การสร้างค่าจากการแจกแจงแบบเกาส์หลายตัวแปร

ฉันกำลังพยายามที่จะจำลองค่าของ $N$ มิติตัวแปรสุ่ม $X$ ที่มีการแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปรที่มีค่าเฉลี่ยเวกเตอร์และความแปรปรวนเมทริกซ์S $\mu = (\mu_1,...,\mu_N)^T$ $S$

ผมหวังที่จะใช้วิธีการคล้ายกับวิธีการผกผัน CDF หมายความว่าผมต้องการที่จะเป็นครั้งแรกสร้างมิติเครื่องแบบตัวแปรสุ่มแล้วเสียบเข้าไปใน CDF ผกผันของการกระจายนี้เพื่อที่จะสร้างมูลค่าX $N$ $U$ $X$

ฉันกำลังมีปัญหาเพราะขั้นตอนที่ไม่ได้เป็นเอกสารที่ดีและมีความแตกต่างเล็กน้อยระหว่างฟังก์ชั่น mvnrnd ใน MATLABและคำอธิบายที่ผมพบว่าในวิกิพีเดีย

ในกรณีของฉันฉันเลือกพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบสุ่มด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งผมสร้างแต่ละหมายความว่าจากการกระจายชุด(20,40) ฉันสร้างเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมโดยใช้ขั้นตอนต่อไปนี้: $\mu_i$ $U(20,40)$ $S$

สร้างเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่โดยที่สำหรับและสำหรับ $L$ $L(i,i) = 1$ $i=1..N$ $L(i,j) = U(-1,1)$ $i < j$
ให้ที่หมายถึง transpose ของL $S = LL^T$ $L^T$ $L$

ขั้นตอนนี้ช่วยให้ฉันมั่นใจได้ว่านั้นสมมาตรและเป็นบวกแน่นอน นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์สามเหลี่ยมที่ต่ำกว่าดังนั้นซึ่งฉันเชื่อว่าจำเป็นต้องสร้างค่าจากการแจกแจง $S$ $L$ $S = LL^T$

ใช้แนวทางใน Wikipedia ฉันควรจะสามารถสร้างค่าของโดยใช้เครื่องแบบ -dimensional ดังนี้ $X$ $N$

$X = \mu + L * \Phi^{-1}(U)$

อย่างไรก็ตามจากฟังก์ชั่น MATLAB สิ่งนี้มักจะทำดังนี้:

$X = \mu + L^T * \Phi^{-1}(U)$

ที่ไหนเป็น CDF ผกผันของมิติ, แยกกระจายปกติและแตกต่างระหว่างทั้งสองวิธีก็คือว่าจะใช้หรือ T $\Phi^{-1}$ $N$ $L$ $L^T$

MATLAB หรือ Wikipedia เป็นวิธีที่จะไปไหม หรือทั้งสองอย่างผิดปกติ?

— Berk U.
แหล่งที่มา

ดังที่ระบุไว้ทั้งคู่ผิดเนื่องจาก

เป็นเวกเตอร์แถวขณะที่

จะต้องเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ เมื่อคุณดึงแถวและคอลัมน์ของคุณออกตรงคำถามนี้ควรตอบตัวเองง่ายๆโดยระบุว่ารุ่นใดของ

หรือ

μ

$\mu$

T * i n v n o r m (U)

$T * invnorm(U)$

(X - μ)^{'} (X - μ)

$(X-\mu)'(X-\mu)$

(X - μ) (X - μ)^{'}

$(X-\mu)(X-\mu)'$ ให้เมทริกซ์และเวอร์ชันใดให้ตัวเลขเพียง: ตรวจสอบว่าคุณสามารถคำนวณความคาดหวังของเวอร์ชันเมทริกซ์และมันให้

ได้

S

$S$

— whuber

@whuber Yeap ทำการเปลี่ยนแปลงในการจัดรูปแบบสำหรับคำถาม ขอบคุณสำหรับเคล็ดลับ - วิธีที่ง่ายที่สุดในการตรวจสอบ

— Berk U.

ถ้าเป็นเวกเตอร์คอลัมน์มาตรฐานปกติ RV แล้วถ้าคุณตั้งค่าแปรปรวนของคือ T $X \sim \mathcal{N}(0,I)$ $Y = L X$ $Y$ $L L^T$

ฉันคิดว่าปัญหาที่คุณอาจเกิดขึ้นจากความจริงที่ว่าฟังก์ชั่นmvnrndของmatlabคืนค่าเวกเตอร์แถวเป็นตัวอย่างแม้ว่าคุณจะระบุค่าเฉลี่ยเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ เช่น,

 > size(mvnrnd(ones(10,1),eye(10))  
 > ans =
 >      1    10

และสังเกตว่าการแปลงเวคเตอร์แถวให้สูตรตรงข้ามกับคุณ ถ้าเป็นเวกเตอร์แถวแล้วเป็นเวกเตอร์แถวดังนั้นเป็นเวกเตอร์คอลัมน์และความแปรปรวนร่วมของสามารถเขียน . $X$ $Z = X L^T$ $Z^T = L X^T$ $Z^T$ $E[Z^TZ] = LL^T$

สูตร Wikipedia นั้นถูกต้อง: ถ้าเป็นเวกเตอร์แถวที่ส่งคืนโดย matlab คุณจะไม่สามารถคูณด้วยได้ (แต่การคูณด้านขวาด้วยจะให้ตัวอย่างที่มีความแปรปรวนร่วมเดียวกันกับ ) $\Phi^{-1}(U)$ $L^T$ $L^T$ $LL^T$

— jpillow
แหล่งที่มา

โปรดทราบว่าความช่วยเหลือสำหรับmvnrndใน matlab ใช้

เป็นจำนวนตัวอย่าง จำนวนมิติคือD

ดังนั้นถ้าคุณขอตัวอย่าง

จาก

-dimensional multivariate ปกติมันจะคืนพวกมันเป็นเมทริกซ์

N

$N$

D

$D$

N

$N$

D

$D$

N \times D

$N \times D$

— jpillow