$y_{t-2}$ 2

แต่ละ autocorrelation สามารถรับได้เป็นชุดของการถดถอยของแบบฟอร์ม:

$$\tilde{y}_t = \phi_{21} \tilde{y}_{t-1} + \phi_{22} \tilde{y}_{t-2} + e_t \,,$$

ที่$\tilde{y}_t$เป็นชุดเดิมลบเฉลี่ยตัวอย่าง$y_t - \bar{y}$ Y การประมาณ$\phi_{22}$จะให้ค่าของออโตคอร์เรเลชันสัมพันธ์บางส่วนของคำสั่งที่ 2 การขยายการถดถอยด้วย$k$ล่าช้าเพิ่มเติมการประมาณการของคำสุดท้ายจะให้ความสัมพันธ์บางส่วนของออเดอร์$k$ k

อีกทางเลือกหนึ่งในการคำนวณตัวอย่างอัตโนมัติบางส่วนคือการแก้ระบบดังต่อไปนี้สำหรับการสั่งซื้อแต่ละครั้ง$k$ :

$$\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc} \rho(0) & \rho(1) & \cdots & \rho(k-1) \\ \rho(1) & \rho(0) & \cdots & \rho(k-2) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \rho(k-1) & \rho(k-2) & \cdots & \rho(0) \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \phi_{k1} \\ \phi_{k2} \\ \vdots \\ \phi_{kk} \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \rho(1) \\ \rho(2) \\ \vdots \\ \rho(k) \\ \end{array}\right) \,, \end{eqnarray}$$

โดยที่$\rho(\cdot)$เป็นตัวอย่างอัตโนมัติ การทำแผนที่ระหว่าง autocorrelations ตัวอย่างและ autocorrelations บางส่วนนี้เป็นที่รู้จักกัน recursion เดอร์บิน-เลวินสัน วิธีนี้ค่อนข้างง่ายที่จะนำไปใช้ประกอบการอธิบาย ตัวอย่างเช่นในซอฟต์แวร์ R เราสามารถรับความสัมพันธ์อัตโนมัติบางส่วนของคำสั่ง 5 ได้ดังนี้:

# sample data
x <- diff(AirPassengers)
# autocorrelations
sacf <- acf(x, lag.max = 10, plot = FALSE)$acf[,,1]
# solve the system of equations
res1 <- solve(toeplitz(sacf[1:5]), sacf[2:6])
res1
# [1]  0.29992688 -0.18784728 -0.08468517 -0.22463189  0.01008379
# benchmark result
res2 <- pacf(x, lag.max = 5, plot = FALSE)$acf[,,1]
res2
# [1]  0.30285526 -0.21344644 -0.16044680 -0.22163003  0.01008379
all.equal(res1[5], res2[5])
# [1] TRUE

วงความมั่นใจ

แถบความเชื่อมั่นสามารถคำนวณได้เป็นค่าของตัวอย่างอัตโนมัติสัมพันธ์$\pm \frac{z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}}$ , โดยที่$z_{1-\alpha/2}$คือ quantile$1-\alpha/2$ในการแจกแจงแบบเกาส์, เช่น 1.96 สำหรับแถบความเชื่อมั่น 95%

บางครั้งแถบความมั่นใจที่เพิ่มขึ้นเมื่อมีการใช้คำสั่งเพิ่มขึ้น ในกรณีนี้วงดนตรีสามารถกำหนดเป็น$\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{n}\left(1 + 2\sum_{i=1}^k \rho(i)^2\right)}$)

"ฉันต้องการสร้างรหัสสำหรับการลงจุด ACF และ PACF จากข้อมูลอนุกรมเวลา"

แม้ว่า OP นั้นค่อนข้างคลุมเครือ แต่ก็อาจเป็นไปได้ที่จะกำหนดเป้าหมายเป็นสูตรการเข้ารหัสสไตล์มากกว่าสูตรพีชคณิตเชิงเส้น

---

$t$$t-1$$ts_{t-3}$$3$$3$

ตัวอย่าง:

เราจะสร้างซีรีส์ครั้งที่มีลวดลายไซน์แบบไซเคิลวางทับบนเทรนด์ไลน์และเสียงรบกวนและวางแผน R ACF ที่สร้างขึ้น ฉันได้รับตัวอย่างนี้จากโพสต์ออนไลน์โดย Christoph Scherber และเพิ่งเพิ่มเสียง:

x=seq(pi, 10 * pi, 0.1)
y = 0.1 * x + sin(x) + rnorm(x)
y = ts(y, start=1800)

