ความพอเพียงหรือไม่เพียงพอ

10

พิจารณาตัวอย่างที่สุ่มที่มี IID ตัวแปรสุ่มที่(0,1) ตรวจสอบว่า เป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับหรือไม่ $\{X_1,X_2,X_3\}$ $X_i$ $Bernoulli(p)$ $p\in(0,1)$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ $p$

ประการแรกเราจะหาการกระจายสำหรับอย่างไร หรือมันควรจะถูกแยกย่อยเป็นแล้วสิ่งนี้จะติดตามหรือไม่ ฉันคิดว่าไม่ใช่เพราะทราบว่าตัวแปรทั้งหมดไม่ได้เป็นอิสระที่นี่ $(X_1+2X_2+X_3)$ $X_1+X_2+X_2+X_3$ $Bin(4,p)$

อีกทางหนึ่งถ้าฉันใช้เงื่อนไขการแยกตัวประกอบโดยเพียงพิจารณา PMF ร่วมของดังนั้นโดยที่(x) $(X_1,X_2,X_3)$ $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ $t(x)=x_1+2x_2+x_3$

นี่แสดงว่าไม่เพียงพอ $T$

แต่ถ้าฉันต้องการทำตามคำจำกัดความและต้องการใช้เพื่อตรวจสอบว่าอัตราส่วนนี้เป็นอิสระจากหรือไม่ แล้วฉันจะต้องรู้ว่าการกระจายของกรัมแล้วอะไรคือการกระจายตัวของ ? $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ $p$ $g$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$

inference point-estimation sufficient-statistics

— แลนดอนคาร์เตอร์
แหล่งที่มา

1

คำแนะนำ: คุณไม่จำเป็นต้องรู้การกระจายเต็มรูปแบบของ(X) ลองพิจารณาตัวอย่างเช่นกรณี : การกระจายความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของคืออะไร

T (X)

$T(X)$

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X | T (X) = 2)

$(X|T(X)=2)$

— whuber

ถ้าแล้ว\} ดังนั้นซึ่งขึ้นอยู่กับถูกต้องหรือไม่

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$

P (X | T (X) = 2) = p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2} = p (1 - p)

$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$

p

$p$

— Landon Carter

1

นั่นเป็นความคิดที่ถูกต้อง - แต่ฉันไม่เห็นว่าทำไมคุณถึงเพิ่มความน่าจะเป็นที่สอง ไม่ได้เป็นเวกเตอร์ ? (หากคุณต้องการคุณสามารถใช้การคำนวณแบบเดียวกันเพื่อหาการกระจายตัวแบบเต็มของ (สามารถทำได้เพียงค่า ) แต่ไม่จำเป็นอีกต่อไปใช่ไหม? ))

X

$X$

T (X)

$T(X)$

0, 1, 2, 3, 4

$0,1,2,3,4$

— whuber

ช่ายยย. ขอบคุณ! ดังนั้นเมื่อเราแสดงว่าอัตราส่วนนี้ไม่เป็นอิสระจากอย่างน้อยหนึ่งครั้งตัวอย่างจากนั้นเราก็เสร็จแล้ว! ขอบคุณ. และสวัสดีปีใหม่ :)

p

$p$

— Landon Carter

ใช่เป็นเวกเตอร์ แต่ที่สำคัญกว่าและความน่าจะเป็น(0,1,0)) โปรดแก้ไขฉันหากฉันผิด

X

$X$

X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$X=(X_1,X_2,X_3)$

P (X | T (X) = 2) = P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0))

$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— Landon Carter

คำตอบ:

11

ฉันได้พูดคุยกับ "whuber" และบางทีฉันก็ได้คำใบ้ (ถูกต้อง?) เพื่อดูจุดตัวอย่างใด ๆ : ประเมินที่จุดตัวอย่างและตรวจสอบว่าอัตราส่วนนี้มีความเป็นอิสระของพารามิเตอร์ในกรณีนี้พี $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ $x$ $p$

เพื่อใช้แล้ว 2 ดังนั้นเราประเมินตอนนี้เนื่องจากคุณสมบัติ iidนอกจากนี้ $x=(1,0,1)$ $T(1,0,1)=2$ $\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

T (X) = 2 iff X \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} .

$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$

P (X = (1, 0, 1)) = p^{2} (1 - p) and P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p)^{2} .

$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$

P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p) .

$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$

ดังนั้นซึ่งเห็นได้ชัดขึ้นอยู่กับดังนั้นจึงไม่เพียงพอ

\frac{P (X = (1, 0, 1))}{P (T (X) = 2)} = \frac{p^{2} (1 - p)}{p (1 - p)} = p

$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$

p

$p$

T

$T$

— แลนดอนคาร์เตอร์
แหล่งที่มา

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว

Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.