ทำไมประสิทธิภาพเชิงสัมพัทธ์ของซีมโทติคของการทดสอบ Wilcoxon

มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าประสิทธิภาพญาติ asymptotic (เป็น) ของ Wilcoxon ลงนามในการทดสอบยศเป็นเมื่อเทียบกับนักศึกษาของT -test ถ้าข้อมูลจะถูกดึงออกมาจากประชากรกระจายตามปกติ สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทั้งการทดสอบหนึ่งตัวอย่างขั้นพื้นฐานและตัวแปรสำหรับสองตัวอย่างอิสระ (Wilcoxon-Mann-Whitney U) นอกจากนี้ยังเป็นส่วนของการทดสอบ Kruskal-Wallis เมื่อเทียบกับ ANOVA F -test สำหรับข้อมูลปกติ $\frac{3}{\pi} \approx 0.955$

สิ่งนี้น่าทึ่ง (สำหรับฉันซึ่งเป็นหนึ่งใน " ลักษณะที่ไม่คาดคิดที่สุดของ $\pi$ ") และผลลัพธ์ที่เรียบง่ายอย่างน่าทึ่งมีหลักฐานที่ลึกซึ้งน่าทึ่งหรือเรียบง่าย

— สีเงิน
แหล่งที่มา

ได้รับการปรากฏตัวของใน CDF ปกติลักษณะของในเป็นไม่ควรจริงๆจะทั้งหมดที่น่าแปลกใจ ฉันจะเสี่ยงต่อคำตอบ แต่จะใช้เวลาสักครู่ในการสร้างคำตอบที่ดี

π

$\pi$

π

$\pi$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b แน่นอน - ฉันเคยเห็นการอภิปราย"ทำไม

ปรากฏมากในสถิติ" ก่อน (แม้ว่าจำไม่ได้ว่ามันอยู่ในประวัติส่วนตัวหรือไม่) และ "เพราะการกระจายปกติ" ฉันรู้ว่าพืชผลมากขึ้น แต่

ยังคงเป็นที่น่าแปลกใจเป็นครั้งแรกที่คุณเห็นมัน สำหรับการเปรียบเทียบ ARE of Mann-Whitney กับ t-test สองตัวอย่างคือ 3 สำหรับข้อมูลเลขชี้กำลัง, 1.5 สำหรับการเอ็กซ์โพเนนเชียลสองเท่าและ 1 บนเครื่องแบบ - กลมมาก

π

$\pi$

3 / π

$3/\pi$

— Silverfish

@Silverfish ฉันได้เชื่อมโยงหน้า 197 ของ van der Vaart "Asymptotic Statistics" สำหรับตัวอย่างหนึ่งการทดสอบเครื่องหมายมีค่าอยู่ที่

สัมพันธ์กับการทดสอบ t

2 / π

$2/\pi$

— Khashaa

@Silverfish ... และโลจิสติกมัน

มีค่อนข้างน้อยของพื้นที่ที่รู้จักกันดี (ในกรณีตัวอย่างหนึ่งหรือสองกรณี) ที่เกี่ยวข้องกับ

และค่อนข้างน้อยที่เป็นอัตราส่วนที่เรียบง่ายของจำนวนเต็ม

(π / 3)^{2}

$(\pi/3)^2$

π

$\pi$

— Glen_b -Reinstate Monica

หนึ่งในตัวอย่างการทดสอบลงนามยศมันน่าจะเป็น

สำหรับหนึ่งตัวอย่างการทดสอบสัญญาณมันเป็น

ดังนั้นเราจึงชี้แจงตำแหน่งของเรา ฉันคิดว่ามันเป็นสัญญาณที่ดี

3 / π

$3/\pi$

2 / π

$2/\pi$

— Khashaa

คำตอบ:

ภาพร่างคร่าวๆของสำหรับหนึ่งตัวอย่าง -test ทดสอบการลงนามและการทดสอบการลงนามในอันดับ $t$

ฉันคาดหวังว่าคำตอบของ @ Glen_b รุ่นยาวจะรวมการวิเคราะห์โดยละเอียดสำหรับการทดสอบยศสองตัวอย่างพร้อมด้วยคำอธิบายที่เข้าใจง่ายของ ARE ดังนั้นฉันจะข้ามมาส่วนใหญ่ (กรณีตัวอย่างหนึ่งคุณสามารถค้นหารายละเอียดที่ขาดหายไปใน Lehmann TSH)

ปัญหาการทดสอบ : ให้เป็นตัวอย่างแบบสุ่มจากตำแหน่งจำลอง , สมมาตรเกี่ยวกับศูนย์ เราต้องคำนวณ ARE ของการทดสอบที่ลงนาม, การจัดอันดับการทดสอบสำหรับสมมติฐานเทียบกับ t-test $X_1,\ldots,X_n$ $f(x-\theta)$ $H_0: \theta=0$

