ความแตกต่างที่คุณกำลังสังเกตคือเนื่องจากการหารเพิ่มเติมด้วยจำนวนการสังเกต, N, ที่ GLMNET ใช้ในการทำงานตามวัตถุประสงค์และนัยว่ามาตรฐานของ Y โดยการเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างที่แสดงด้านล่าง
12N∥∥∥ysy−Xβ∥∥∥22+λ∥β∥22/2
เราใช้แทน1 / ( n - 1 )สำหรับs y ,
s y = ∑ i ( y i - ˉ y ) 21 / n1 / (n-1)sY
sY= ∑ผม( yผม- y¯)2n
โดยการแยกแยะด้วยความเคารพเบต้าตั้งค่าสมการให้เป็นศูนย์
XTXβ- XTYsY+ Nλ บีตา= 0
และการหาค่าเบต้าเราได้ค่าประมาณ
β~G L Mยังไม่มีข้อความET= ( XTX+ Nλ ฉันพี)- 1XTYsY
ในการกู้คืนค่าประมาณ (และค่าปรับที่สอดคล้องกัน) ในการวัดเดิมของ Y GLMNET จะทำการคูณทั้งค่าประมาณและ lambdas ด้วยและคืนผลลัพธ์เหล่านี้ให้กับผู้ใช้sY
λยูnsTd =syλ
β^G L Mยังไม่มีข้อความET= sYβ~G L Mยังไม่มีข้อความET= ( XTX+ Nλ ฉันพี)- 1XTY
λยูn s T d.= sYλ
เปรียบเทียบวิธีนี้กับค่ามาตรฐานของการถดถอยแบบสัน
β^= ( XTX+ λ ฉันพี)- 1XTY
ขอให้สังเกตว่าจะถูกปรับขนาดโดยปัจจัยพิเศษของสหประชาชาตินอกจากนี้เมื่อเราใช้หรือฟังก์ชั่นการลงโทษจะถูกปรับขนาดโดยปริยาย1 / s Y กล่าวคือเมื่อเราใช้ฟังก์ชั่นเหล่านี้จะได้รับการประมาณการค่าสัมประสิทธิ์สำหรับบางλ *เราจะมีประสิทธิภาพได้รับการประมาณการλ = λ * / s Yλpredict()
coef()
1/syλ∗λ=λ∗/sy
ตามข้อสังเกตเหล่านี้โทษที่ใช้ในการ GLMNET จะต้องมีการปรับขนาดโดยปัจจัยของ Nsy/N
set.seed(123)
n <- 1000
p <- 100
X <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)
sd_y <- sqrt(var(Y)*(n-1)/n)[1,1]
beta1 <- solve(t(X)%*%X+10*diag(p),t(X)%*%(Y))[,1]
fit_glmnet <- glmnet(X,Y, alpha=0, standardize = F, intercept = FALSE, thresh = 1e-20)
beta2 <- as.vector(coef(fit_glmnet, s = sd_y*10/n, exact = TRUE))[-1]
cbind(beta1[1:10], beta2[1:10])
[,1] [,2]
[1,] 0.23793862 0.23793862
[2,] 1.81859695 1.81859695
[3,] -0.06000195 -0.06000195
[4,] -0.04958695 -0.04958695
[5,] 0.41870613 0.41870613
[6,] 1.30244151 1.30244151
[7,] 0.06566168 0.06566168
[8,] 0.44634038 0.44634038
[9,] 0.86477108 0.86477108
[10,] -2.47535340 -2.47535340
ผลลัพธ์จะพูดถึงการรวมของการสกัดกั้นและตัวแปร X มาตรฐาน เราปรับเปลี่ยนเมทริกซ์ X ที่ได้มาตรฐานเพื่อรวมคอลัมน์ของคอลัมน์หนึ่งและเมทริกซ์แนวทแยงเพื่อให้มีรายการศูนย์เพิ่มเติมในตำแหน่ง [1,1] (เช่นอย่าลงโทษการสกัดกั้น) จากนั้นคุณสามารถยกเลิกการประเมินมาตรฐานโดยเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง (ให้แน่ใจว่าคุณใช้ 1 / n เมื่อคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน)
β^j=βj~sxj
β^0=β0~−x¯Tβ^
mean_x <- colMeans(X)
sd_x <- sqrt(apply(X,2,var)*(n-1)/n)
X_scaled <- matrix(NA, nrow = n, ncol = p)
for(i in 1:p){
X_scaled[,i] <- (X[,i] - mean_x[i])/sd_x[i]
}
X_scaled_ones <- cbind(rep(1,n), X_scaled)
beta3 <- solve(t(X_scaled_ones)%*%X_scaled_ones+1000*diag(x = c(0, rep(1,p))),t(X_scaled_ones)%*%(Y))[,1]
beta3 <- c(beta3[1] - crossprod(mean_x,beta3[-1]/sd_x), beta3[-1]/sd_x)
fit_glmnet2 <- glmnet(X,Y, alpha=0, thresh = 1e-20)
beta4 <- as.vector(coef(fit_glmnet2, s = sd_y*1000/n, exact = TRUE))
cbind(beta3[1:10], beta4[1:10])
[,1] [,2]
[1,] 0.24534485 0.24534485
[2,] 0.17661130 0.17661130
[3,] 0.86993230 0.86993230
[4,] -0.12449217 -0.12449217
[5,] -0.06410361 -0.06410361
[6,] 0.17568987 0.17568987
[7,] 0.59773230 0.59773230
[8,] 0.06594704 0.06594704
[9,] 0.22860655 0.22860655
[10,] 0.33254206 0.33254206
เพิ่มรหัสเพื่อแสดงมาตรฐาน X โดยไม่มีการสกัดกั้น:
set.seed(123)
n <- 1000
p <- 100
X <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)
sd_y <- sqrt(var(Y)*(n-1)/n)[1,1]
mean_x <- colMeans(X)
sd_x <- sqrt(apply(X,2,var)*(n-1)/n)
X_scaled <- matrix(NA, nrow = n, ncol = p)
for(i in 1:p){
X_scaled[,i] <- (X[,i] - mean_x[i])/sd_x[i]
}
beta1 <- solve(t(X_scaled)%*%X_scaled+10*diag(p),t(X_scaled)%*%(Y))[,1]
fit_glmnet <- glmnet(X_scaled,Y, alpha=0, standardize = F, intercept =
FALSE, thresh = 1e-20)
beta2 <- as.vector(coef(fit_glmnet, s = sd_y*10/n, exact = TRUE))[-1]
cbind(beta1[1:10], beta2[1:10])
[,1] [,2]
[1,] 0.23560948 0.23560948
[2,] 1.83469846 1.83469846
[3,] -0.05827086 -0.05827086
[4,] -0.04927314 -0.04927314
[5,] 0.41871870 0.41871870
[6,] 1.28969361 1.28969361
[7,] 0.06552927 0.06552927
[8,] 0.44576008 0.44576008
[9,] 0.90156795 0.90156795
[10,] -2.43163420 -2.43163420