Non-transitivity of correlation: ความสัมพันธ์ระหว่างเพศและขนาดของสมองและระหว่างขนาดของสมองกับ IQ แต่ไม่มีความสัมพันธ์กันระหว่างเพศและ IQ

ฉันพบคำอธิบายต่อไปนี้ในบล็อกและฉันต้องการรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการไม่สัมพันธ์ของความสัมพันธ์:

เรามีข้อเท็จจริงที่ปฏิเสธไม่ได้ดังต่อไปนี้:

• โดยเฉลี่ยมีความแตกต่างของปริมาณสมองระหว่างชายและหญิง
• มีความสัมพันธ์ระหว่าง IQ กับขนาดสมอง ความสัมพันธ์คือ 0.33 และสอดคล้องกับ 10% ของความแปรปรวนของไอคิว

จากสถานที่เหล่านี้ 1 และ 2 ดูเหมือนว่าจะมีเหตุผลจากนั้นผู้หญิงโดยเฉลี่ยมีไอคิวต่ำกว่าผู้ชาย แต่มันเป็นความเข้าใจผิด! ในสถิติความสัมพันธ์ไม่ได้เป็นสกรรมกริยา หลักฐานคือคุณเพียงแค่ต้องดูผลลัพธ์ของการทดสอบ IQ และพวกเขาแสดงให้เห็นว่า IQ ของชายและหญิงไม่แตกต่างกันโดยเฉลี่ย

ฉันต้องการที่จะเข้าใจความสัมพันธ์ที่ไม่ไวของความลึกนี้สักหน่อย

หากความสัมพันธ์ระหว่าง IQ และขนาดสมองเท่ากับ 0.9 (ซึ่งฉันรู้ว่าไม่ใช่ (1)) จะอนุมานหรือไม่ว่าผู้หญิงโดยเฉลี่ยมีไอคิวต่ำกว่าผู้ชาย

ได้โปรดฉันไม่ได้อยู่ที่นี่เพื่อพูดคุยเกี่ยวกับ IQ (และข้อ จำกัด ของการทดสอบ), การรังเกียจผู้หญิง, ทัศนคติของผู้หญิง, ความเย่อหยิ่งและอื่น ๆ (2) ฉันแค่ต้องการที่จะเข้าใจเหตุผลเชิงตรรกะที่อยู่เบื้องหลังการเข้าใจผิด

---

(1) ซึ่งฉันรู้ว่ามันไม่ได้เป็น: ยุคมีสมองที่ใหญ่กว่า homo sapiens แต่ไม่ฉลาดขึ้น

(2) ฉันเป็นผู้หญิงและโดยรวมฉันไม่คิดว่าตัวเองหรือผู้หญิงคนอื่นฉลาดน้อยกว่าผู้ชายฉันไม่สนใจเกี่ยวกับการทดสอบไอคิวเพราะสิ่งที่นับเป็นคุณค่าของคนและมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ ความสามารถทางปัญญา

---

แหล่งต้นฉบับในฝรั่งเศส:

บน les faits suivants indiscutables:

• ในความแตกต่างของปริมาณcérébralและ moyenne ระหว่าง hommes และ femmes
• ในกรณีที่มีความเกี่ยวข้องกับ QI และปริมาณการสั่งซื้อ; มีความสัมพันธ์กับ 0.33 และสอดคล้องกับความแตกต่าง 10%

ในระยะแรก 1 และ 2, มีการตกแต่งแบบลอจิสติกส์ que: les femmes on moyenne un QI inférieur aux hommes.

Ma'e c'est une erreur de raisonnement! ในขณะนี้, มีความสัมพันธ์และไม่เปลี่ยนเพศ. ก่อนอื่น, คุณควรจะซื้อสุทธิ, และตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้ทำการทดสอบ QI, และคำถามที่พบบ่อยเช่นเดียวกับคำถามที่พบบ่อยและคำถามที่พบบ่อย.