ในการประเมินประสิทธิภาพของการทดสอบมีเพียงตัวเลือกในท้องถิ่นเท่านั้นที่พิจารณาเนื่องจากการทดสอบที่สอดคล้องกันมีกำลังงานที่มีแนวโน้มที่ 1 ต่อทางเลือกคงที่ ทางเลือกในท้องถิ่นที่ก่อให้เกิดพลัง asymptotic nontrivial มักจะอยู่ในรูปแบบสำหรับค่าคงที่ซึ่งเรียกว่าพิตแมนดริฟท์ในวรรณกรรมบางเล่ม $\theta_n=h/\sqrt{n}$ $h$

หน้าที่ของเราคือ

ค้นหาการแจกแจงขีด จำกัด ของสถิติการทดสอบแต่ละรายการภายใต้ค่า Null
ค้นหาการแจกแจงขีด จำกัด ของสถิติการทดสอบแต่ละอันภายใต้ทางเลือก
คำนวณกำลังซีมโทติคท้องถิ่นของการทดสอบแต่ละครั้ง

สถิติการทดสอบและ asymptotics

t-test (ให้การมีอยู่ของ ) t n = √t n = √
$t_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X}}{\hat{σ}} \to_{d} N (0, 1) under the null$

$t_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X}}{\hat{σ}} \to_{d} N (h / σ, 1) under the alternative θ = h / \sqrt{n}$
- ดังนั้นการทดสอบที่ปฏิเสธถ้ามีฟังก์ชันพลังงานเชิงเส้น $t_n>z_\alpha$ $1 - Φ (z_{α} - h \frac{1}{σ})$ $1-\Phi\left(z_\alpha-h\frac{1}{\sigma}\right)$
การทดสอบที่เซ็นชื่อ $S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}1\{X_i>0\}$ $\sqrt{n} (S_{n} - \frac{1}{2}) \to_{d} N (0, \frac{1}{4}) under the null$ $\sqrt{n}\left(S_n-\frac{1}{2}\right)\to_dN\left(0,\frac{1}{4}\right)\quad \text{under the null }$ และมีพลังงานแบบอะซิมโทติคเฉพาะที่ $\sqrt{n} (S_{n} - \frac{1}{2}) \to_{d} N (h f (0), \frac{1}{4}) under the alternative$ $\sqrt{n}\left(S_n-\frac{1}{2}\right)\to_dN\left(hf(0),\frac{1}{4}\right)\quad \text{under the alternative }$ $1 - Φ (z_{α} - 2 h f (0))$ $1-\Phi\left(z_\alpha-2hf(0)\right)$
ทดสอบการลงนามในอันดับ $W_{n} = n^{- 2 / 3} \sum_{i = 1}^{n} R_{i} 1 {X_{i} > 0} \to_{d} N (0, \frac{1}{3}) under the null$ $W_n=n^{-2/3}\sum_{i=1}^{n}R_i1\{X_i>0\}\to_dN\left(0,\frac{1}{3}\right)\quad \text{under the null }$ และมีพลังงานแบบอะซิมโทติคเฉพาะที่ $W_{n} \to_{d} N (2 h \int f^{2}, \frac{1}{3}) under the alternative$ $W_n\to_dN\left(2h\int f^2,\frac{1}{3}\right)\quad \text{under the alternative }$ $1 - Φ (z_{α} - \sqrt{12} h \int f^{2})$ $1-\Phi\left(z_\alpha-\sqrt{12}h\int f^2\right)$

A R E (S_{n}) = (2 f (0) σ)^{2}

$ARE(S_n)=(2f(0)\sigma)^2$

A R E (W_{n}) = (\sqrt{12} \int f^{2} σ)^{2}

$ARE(W_n)=(\sqrt{12}\int f^2\sigma)^2$

f

$f$

A R E (S_{n}) = 2 / π

$ARE(S_n)=2/\pi$

A R E (W_{n}) = 3 / π

$ARE(W_n)=3/\pi$

$f$ $ARE(S_n)=1/3$ $ARE(W_n)=1/3$

ข้อสังเกตเกี่ยวกับการสืบทอดของการแจกแจงภายใต้ทางเลือก

มีหลายวิธีที่แน่นอนที่จะได้รับการ จำกัด การกระจายภายใต้ทางเลือก แนวทางทั่วไปอย่างหนึ่งคือการใช้บทแทรกที่สามของ Le Cam เวอร์ชั่นย่อของมันระบุ

$\Delta_n$ $W_n$
$(W_{n}, Δ_{n}) \to_{d} N [(\begin{matrix} μ \\ - σ^{2} / 2 \end{matrix}), (\begin{array}{cc} σ_{W}^{2} & τ \\ τ & σ^{2} / 2 \end{array})]$ $(W_n,\Delta_n)\to_d N\left[\left(\begin{array}{c} \mu\\ -\sigma^2/2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} \sigma^2_W & \tau \\ \tau & \sigma^2/2 \end{array}\right)\right]\\$ $W_{n} \to_{d} N (μ + τ, σ_{W}^{2}) under the alternative$ $W_n\to_d N\left(\mu+\tau,\sigma^2_W\right)\quad\text{under the alternative}$

$\mathrm{cov}(W_n,\Delta_n)$ $\Delta_n$

Δ_{n} \approx \frac{h}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{n} l (X_{i}) - \frac{1}{2} h^{2} I_{0}

