ทำไมข้อผิดพลาดการวัดในตัวแปรตามไม่ทำให้เกิดผลลัพธ์

เมื่อมีข้อผิดพลาดในการวัดในตัวแปรอิสระฉันเข้าใจว่าผลลัพธ์นั้นจะเอนเอียงกับ 0 เมื่อตัวแปรที่ขึ้นอยู่กับการวัดที่มีข้อผิดพลาดพวกเขาบอกว่ามันมีผลต่อข้อผิดพลาดมาตรฐาน แต่สิ่งนี้ไม่สมเหตุสมผลสำหรับฉันเพราะเรา การประเมินผลของไม่ได้อยู่ในตัวแปรดั้งเดิมแต่มีผลต่ออื่น ๆรวมถึงข้อผิดพลาด ดังนั้นสิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อประมาณการ ในกรณีนี้ฉันสามารถใช้ตัวแปรเครื่องมือเพื่อลบปัญหานี้ได้หรือไม่ $X$ $Y$ $Y$

regression econometrics instrumental-variables

— TomCat
แหล่งที่มา

คำตอบ:

เมื่อคุณต้องการประเมินแบบจำลองอย่างง่ายเช่น และแทนที่จะเป็นจริงคุณจะสังเกตเห็นมันด้วยข้อผิดพลาดซึ่งเป็นเช่นนั้น ไม่เกี่ยวข้องกับและหากคุณลงทะเบียน โดยประมาณของคุณคือ

Y_{i} = α + β X_{i} + ϵ_{i}

$Y_i = \alpha + \beta X_i + \epsilon_i$

Y_{i}

$Y_i$

{\tilde{Y}}_{i} = Y_{i} + ν_{i}

$\widetilde{Y}_i = Y_i + \nu_i$

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

{\tilde{Y}}_{i} = α + β X_{i} + ϵ_{i}

$\widetilde{Y}_i = \alpha + \beta X_i + \epsilon_i$

β

$\beta$

\begin{aligned} \hat{β} & = \frac{C o v ({\tilde{Y}}_{i}, X_{i})}{V a r (X_{i})} \\ = \frac{C o v (Y_{i} + ν_{i}, X_{i})}{V a r (X_{i})} \\ = \frac{C o v (α + β X_{i} + ϵ_{i} + ν_{i}, X_{i})}{V a r (X_{i})} \\ = \frac{C o v (α, X_{i})}{V a r (X_{i})} + β \frac{C o v (X_{i}, X_{i})}{V a r (X_{i})} + \frac{C o v (ϵ_{i}, X_{i})}{V a r (X_{i})} + \frac{C o v (ν_{i}, X_{i})}{V a r (X_{i})} \\ = β \frac{V a r (X_{i})}{V a r (X_{i})} \\ = β \end{aligned}

$\begin{align} \widehat{\beta} &= \frac{Cov(\widetilde{Y}_i,X_i)}{Var(X_i)} \newline &= \frac{Cov(Y_i + \nu_i,X_i)}{Var(X_i)} \newline &= \frac{Cov(\alpha + \beta X_i + \epsilon_i + \nu_i,X_i)}{Var(X_i)} \newline &= \frac{Cov(\alpha ,X_i)}{Var(X_i)} + \beta\frac{Cov(X_i,X_i)}{Var(X_i)} + \frac{Cov(\epsilon_i,X_i)}{Var(X_i)} + \frac{Cov(\nu_i,X_i)}{Var(X_i)} \newline &= \beta \frac{Var(X_i)}{Var(X_i)} \newline &= \beta \end{align}$ เพราะความแปรปรวนระหว่าง ตัวแปรสุ่มและค่าคงที่ ( ) เป็นศูนย์เช่นเดียวกับโคระหว่างและเนื่องจากเราสันนิษฐานว่าพวกมันไม่เกี่ยวข้องกัน

α

$\alpha$

X_{i}

$X_i$

ϵ_{i}, ν_{i}

$\epsilon_i, \nu_i$

ดังนั้นคุณจะเห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์ของคุณถูกประเมินอย่างสม่ำเสมอ สิ่งเดียวที่น่ากังวลคือให้คำศัพท์เพิ่มเติมในข้อผิดพลาดซึ่งจะช่วยลดพลังของการทดสอบทางสถิติของคุณ ในกรณีที่แย่มากของข้อผิดพลาดการวัดในตัวแปรตามคุณอาจไม่พบผลกระทบที่มีนัยสำคัญแม้ว่ามันอาจจะมีในความเป็นจริง โดยทั่วไปแล้วตัวแปรเครื่องมือจะไม่ช่วยคุณในกรณีนี้เพราะพวกเขามักจะไม่แน่ชัดกว่า OLS และพวกเขาสามารถช่วยแก้ไขข้อผิดพลาดการวัดในตัวแปรอธิบาย $\widetilde{Y}_i = Y_i + \nu_i = \alpha + \beta X_i + \epsilon_i + \nu_i$

— แอนดี้
แหล่งที่มา

ฉันมีคำถามง่ายๆที่นี่: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าνiซึ่งเป็นข้อผิดพลาดในการวัดในตัวแปรตามมีความสัมพันธ์กับตัวแปรอิสระที่น่าสนใจ? ฉันคิดว่ามีความเป็นไปได้มากมายที่สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้และความลำเอียงที่เป็นที่ต้องการของสังคมสามารถเป็นตัวอย่างได้ หากผู้ตอบแบบสำรวจมีอคติทางสังคมเมื่อตอบคำถามแบบผันแปรและหากความปรารถนานั้นเกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระสมมุติว่าอายุหรือเพศ (ซึ่งอาจสัมพันธ์กับเนื้อหาที่เป็นที่ต้องการทางสังคม) แง่ของ endogeneity แล้ว?