ใช่มันจะยังคงเป็นความเข้าใจผิด

นี่เป็นรูปง่าย ๆ ที่แสดงสถานการณ์ที่แตกต่างกันสี่แบบ ในแต่ละกรณีจุดสีแดงหมายถึงผู้หญิงจุดสีฟ้าแสดงถึงผู้ชายแกนนอนหมายถึงขนาดของสมองและแกนแนวตั้งหมายถึง IQ ฉันสร้างชุดข้อมูลทั้งสี่ชุดเช่น:

• ขนาดของสมองเฉลี่ยระหว่างผู้ชาย ( ) และผู้หญิง ( 28 - หน่วยเป็นเรื่องที่แตกต่างกัน) นี่คือค่าเฉลี่ยของประชากร แต่ความแตกต่างนี้ใหญ่พอที่จะมีนัยสำคัญทางสถิติกับขนาดตัวอย่างที่เหมาะสม$22$$28$

• มีความแตกต่างในค่าเฉลี่ยไอคิวระหว่างชายและหญิง (ทั้ง ) และยังไม่มีความสัมพันธ์กันระหว่างเพศและไอคิว$100$

• ความแข็งแรงของสหสัมพันธ์ระหว่างขนาดสมองและ IQ แตกต่างกันดังแสดงในรูป

ในแผนย่อยบนซ้ายภายในความสัมพันธ์ระหว่างเพศ (คำนวณแยกกันเหนือผู้ชายและแยกจากผู้หญิงโดยเฉลี่ยแล้ว) คือเช่นเดียวกับในคำพูดของคุณ ในความสัมพันธ์โดยรวมแผนบนขวา (กว่าผู้ชายและผู้หญิงด้วยกัน) เป็น0.3 โปรดทราบว่าคำพูดของคุณไม่ได้ระบุว่าจำนวน0.33หมายถึงอะไร ในแผนการย่อยซ้ายล่างภายในสหสัมพันธ์ทางเพศคือ0.9เช่นเดียวกับในตัวอย่างสมมุติของคุณ ในแผนขวาล่างสัมพันธ์โดยรวมเป็น0.9$0.3$$0.3$$0.33$$0.9$$0.9$

ดังนั้นคุณสามารถมีค่าความสัมพันธ์ใด ๆ และมันไม่สำคัญว่ามันจะคำนวณโดยรวมหรือภายในกลุ่ม ไม่ว่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์นั้นเป็นไปได้มากที่จะไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างเพศกับ IQ และความแตกต่างระหว่างเพศในศูนย์ใน IQ เฉลี่ย

---

การสำรวจความไม่แปรปรวน

ให้เราสำรวจความเป็นไปได้เต็มรูปแบบตามแนวทางที่ @kjetil แนะนำ สมมติว่าคุณมีสามตัวแปรและ (โดยไม่สูญเสียของทั่วไป) สมมติว่าความสัมพันธ์ระหว่างx 1และx 2คือ> 0และความสัมพันธ์ระหว่างx 2และx 3คือข> 0 คำถามคืออะไรคือค่าบวกที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของความสัมพันธ์λระหว่างx 1และx $x_1, x_2, x_3$$x_1$$x_2$$a>0$$x_2$$x_3$$b>0$$\lambda$$x_1$$x_3$? บางครั้งต้องเป็นบวกหรือเป็นศูนย์ได้หรือไม่?

เมทริกซ์สหสัมพันธ์คือและจะต้องมีปัจจัยที่ไม่เป็นลบเช่นd e t R = - λ 2 + 2 a b λ - ( a 2 + b 2

$$\mathbf R = \left( \begin{array}{} 1&a&\lambda \\ a&1&b \\ \lambda &b&1 \end{array}\right)$$ หมายความว่า λมีอยู่ระหว่างข± $$\mathrm{det} \mathbf R = -\lambda^2 + 2ab\lambda - ( a^2+b^2-1) \ge 0,$$ $\lambda$ ถ้ารากทั้งคู่เป็นบวกดังนั้นค่าที่เป็นไปได้น้อยที่สุดของλเท่ากับรากที่เล็กกว่า (และλต้องเป็นค่าบวก!) ถ้าศูนย์อยู่ระหว่างรากทั้งสองนี้ดังนั้นλอาจเป็นศูนย์ $$ab \pm \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}.$$ $\lambda$$\lambda$$\lambda$

เราสามารถแก้ปัญหานี้เป็นตัวเลขและพล็อตค่าบวกที่เป็นไปได้น้อยที่สุดของสำหรับaและb ต่างกัน:$\lambda$$a$$b$

