การสุ่มตัวอย่าง CDF ผกผันสำหรับการแจกแจงแบบผสม

เวอร์ชันย่อที่ไม่อยู่ในบริบท

ปล่อยให้เป็นตัวแปรสุ่มด้วย CDF $y$

$$F(\cdot) \equiv \cases{\theta & y = 0 \\ \theta + (1-\theta) \times \text{CDF}_{\text{log-normal}}(\cdot; \mu, \sigma) & y > 0}$$

สมมติว่าฉันต้องการจำลองการจับด้วยวิธี inverse CDF เป็นไปได้ไหม ฟังก์ชั่นนี้ไม่ได้มีสิ่งที่ตรงกันข้าม จากนั้นอีกครั้งมีการสุ่มตัวอย่างการแปลงผกผันสำหรับการกระจายการผสมของการแจกแจงปกติสองรายการซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีวิธีที่รู้จักในการใช้การสุ่มตัวอย่างการแปลงผกผันที่นี่$y$

ฉันทราบวิธีสองขั้นตอน แต่ฉันไม่ทราบวิธีนำไปใช้กับสถานการณ์ของฉัน (ดูด้านล่าง)

---

รุ่นยาวที่มีพื้นหลัง

ฉันติดตั้งโมเดลต่อไปนี้สำหรับการตอบสนองที่มีค่าเวกเตอร์โดยใช้ MCMC (โดยเฉพาะสแตน):$y^i = \left( y_1 , \dots , y_K \right)^i$

$$\theta_k^i \equiv \operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right), \quad \mu_k^i \equiv \beta_k x^i - \frac{ \sigma^2_k }{ 2 } \\ F(\cdot) \equiv \cases{\theta & y = 0 \\ \theta + (1-\theta) \times \text{CDF}_{\text{log-normal}}(\cdot; \mu, \sigma) & y > 0} \\ u_k \equiv F(y_k), \quad z_k \equiv\Phi^{-1}{\left( u_k \right)} \\ z \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, R) \times \prod_k f(y_k) \\ \left( \alpha, \beta, \sigma, R \right) \sim \text{priors}$$

ที่จัดทำดัชนีการสังเกต ,คือเมทริกซ์สหสัมพันธ์, และเป็นเวกเตอร์ของตัวทำนาย / ถดถอย / คุณลักษณะ$i$$N$$R$$x$

นั่นคือแบบจำลองของฉันเป็นแบบจำลองการถดถอยซึ่งการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของการตอบสนองนั้นเป็นโคคูล่าแบบเกาส์ซึ่งมีระยะขอบล็อกปกติแบบไม่พอง ฉันเคยโพสต์เกี่ยวกับรุ่นนี้มาก่อน ปรากฎว่า Song, Li และ Yuan (2009, gated ) ได้พัฒนามันขึ้นมาและพวกเขาเรียกมันว่า vector GLM หรือ VGLM ต่อไปนี้เป็นข้อกำหนดของพวกเขาใกล้เคียงกับคำต่อคำที่ฉันได้รับ: ของฉัน

$$f(\mathbf{y}; \mathbf{\mu}, \mathbf{\varphi}, \Gamma) = c\{ G_1(y_1), \dots, G_m(y_m) | \Gamma \} \prod_{i=1}^m g(y_i; \mu_i, \varphi_i) \\ c(\mathbf{u} | \Gamma) = \left| \Gamma \right|^{-1/2}\exp\left( \frac{1}{2} \mathbf{q}^T \left( I_m - \Gamma^{-1} \right) \mathbf{q} \right) \\ \mathbf{q} = \left( q_1, \dots, q_m \right)^T, \quad q_i = \Phi^{-1}(u_i)$$ $F_K$สอดคล้องกับ ,ของฉันสอดคล้องกับของพวกเขา, และของฉันสอดคล้องกับของพวกเขา; รายละเอียดอยู่ในหน้า 62 (หน้า 3 ของไฟล์ PDF) แต่อย่างอื่นก็เหมือนกับสิ่งที่ฉันเขียนที่นี่$G_m$$z$$\mathbf{q}$$R$$\Gamma$

ชิ้นส่วนที่ไม่เป็นศูนย์จะเกะกะตามข้อกำหนดของ Liu and Chan (2010, ungated )

ตอนนี้ฉันต้องการจำลองข้อมูลจากพารามิเตอร์ที่ประมาณไว้ แต่ฉันสับสนเล็กน้อยว่าจะทำอย่างไร แรกฉันคิดว่าฉันสามารถจำลองโดยตรง (ในรหัส R):$y$

for (i in 1:N) {
    for (k in 1:K) {
        Y_hat <- rbinom(1, 1, 1 - theta[i, k])
        if (Y_hat == 1)
            Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])
    }
}