โดยปกติเราจะต้องทดสอบข้อมูลสำหรับความคงที่ (หรือเพียงแค่ดูพล็อตด้านบน) แต่เรารู้ว่ามีแนวโน้มอยู่ในนั้นดังนั้นให้ข้ามส่วนนี้และไปยังขั้นตอนที่ไม่ได้รับความนิยม:

model=lm(y ~ I(1801:2083))
st.y = y - predict(model)

ตอนนี้เราพร้อมที่จะจัดการกับอนุกรมเวลานี้โดยการสร้าง ACF เป็นครั้งแรกด้วยacf()ฟังก์ชันใน R จากนั้นเปรียบเทียบผลลัพธ์กับลูปชั่วคราวที่ฉันรวบรวม:

ACF = 0                  # Starting an empty vector to capture the auto-correlations.
ACF[1] = cor(st.y, st.y) # The first entry in the ACF is the correlation with itself (1).
for(i in 1:30){          # Took 30 points to parallel the output of `acf()`
  lag = st.y[-c(1:i)]    # Introducing lags in the stationary ts.
  clipped.y = st.y[1:length(lag)]    # Compensating by reducing length of ts.
  ACF[i + 1] = cor(clipped.y, lag)   # Storing each correlation.
}
acf(st.y)                            # Plotting the built-in function (left)
plot(ACF, type="h", main="ACF Manual calculation"); abline(h = 0) # and my results (right).

---

ตกลง. นั่นประสบความสำเร็จ ไปยังPACF มีความยุ่งยากมากขึ้นในการแฮ็ค ... ความคิดที่นี่คือการโคลน TS ครั้งแรกหลาย ๆ ครั้งจากนั้นเลือกจุดเวลาหลายจุด อย่างไรก็ตามแทนที่จะเชื่อมโยงกับอนุกรมเวลาเริ่มต้นเรารวบรวมความล่าช้าทั้งหมดในระหว่างและทำการวิเคราะห์การถดถอยเพื่อให้ความแตกต่างที่อธิบายโดยจุดเวลาก่อนหน้านี้สามารถถูกแยกออก (ควบคุม) ตัวอย่างเช่นหากเรามุ่งเน้นไปที่ PACF ที่สิ้นสุดในเวลา$ts_{t-4}$, เราเก็บ $ts_t$, $ts_{t-1}$, $ts_{t-2}$ และ $ts_{t-3}$เช่นเดียวกับ $ts_{t-4}$และเราถดถอย $ts_t \sim ts_{t-1} + ts_{t-2} + ts_{t-3}+ts_{t-4}$ ผ่านจุดกำเนิดและรักษาค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น$ts_{t-4}$:

PACF = 0          # Starting up an empty storage vector.
for(j in 2:25){   # Picked up 25 lag points to parallel R `pacf()` output.
  cols = j        
  rows = length(st.y) - j + 1 # To end up with equal length vectors we clip.

  lag = matrix(0, rows, j)    # The storage matrix for different groups of lagged vectors.

for(i in 1:cols){
  lag[ ,i] = st.y[i : (i + rows - 1)]  #Clipping progressively to get lagged ts's.
}
  lag = as.data.frame(lag)
  fit = lm(lag$V1 ~ . - 1, data = lag) # Running an OLS for every group.
  PACF[j] = coef(fit)[j - 1]           # Getting the slope for the last lagged ts.
}

และในที่สุดก็พล็อตอีกครั้งแบบเคียงข้างกันสร้าง R และสร้างด้วยตนเอง:

ที่ความคิดที่ถูกต้องข้างประเด็นการคำนวณน่าจะสามารถมองเห็นได้เมื่อเปรียบเทียบกับการPACFpacf(st.y, plot = F)

---

รหัสที่นี่

ในทางปฏิบัติเราพบข้อผิดพลาด (เสียงรบกวน) ซึ่งแสดงโดย $e_t$ แถบความเชื่อมั่นช่วยให้คุณทราบว่าระดับสามารถพิจารณาเป็นเสียงรบกวนเท่านั้น (เพราะประมาณ 95% ครั้งจะเข้าสู่วงดนตรี)

นี่เป็นรหัสไพ ธ อนเพื่อคำนวณ ACF:

def shift(x,b):
    if ( b <= 0 ):
        return x
    d = np.array(x);
    d1 = d
    d1[b:] = d[:-b]
    d1[0:b] = 0
    return d1

# One way of doing it using bare bones
# - you divide by first to normalize - because corr(x,x) = 1
x = np.arange(0,10)
xo = x - x.mean()

cors = [ np.correlate(xo,shift(xo,i))[0]  for i in range(len(x1)) ]
print (cors/cors[0] )

#-- Here is another way - you divide by first to normalize
cors = np.correlate(xo,xo,'full')[n-1:]
cors/cors[0]