— Kang Inkyu

การวิเคราะห์การถดถอยตอบคำถาม "ค่าเฉลี่ย Y คืออะไรสำหรับผู้ที่ได้รับค่า X" หรือเท่ากัน "Y คาดการณ์ว่าจะเปลี่ยนเป็น AVERAGE เท่าไหร่ถ้าเราเปลี่ยน X ทีละหน่วย?" ข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่มไม่ได้เปลี่ยนค่าเฉลี่ยของตัวแปรหรือค่าเฉลี่ยสำหรับชุดย่อยของแต่ละคนดังนั้นข้อผิดพลาดแบบสุ่มในตัวแปรตามจะไม่ประมาณการถดถอยแบบอคติ

สมมติว่าคุณมีข้อมูลส่วนสูงของตัวอย่างบุคคล ความสูงเหล่านี้วัดได้อย่างแม่นยำมากสะท้อนความสูงจริงของทุกคนอย่างแม่นยำ ภายในตัวอย่างค่าเฉลี่ยสำหรับผู้ชายคือ 175 ซม. และค่าเฉลี่ยสำหรับผู้หญิงคือ 162 ซม. ถ้าคุณใช้การถดถอยเพื่อคำนวณว่าเพศทำนายความสูงได้ดีแค่ไหน

$\mathit{HEIGHT = CONSTANT + β * GENDER + RESIDUAL}$

ถ้าผู้หญิงถูกเขียนเป็น 0 และผู้ชายเป็น 1เป็นค่าเฉลี่ยของผู้หญิงหรือ 162 ซม. สัมประสิทธิ์การถดถอยแสดงจำนวนความสูงที่เปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยเมื่อคุณเปลี่ยนโดยหนึ่งหน่วย (จาก 0 ถึง 1) เท่ากับ 13 เพราะคนที่มีค่าคือ 0 (ผู้หญิง) มีความสูงเฉลี่ย 162 ซม. ในขณะที่คนที่มีค่าคือ 1 (ผู้ชาย) มีค่าเฉลี่ยสูง 175 ซม.; ประมาณความแตกต่างเฉลี่ยระหว่างความสูงของชายและหญิงซึ่งสูง 13 ซม. (สะท้อนให้เห็นถึงความแปรปรวนภายในเพศสูง) $\mathit{CONSTANT}$ $\mathit{β}$ $\mathit{GENDER}$ $\mathit{β}$ $\mathit{GENDER}$ $\mathit{GENDER}$ $\mathit{β}$ $\mathit{RESIDUAL}$

ทีนี้ถ้าคุณเพิ่ม -1 ซม. หรือ +1 ซม. ในความสูงที่แท้จริงของทุกคนจะเกิดอะไรขึ้น บุคคลที่มีความสูงจริงคือ 170 ซม. ขณะนี้จะถูกรายงานว่าเป็น 169 หรือ 171 ซม. อย่างไรก็ตามค่าเฉลี่ยของตัวอย่างหรือตัวอย่างใด ๆ จะไม่เปลี่ยนแปลง ผู้ที่มีความสูงจริงคือ 170 ซม. จะเฉลี่ย 170 ซม. ในชุดข้อมูลที่ผิดพลาดผู้หญิงจะมีค่าเฉลี่ย 162 ซม. เป็นต้นหากคุณเรียกใช้โมเดลการถดถอยที่ระบุข้างต้นโดยใช้ชุดข้อมูลใหม่นี้ค่าที่คาดไว้ของจะไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากความแตกต่างเฉลี่ยระหว่างชายและหญิงยังคงเป็น 13 ซม. โดยไม่คำนึงถึงข้อผิดพลาดในการวัด (ข้อผิดพลาดมาตรฐานของจะมีขนาดใหญ่กว่าก่อนเนื่องจากความแปรปรวนของตัวแปรตามมีขนาดใหญ่กว่านี้) $\mathit{β}$ $\mathit{β}$

หากมีข้อผิดพลาดในการวัดในตัวแปรอิสระมากกว่าตัวแปรขึ้นอยู่กับจะเป็นการประเมินแบบเอนเอียง ง่ายต่อการเข้าใจเมื่อคุณพิจารณาตัวอย่างความสูง หากมีข้อผิดพลาดในการวัดแบบสุ่มในตัวแปรผู้ชายบางคนจะถูกเขียนรหัสผิดเป็นเพศหญิงและในทางกลับกัน ผลของสิ่งนี้คือการลดความแตกต่างทางเพศที่เห็นได้ชัดในระดับสูงเพราะการย้ายผู้ชายไปยังกลุ่มผู้หญิงจะทำให้ค่าเฉลี่ยของผู้หญิงมีขนาดใหญ่ขึ้นในขณะที่การย้ายหญิงไปยังกลุ่มชายจะทำให้ค่าเฉลี่ยตัวเล็ก ด้วยข้อผิดพลาดการวัดในตัวแปรอิสระจะต่ำกว่าค่าที่ไม่เอนเอียงที่ 13 ซม. $\mathit{β}$ $\mathit{GENDER}$ $\mathit{β}$

ในขณะที่ฉันใช้ตัวแปรอิสระอย่างเด็ดขาด ( ) เพื่อความเรียบง่ายที่นี่ตรรกะเดียวกันนี้ใช้กับตัวแปรต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่นหากคุณใช้ตัวแปรต่อเนื่องเช่นความสูงของทารกเพื่อทำนายความสูงของผู้ใหญ่ค่าที่คาดหวังของจะเหมือนกันโดยไม่คำนึงถึงจำนวนข้อผิดพลาดแบบสุ่มในการวัดความสูงของผู้ใหญ่ $\mathit{GENDER}$ $\mathit{β}$

— user175057
แหล่งที่มา