สร้างเมทริกซ์แน่นอนบวกที่เป็นสมมาตรพร้อมรูปแบบการระบุช่องว่างที่กำหนดไว้ล่วงหน้า

ฉันกำลังพยายามสร้างเมทริกซ์สหสัมพันธ์ (symmetric psd) ด้วยโครงสร้าง sparsity ที่ระบุไว้ล่วงหน้า (ระบุโดยกราฟบนโหนด ) โหนดที่เชื่อมต่อในกราฟมีความสัมพันธ์ส่วนที่เหลือทั้งหมดคือ 0 และเส้นทแยงมุมคือ 1 ทั้งหมด$p\times p$$p$$\rho \sim U(0,1)$

ฉันพยายามสร้างเมทริกซ์นี้หลายครั้ง แต่ไม่ค่อยได้เมทริกซ์สหสัมพันธ์ที่ถูกต้อง

มีวิธีที่ฉันสามารถรับประกันเมทริกซ์สหสัมพันธ์หรือไม่? โปรดทราบว่าฉันสามารถมีความสัมพันธ์เชิงบวกเท่านั้นดังนั้นเป็นต้นไม่ใช่ตัวเลือก$\rho \sim U(-1,1)$

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่ชื่นชมอย่างมาก!

ปิด แต่ไม่มีซิการ์สำหรับ @Rodrigo de Azevedo

วิธีแก้ปัญหาคือการใช้การเขียนโปรแกรม semidefinite เพื่อหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด (ขึ้นอยู่กับการไม่เป็นค่าลบ),ของเช่นเมทริกซ์สหสัมพันธ์ที่มีรูปแบบการกำหนดเป็นบวก semidefinite (psd) ค่าทั้งหมดของเช่นจะสร้างเมทริกซ์ psd (แบบฝึกหัดสำหรับผู้อ่าน) $\rho_{max}$$\rho_{min}$$\rho$$\rho$$\rho_{max}\le \rho \le \rho_{max}$

ดังนั้นคุณต้องเลือกการกระจายของซึ่งสามารถรับค่าในหรือคุณต้องใช้การยอมรับ / ปฏิเสธและปฏิเสธค่าที่สร้างขึ้นของที่ไม่ได้สร้างขึ้น เมทริกซ์ psd$\rho$$[\rho_{max},\rho_{max}]$$\rho$

ตัวอย่างสำหรับเมทริกซ์ขนาด 4 คูณ 4 โดยใช้ YALMIP ภายใต้ MATLAB

sdpvar rho % declare rho to be a scalar variable
% find maximum value of rho (by minimizing -rho) subject to prescribed matrix being psd.
optimize([1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,-rho) 
% find minimum value of rho subject to prescribed matrix being psd and rho being >= 0.
optimize([[1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,rho >= 0],rho) 

ผลลัพธ์: สูงสุด rho = 0.57735, rho ต่ำสุด = 0 มันชัดเจนว่าศูนย์จะเป็นค่าต่ำสุดของ rho ภายใต้ rho ที่ไม่ได้รับการถ่ายทอดและเมทริกซ์ที่กำหนดเป็น psd โดยไม่คำนึงถึงมิติหรือรูปแบบการกระจาย ดังนั้นจึงเป็นสิ่งที่ไม่จำเป็นที่จะเรียกใช้การเพิ่มประสิทธิภาพ semidefinite เพื่อหาค่าไม่ติดลบต่ำสุดของ\$\rho$

เมทริกซ์สหสัมพันธ์คือสมมาตร, semidefinite บวกและมี $1$อยู่ในแนวทแยงมุมหลัก หนึ่งสามารถหา$n \times n$เมทริกซ์เชิงความสัมพันธ์โดยการแก้โปรแกรม semidefinite (SDP) ต่อไปนี้โดยที่ฟังก์ชันวัตถุประสงค์นั้นเป็นอิสระตามอำเภอใจกล่าวคือฟังก์ชันศูนย์

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

หากมีข้อ จำกัด เพิ่มเติมเช่นข้อ จำกัด sparsity

$$x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]$$

ข้อ จำกัด และไม่ใช่การปฏิเสธ $\mathrm X \geq \mathrm O_n$จากนั้นหนึ่งอันจะแก้ไข SDP ต่อไปนี้

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]\\ & \mathrm X \geq \mathrm O_n\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$$

---

$3 \times 3$ ตัวอย่าง

สมมติว่าเราต้องการมี $x_{13} = 0$ และ $x_{12}, x_{23} \geq 0$. นี่คือสคริปต์MATLAB + CVX

cvx_begin sdp

    variable X(3,3) symmetric

    minimize( trace(zeros(3,3)*X) )
    subject to

        % put ones on the main diagonal
        X(1,1)==1
        X(2,2)==1
        X(3,3)==1

        % put a zero in the northeast and southwest corners
        X(1,3)==0

        % impose nonnegativity
        X(1,2)>=0
        X(2,3)>=0

        % impose positive semidefiniteness
        X >= 0

cvx_end

เรียกใช้สคริปต์

Calling sedumi: 8 variables, 6 equality constraints
------------------------------------------------------------
SeDuMi 1.21 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500
eqs m = 6, order n = 6, dim = 12, blocks = 2
nnz(A) = 8 + 0, nnz(ADA) = 36, nnz(L) = 21
 it :     b*y       gap    delta  rate   t/tP*  t/tD*   feas cg cg  prec
  0 :            3.00E+000 0.000
  1 : -1.18E-001 6.45E-001 0.000 0.2150 0.9000 0.9000   1.86  1  1  1.2E+000
  2 : -6.89E-004 2.25E-002 0.000 0.0349 0.9900 0.9900   1.52  1  1  3.5E-001
  3 : -6.48E-009 9.72E-007 0.097 0.0000 1.0000 1.0000   1.01  1  1  3.8E-006
  4 : -3.05E-010 2.15E-009 0.000 0.0022 0.9990 0.9990   1.00  1  1  1.5E-007
  5 : -2.93E-016 5.06E-015 0.000 0.0000 1.0000 1.0000   1.00  1  1  3.2E-013

iter seconds digits       c*x               b*y
  5      0.3   5.8  0.0000000000e+000 -2.9302886987e-016
|Ax-b| =  1.7e-015, [Ay-c]_+ =  6.1E-016, |x|= 2.0e+000, |y|= 1.5e-015

Detailed timing (sec)
   Pre          IPM          Post
1.563E-001    2.500E-001    1.094E-001    
Max-norms: ||b||=1, ||c|| = 0,
Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.
------------------------------------------------------------
Status: Solved
Optimal value (cvx_optval): +0

มาดูกันว่า CVX โซลูชันใดที่พบ

>> X

X =

    1.0000    0.4143         0
    0.4143    1.0000    0.4143
         0    0.4143    1.0000

เมทริกซ์นี้เป็นค่าบวกเชิงบวกหรือไม่? แน่นอนบวก?

>> rank(X)

ans =

     3

>> eigs(X)

ans =

    1.5860
    1.0000
    0.4140

เป็นบวกแน่นอนตามที่คาดไว้ เราสามารถหาเมทริกซ์สหสัมพันธ์เชิงบวกแบบกึ่งไม่มีที่สิ้นสุดได้โดยเลือกฟังก์ชันวัตถุประสงค์แบบไม่เป็นศูนย์