$\Delta_n\approx \frac{h}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}l(X_i)-\frac{1}{2}h^2I_0$

l

$l$

I_{0}

$I_0$

S_{n}

$S_n$

c o v (\sqrt{n} (S_{n} - 1 / 2), Δ_{n}) = - h c o v (1 {X_{i} > 0}, \frac{f^{'}}{f} (X_{i})) = h \int_{0}^{\infty} f^{'} = h f (0)

$\mathrm{cov}(\sqrt{n}(S_n-1/2),\Delta_n)=-h\mathrm{cov}\left(1\{X_i>0\},\frac{f'}{f}(X_i)\right)=h\int_0^\infty f'=hf(0)$

— Khashaa
แหล่งที่มา

+1 ฉันจะไม่เข้าไปดูรายละเอียดมากขนาดนี้ (แน่นอนด้วยคำตอบของคุณครอบคลุมสิ่งต่าง ๆ ค่อนข้างเรียบร้อยแล้วฉันอาจจะไม่เพิ่มอะไรกับสิ่งที่ฉันมีตอนนี้) ดังนั้นหากคุณต้องการใส่รายละเอียดเพิ่มเติมอย่า อย่าระงับบัญชีของฉัน ฉันจะได้รับหลายวัน (และยังน้อยกว่าที่คุณมีอยู่แล้ว) ดังนั้นจึงเป็นสิ่งที่ดีที่คุณเข้ามา

— Glen_b

นี่เป็นคำตอบที่ดีโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการเพิ่มบทแทรกของ Le Cam (+1) ดูเหมือนว่าฉันมีการกระโดดที่ค่อนข้างใหญ่ระหว่างการสร้าง asymptotics ใน 1, 2 และ 3 และบิต "ดังนั้น" ที่คุณเขียน ARE ฉันคิดว่าถ้าฉันเขียนมันขึ้นมาฉันจะนิยามประสิทธิภาพเชิงซีมโทติค ณ จุดนี้ (หรืออาจจะเร็วกว่านั้นดังนั้นผลที่สุดของคะแนน 1, 2 และ 3 จะเป็น AE ไม่ใช่แค่พลัง asymptotic ในแต่ละกรณี) และขั้นตอน ไปที่ ARE จะง่ายขึ้นมากสำหรับผู้อ่านในอนาคตที่จะติดตาม

— Silverfish

H_{1}

$H_1$

รู้สึกอิสระที่จะแก้ไขคำตอบของฉันหรือผนวกเข้ากับ OP

— Khashaa

*

$*$

$\pi$ $t$ $Y$ $t$ $n\rightarrow \infty$ $\frac{\pi}{3}$

n <- 1000000; x <- qnorm((1:n)/(n+1)); cor(1:n, x)^2; 3/pi
[1] 0.9549402
[1] 0.9549297
n <- 100000000; x <- qnorm((1:n)/(n+1)); cor(1:n, x)^2; 3/pi
[1] 0.9549298
[1] 0.9549297

— Frank Harrell
แหล่งที่มา

นี่เป็นความคิดเห็นที่มีประโยชน์มากจริงๆ มันใกล้กับแนวคิดเล็กน้อยในการทำn <- 1e6; x <- rnorm(n); cor(x, rank(x))^2(ซึ่งเห็นได้ชัดว่าให้ผลลัพธ์เดียวกัน)?

— Silverfish

(ผู้คนสนใจโดยความคิดเห็นของ Frank อาจต้องการดูคำถามนี้เกี่ยวกับการเทียบเคียงของ Wilcoxon-Mann-Whitney U และการทดสอบt -on ในกลุ่ม )

— Silverfish

n

$n$

n

$n$

n

$n$

สำหรับความทรงจำของฉันประสิทธิภาพตัวอย่างขนาดเล็กของทั้ง Wilcoxon ที่ได้รับการจัดอันดับการทดสอบและ WMW นั้นต่ำกว่าค่า asymptotic เล็กน้อยสำหรับทางเลือกการเปลี่ยนแบบที่การแจกแจงแบบปกติ

— Glen_b -Reinstate Monica

$12\sigma^2[\int f^2(x) dx]^2$ $f$ $\sigma$

$f^2$ $f$ $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ $\frac{ \;}{\pi}$

คำเดียวกัน - ที่มีอินทิกรัลเดียวกันมีส่วนร่วมในการทดสอบการจัดอันดับที่มีการเซ็นชื่อดังนั้นมันจึงใช้ค่าเดียวกัน

$4\sigma^2f(0)^2$ $f(0)^2$ $\frac{ \;}{\pi}$

$\pi$

อ้างอิง:

JL Hodges และ EL Lehmann (1956),
"ประสิทธิภาพของคู่แข่งขันที่ไม่ใช่พารามิเตอร์ของ t-Test",
Ann. คณิตศาสตร์. statist , 27 : 2, 324-335

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

π

$\pi$

\int f^{2} d x

$\int f^2 dx$

α = 2

$\alpha=2$