ซึ่งไม่ได้ใช้เลย ฉันต้องการลองใช้เมทริกซ์สหสัมพันธ์ที่ฉันประเมิน$R$

ความคิดต่อไปของฉันคือการใช้ดึงของแล้วแปลงพวกเขากลับไปYสิ่งนี้ดูเหมือนว่าจะตรงกับคำตอบในการสร้างตัวอย่างจาก Copula ในการสุ่มตัวอย่างRและBivariate สำหรับการแจกแจงที่แสดงในทฤษฎีบทร่วมของ Sklar? . แต่นี่ห่าอะไรคือที่นี่? การสุ่มตัวอย่างการแปลงผกผันสำหรับการกระจายตัวของการแจกแจงปกติสองครั้งทำให้มันฟังดูเหมือนเป็นไปได้ แต่ฉันไม่รู้ว่าจะทำอย่างไร$z$$y$$F^{-1}$

คำตอบของเวอร์ชั่นยาวที่มีพื้นหลัง:

คำตอบของรุ่นยาวนี้จะแก้ไขปัญหาอื่นและเนื่องจากเราดูเหมือนจะมีปัญหาในการกำหนดรูปแบบและปัญหาฉันเลือกที่จะใช้ถ้อยคำใหม่ที่นี่หวังว่าถูกต้อง

สำหรับเป้าหมายคือเพื่อจำลองเวกเตอร์เช่นนั้นโดยมีเงื่อนไขใน covariate , กับR) ดังนั้นหากต้องการจำลองข้อมูลจากโมเดลนี้เราสามารถดำเนินการดังนี้:$1\le i\le I$$y^i=(y^i_1,\ldots,y^i_K)$$x^i$

$$y_k^i = \begin{cases} 0 &\text{ with probability }\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\\ \log(\sigma_k z_k^i + \beta_k x^i) &\text{ with probability }1-\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\end{cases}$$ $z^i=(z^i_1,\ldots,z^i_K)\sim\mathcal{N}_K(0,R)$

สำหรับ ,$1\le i\le I$

1. สร้าง$z^i=(z^i_1,\ldots,z^i_K)\sim\mathcal{N}_K(0,R)$
2. สร้าง$u^i_1,\ldots,u^i_K \stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{U}(0,1)$
3. สืบทอดมาสำหรับ$y^i_k=\mathbb{I}\left\{u^i_k>\operatorname{logit}^{-1}\left( \alpha_k x^i \right)\right\}\, \log\{ \sigma_k z_k^i + \beta_k x^i\}$$1\le k\le K$

ถ้าใครสนใจรุ่นหลังจากให้นี่เป็นปัญหาที่ยากกว่าแม้ว่าจะเป็นไปได้ด้วยการสุ่มตัวอย่างของกิ๊บส์หรือ ABC$(\alpha,\beta,\mu,\sigma,R)$$y^i_ k$

คำตอบของเวอร์ชั่นย่อนอกบริบท:

"Inverting" cdf ที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ในแง่คณิตศาสตร์ (เช่นการกระจายแบบผสมของคุณ) เป็นไปได้ตามที่อธิบายไว้ในตำราเรียน Monte Carlo ส่วนใหญ่ (เช่นเดียวกับของเราดูเล็มม่า 2.4) หากคุณกำหนดอินเวอร์สทั่วไป จากนั้น ซึ่งหมายความว่าเมื่อมีการกระโดดของที่ ,สำหรับUกล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าคุณวาดเครื่องแบบและมันเล็กกว่าสร้างของคุณ

$$F^{-}(u) = \inf\left\{ x\in\mathbb{R};\ F(x)\ge u \right\}$$ $$X \sim F \text{ is equivalent to } X=F^{-}(U)\text{ when } U\sim\mathcal{U}(0,1)\,.$$ $F(y)$$\theta$$y=0$$F^{-}(u)=0$$u\le\theta$$\mathcal{U}(0,1)$$\theta$$X$คือ 0 มิฉะนั้นเมื่อคุณจะสร้างจากส่วนต่อเนื่องนั่นคือบันทึกปกติในกรณีของคุณ นี่หมายถึงการใช้รุ่นที่สองแบบสุ่มเป็นอิสระจากชุดรูปวาดครั้งแรกและการตั้งค่าเพื่อให้ได้รุ่นปกติ$x=0$$u>\theta$$v$$y=\exp(\mu+\sigma\Phi^{-1}(v))$

นี่คือสิ่งที่รหัส R ของคุณเกือบ

Y_hat <- rbinom(1, 1, theta[i, k]) if (Y_hat == 1) Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])

กำลังทำ. คุณสร้าง Bernoulli ด้วยความน่าจะเป็นและถ้ามันมีค่าเท่ากับคุณจะเปลี่ยนมันให้เป็นบันทึกปกติ เพราะมันจะมีค่าเท่ากับ 1 มีโอกาสคุณควรแทนที่จะทำให้มันกลายเป็นแบบจำลองของระบบปกติเมื่อมันจะมีค่าเท่ากับศูนย์แทนลงท้ายด้วยรหัส R แก้ไข:$\theta_k^i$$1$$\theta_k^i$

Y_hat <- rbinom(1, 1, theta[i, k])
    if (Y_hat == 0)
        Y_hat <- rlnorm(1, mu[i, k], sigma[k])