ภาพร่างคร่าวๆของสำหรับหนึ่งตัวอย่าง -test ทดสอบการลงนามและการทดสอบการลงนามในอันดับเสื้อ
ฉันคาดหวังว่าคำตอบของ @ Glen_b รุ่นยาวจะรวมการวิเคราะห์โดยละเอียดสำหรับการทดสอบยศสองตัวอย่างพร้อมด้วยคำอธิบายที่เข้าใจง่ายของ ARE ดังนั้นฉันจะข้ามมาส่วนใหญ่ (กรณีตัวอย่างหนึ่งคุณสามารถค้นหารายละเอียดที่ขาดหายไปใน Lehmann TSH)
ปัญหาการทดสอบ : ให้เป็นตัวอย่างแบบสุ่มจากตำแหน่งจำลองf ( x - θ ) , สมมาตรเกี่ยวกับศูนย์ เราต้องคำนวณ ARE ของการทดสอบที่ลงนาม, การจัดอันดับการทดสอบสำหรับสมมติฐานH 0 : θ = 0เทียบกับ t-testX1, … , Xnฉ( x - θ )H0: θ = 0
ในการประเมินประสิทธิภาพของการทดสอบมีเพียงตัวเลือกในท้องถิ่นเท่านั้นที่พิจารณาเนื่องจากการทดสอบที่สอดคล้องกันมีกำลังงานที่มีแนวโน้มที่ 1 ต่อทางเลือกคงที่ ทางเลือกในท้องถิ่นที่ก่อให้เกิดพลัง asymptotic nontrivial มักจะอยู่ในรูปแบบสำหรับค่าคงที่hซึ่งเรียกว่าพิตแมนดริฟท์ในวรรณกรรมบางเล่มθn= h / n--√ชั่วโมง
หน้าที่ของเราคือ
- ค้นหาการแจกแจงขีด จำกัด ของสถิติการทดสอบแต่ละรายการภายใต้ค่า Null
- ค้นหาการแจกแจงขีด จำกัด ของสถิติการทดสอบแต่ละอันภายใต้ทางเลือก
- คำนวณกำลังซีมโทติคท้องถิ่นของการทดสอบแต่ละครั้ง
สถิติการทดสอบและ asymptotics
- t-test (ให้การมีอยู่ของ ) t n = √σt n = √
เสื้อn= n--√X¯σ^→dยังไม่มีข้อความ( 0 , 1 )ภายใต้ null
เสื้อn= n--√X¯σ^→dยังไม่มีข้อความ( h / σ, 1 )ภายใต้ทางเลือก θ = h / n--√
- การทดสอบที่เซ็นชื่อ√Sn= 1nΣni = 11 { Xผม> 0 }
√
n--√( Sn- 12) →dยังไม่มีข้อความ( 0 , 1)4)ภายใต้ null
และมีพลังงานแบบอะซิมโทติคเฉพาะที่
1 - Φ ( z α - 2 h f ( 0 ) )n--√( Sn- 12) →dยังไม่มีข้อความ( h f( 0 ) , 14)ภายใต้ทางเลือก
1 - Φ ( zα- 2 ชม. f( 0 ) )
- ทดสอบการลงนามในอันดับW n → d N ( 2 ชั่วโมง∫ f 2 , 1
Wn= n- 2 / 3Σi = 1nRผม1 { Xผม> 0 } →dยังไม่มีข้อความ( 0 , 1)3)ภายใต้ null
และมีพลังงานแบบอะซิมโทติคเฉพาะที่
1 - Φ ( z α - √Wn→dยังไม่มีข้อความ( 2 ชม. ∫ฉ2, 13)ภายใต้ทางเลือก
1 - Φ ( zα- 12--√ชั่วโมง∫ฉ2)
A R E( Sn) = ( 2 f( 0 ) σ)2
A R E( วn) = ( 12--√∫ฉ2σ)2
ฉA R E( Sn) = 2 / πA R E( วn) = 3 / π
ฉA R E( Sn) = 1 / 3A R E( วn) = 1 / 3
ข้อสังเกตเกี่ยวกับการสืบทอดของการแจกแจงภายใต้ทางเลือก
มีหลายวิธีที่แน่นอนที่จะได้รับการ จำกัด การกระจายภายใต้ทางเลือก แนวทางทั่วไปอย่างหนึ่งคือการใช้บทแทรกที่สามของ Le Cam เวอร์ชั่นย่อของมันระบุ
ΔnWn
( วn, Δn) →dยังไม่มีข้อความ[ ( μ- σ2/ 2) , ( σ2Wττσ2/ 2) ]
Wn→dยังไม่มีข้อความ( μ + τ, σ2W)ภายใต้ทางเลือก
c o v (วn, Δn)Δn
Δn≈ ชมn--√Σi = 1nl ( Xผม) - 12ชั่วโมง2ผม0
ล.ผม0Sn
c o v ( n--√( Sn- 1 / 2 ) , Δn) = - h c o v ( 1 { Xผม> 0 } , f'ฉ( Xผม) ) = h ∫∞0ฉ'= h f( 0 )