ตรรกะเบื้องหลังวิธีการของช่วงเวลาคืออะไร?

ทำไมใน "วิธีการของช่วงเวลา" เราเปรียบเทียบช่วงเวลาตัวอย่างกับช่วงเวลาของประชากรเพื่อหาตัวประมาณค่าจุด

ตรรกะอยู่เบื้องหลังสิ่งนี้อยู่ที่ไหน

intuition method-of-moments

— ผู้ใช้ 31466
แหล่งที่มา

มันคงจะดีถ้าเรามีนักฟิสิกส์ในชุมชนของเราจัดการเรื่องนี้

— mugen

@ugen ฉันไม่เห็นว่าเกี่ยวข้องกับวิชาฟิสิกส์ แต่อย่างใด

— Aksakal

@Aksakal พวกเขาใช้ช่วงเวลาของฟังก์ชั่นในวิชาฟิสิกส์ด้วยและมันก็ดีเสมอเมื่อมีคนทำการขนานกันเพื่อการตีความที่ดีขึ้น

— mugen

ตามที่ระบุไว้ในคำตอบนี้ที่กฎหมายจำนวนมากมีเหตุผล (แม้ว่า asymptotic) สำหรับการประเมินเป็นช่วงเวลาที่ประชากรโดยช่วงเวลาที่กลุ่มตัวอย่างที่มีผลใน (มัก) ง่ายประมาณสอดคล้อง

— Glen_b -Reinstate โมนิกา

ไม่ใช่แนวคิดทั้งหมดที่จะนำเสนอพารามิเตอร์โดยใช้ช่วงเวลาใช่ไหม เช่นถ้าคุณพยายามประเมินพารามิเตอร์ของการแจกแจงปัวซองโดยการหาค่าเฉลี่ย (ช่วงเวลาแรก) คุณสามารถใช้มันเป็นตัวประมาณสำหรับแลมบ์ดาพารามิเตอร์ของคุณ

— denis631

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ประกอบด้วยการรับรู้จากตัวแปรสุ่มแบบกระจายที่เหมือนกันและเป็นอิสระนั้นเป็นอัตลักษณ์ ในกรณีเช่นนี้ "ช่วงเวลาตัวอย่าง" เป็นตัวประมาณค่าที่สอดคล้องกันของช่วงเวลาเชิงทฤษฎีของการแจกแจงทั่วไปหากช่วงเวลาเชิงทฤษฎีมีอยู่และมีขอบเขต จำกัด $n$

ซึ่งหมายความว่า

\begin{matrix} (1) & {\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) + e_{k} (n), e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0 \end{matrix}

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$

ดังนั้นโดยการเทียบช่วงเวลาเชิงทฤษฎีกับช่วงเวลาตัวอย่างที่สอดคล้องกันที่เรามี

{\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) \Rightarrow \hat{θ} (n) = μ_{k}^{- 1} ({\hat{μ}}_{k} (n)) = μ_{k}^{- 1} [μ_{k} (θ) + e_{k} (n)]

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$

ดังนั้น ( ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ) $\mu_k$ $n$

plim \hat{θ} (n) = plim [μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + e_{k})] = μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + plim e_{k} (n))

$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$

= μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + 0) = μ_{k}^{- 1} μ_{k} (θ) = θ

$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$

ดังนั้นเราทำเช่นนั้นเพราะเราได้ตัวประมาณที่สอดคล้องกันสำหรับพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0

$e_k(n) \xrightarrow{p} 0$

ขีดจำกัดความน่าจะเป็น @leaf

— Alecos Papadopoulos

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเป็นขีด จำกัด ปกติแทนที่จะเป็นขีด จำกัด ความน่าจะเป็น

— ผู้ใช้ 31466

มันจะบอกเราว่าตัวประมาณกลายเป็นค่าคงที่ไม่ใช่ว่ามันน่าจะเป็นหนึ่ง บางทีคุณควรมองหาโหมดการรวมตัวกันของตัวแปรสุ่มวิกิพีเดียมีการแนะนำที่ดีen.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables

— Alecos Papadopoulos

μ_{k}

$\mu_k$

T (F) = \int t (x) d F (x)

$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$

F (x)

$F(x)$

F (x) = \int_{\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp [- \frac{(u - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] d u

$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$

F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 {x_{i} \leq x}

$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} t (x_{i})

$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$ . If your functional

T (\cdot)

$T(\cdot)$ is (weakly) differentiable, and

F_{n} (x)

$F_n(x)$ converges in the appropriate sense to

F (x)

$F(x)$ , then it is easy to establish that the estimate is consistent, although of course more hoopla is needed to obtain say asymptotic normality.

— StasK
แหล่งที่มา

I haven't heard this called "analogy principle", but it is an often used econometric analysis pattern indeed: plug the sample estimator whenever the population parameter is needed but unknown.

— Aksakal

@Aksakal:"plug the sample estimator whenever the population parameter is needed but unknown." isn't this approach simply called statistics?

— user603

@user603: No, not. There are other alternative approaches, and plu-in estimators can be bad.

— kjetil b halvorsen