อย่างไม่เป็นทางการเราอาจกล่าวได้ว่าความสัมพันธ์จะเป็นสกรรมกริยาถ้าให้ที่> 0และB > 0หนึ่งสามารถสรุปได้ว่าλ > 0 เราเห็นว่าสำหรับค่าaและb ส่วนใหญ่λสามารถเป็นศูนย์ได้ซึ่งหมายความว่าสหสัมพันธ์นั้นไม่แปรปรวน อย่างไรก็ตามสำหรับบางค่าที่สูงพอ$a>0$$b>0$$\lambda>0$$a$$b$$\lambda$และ b ที่ความสัมพันธ์ λต้องเป็นค่าบวกซึ่งหมายความว่ามี "ระดับความไวของการเปลี่ยนแปลง" หลังจากทั้งหมด แต่ จำกัด เฉพาะความสัมพันธ์ที่สูงมากเท่านั้น โปรดทราบว่าทั้งสหสัมพันธ์ aและ$a$$b$$\lambda$ $a$$b$ จะต้องสูง

เราสามารถทำงานออกมาเป็นเงื่อนไขที่แม่นยำสำหรับการนี้ "กริยา" ดังกล่าวข้างต้นรากที่มีขนาดเล็กกว่าที่ควรจะเป็นในเชิงบวกคือข- √ซึ่งเทียบเท่ากับ2+B2>1 นี่คือสมการของวงกลม! และถ้าคุณดูรูปด้านบนคุณจะสังเกตเห็นว่าพื้นที่สีน้ำเงินก่อตัวเป็นวงกลมหนึ่งในสี่ส่วน$ab - \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}>0$$a^2+b^2>1$

ในตัวอย่างของคุณโดยเฉพาะความสัมพันธ์ระหว่างเพศและสมองขนาดค่อนข้างปานกลาง (บางที= 0.5 ) และความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของสมองและ IQ คือข= 0.33ซึ่งเป็นอย่างมั่นคงในภูมิภาคสีฟ้า ($a=0.5$$b=0.33$ ) มีความหมายว่า λสามารถบวกลบหรือศูนย์$a^2+b^2<1$$\lambda$

---

ตัวเลขที่เกี่ยวข้องจากการศึกษาต้นฉบับ

คุณต้องการหลีกเลี่ยงการพูดคุยเรื่องเพศและสมอง แต่ฉันไม่สามารถช่วยชี้ให้เห็นว่าการดูตัวเลขเต็มจากบทความต้นฉบับ ( Gur et al. 1999 ) คุณจะเห็นว่าในขณะที่ไม่มีความแตกต่างทางเพศในคะแนนไอคิววาจามี ความแตกต่างที่ชัดเจนและสำคัญในคะแนน IQ เชิงพื้นที่! เปรียบเทียบแผนย่อย D และ F

ให้เรานิยามและx 3เป็นตัวแปรอื่น ๆ (เช่นปริมาตรสมอง) สัมพันธ์กับทั้งสอง ขอให้เราคิดว่า คร( x 1 , x 2 ) = λ $x_1=\text{IQ}, x_2=\text{gender}$$x_3$ ค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับ λคืออะไร? เมทริกซ์สหสัมพันธ์จะต้องเป็นกึ่งบวกแน่นอนดังนั้นตัวกำหนดนั้นจะต้องไม่เป็นลบ ที่สามารถถูกเอารัดเอาเปรียบเพื่อให้ความไม่เท่าเทียมกัน ให้เราลอง: เมทริกซ์ความสัมพันธ์คือ R = ( 1 λ ρ λ 1 ρ ρ ρ 1 ) จากนั้นเราสามารถคำนวณปัจจัยของ

$$\text{cor}(x_1, x_2)=\lambda, \\ \text{cor}(x_1,x_3)=\text{cor}(x_2, x_3)=\rho=0.9$$ $\lambda$
$$R=\begin{pmatrix} 1 & \lambda & \rho \\ \lambda & 1 & \rho \\ \rho & \rho & 1 \end{pmatrix}$$ $\rho$โดยการขยายไปตามแถวแรก: ซึ่งนำไปสู่ความไม่สมดุลกัน ρ 2 ≤ $$\det R = 1\cdot (1-\rho^2) - \lambda \cdot (\lambda-\rho^2) + \rho \cdot (\lambda \rho - \rho) \\ = 1-\lambda^2 -2\rho^2 + 2\lambda \rho^2 \ge 0,$$ . ค่าρ=0.9นำไปสู่การλ≥0.62$\rho^2 \le \frac{\lambda+1}{2}$$\rho=0.9$$\lambda \ge 0.62$

ปรับปรุง:

$p=0.5$$\mu_1 = \text{E}(x_1 | x_2=1)$$\mu_0 = \text{E}(x_1 | x_2=0)$$\mu=\text{E}(x_1)$$\mu=0=\mu_1+\mu_0$$\mu_0 = -\mu_1$$x_1 \sim \text{N}(\mu=0, \sigma^2)$$x_2$$p=1/2$

$$\text{corr}(x_1, x_2) = \frac{\text{E}(x_1-\mu)\text{E}(x_2-p)}{\sigma \cdot \frac12} \\ = \frac{\Delta}{2\sigma}$$ $\Delta = \mu_1 - \mu_0 = 2\mu_1$$\sigma=10$$\Delta/20$ข้อมูลเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย IQ แตกต่างผิดปกติ! นั่นจะเป็นจริงถ้าเพศเป็นตัวแปรต่อเนื่องซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ โปรดทราบว่าข้อเท็จจริงนี้เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าสำหรับการแจกแจงทวินามความแปรปรวนเป็นฟังก์ชันของค่าเฉลี่ย (เท่าที่จะเป็นเพราะมีเพียงพารามิเตอร์เดียวเท่านั้นที่จะเปลี่ยนแปลง) สิ่งที่เราได้ทำไปแล้วเป็นการขยายความแปรปรวน / ความสัมพันธ์

$\rho=0.33$$\lambda \ge -0.7822$$\lambda=0$

นี่เป็นสถานการณ์ที่ฉันชอบใช้แผนภาพเส้นทางเพื่อแสดงให้เห็นถึงผลกระทบโดยตรงและผลกระทบทางอ้อมและวิธีที่ทั้งสองมีผลต่อความสัมพันธ์โดยรวม

ตามคำอธิบายดั้งเดิมเรามีเมทริกซ์สหสัมพันธ์ด้านล่าง ขนาดสมองมีความสัมพันธ์กับ IQ ประมาณ 0.3 หญิงและ IQ มีความสัมพันธ์ 0 ซึ่งกันและกัน ผมกรอกข้อมูลลงในความสัมพันธ์ทางลบระหว่างเพศหญิงและสมองขนาดจะเป็น -0.3 (ถ้าผมจะคิดว่ามันเป็นมากขนาดเล็กกว่า แต่ตอนนี้จะทำหน้าที่เพื่อวัตถุประสงค์ในภาพประกอบ)

       Brain  Female  IQ
 Brain   1
Female  -0.3    1
    IQ   0.3    0      1

ถ้าเราพอดีกับโมเดลการถดถอยโดยที่ IQ เป็นหน้าที่ของขนาดสมองและเป็นผู้หญิงเราสามารถอธิบายสิ่งนี้ในรูปของแผนภาพเส้นทาง ฉันเติมค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยบางส่วนบนลูกศรและโหนด B ย่อมาจากขนาดสมองและโหนด F หมายถึงเพศหญิง

ทีนี้ความบ้าบอเป็นอย่างไร - เมื่อควบคุมขนาดสมองเนื่องจากความสัมพันธ์เหล่านี้ผู้หญิงมีความสัมพันธ์เชิงบวกกับ IQ ทำไมจึงเป็นเช่นนี้เมื่อความสัมพันธ์ของขอบเป็นศูนย์ ตามกฎที่มีไดอะแกรมเส้นทางแบบเชิงเส้น ( Wright, 1934 ) เราสามารถสลายความสัมพันธ์ส่วนขอบเป็นฟังก์ชันของผลกระทบโดยตรงเมื่อควบคุมขนาดสมองและผลกระทบทางอ้อม:

$$\text{Total}_{\text{F},\text{IQ}} = \text{Direct}_{\text{F},\text{IQ}} + \text{Indirect}_{\text{F},\text{B},\text{IQ}}$$

$\text{Total}_{\text{F},\text{IQ}} = \text{Cor}(\text{F},\text{IQ})$

$$\begin{align} \text{Indirect}_{\text{F},\text{B},\text{IQ}} &= \text{Cor}(\text{F},\text{B}) \cdot \text{Cor}(\text{B},\text{IQ}|\text{F}) \\ -0.099 &= -0.3 \cdot 0.33 \end{align}$$

เนื่องจากเอฟเฟกต์ทั้งหมดเป็นศูนย์เรารู้ว่าผลกระทบโดยตรงจะต้องเป็น เครื่องหมายตรงข้ามที่แน่นอนและขนาดของผลกระทบทางอ้อมดังนั้นผลกระทบโดยตรงเท่ากับ 0.099 ในตัวอย่างนี้ ตอนนี้ที่นี่เรามีสถานการณ์เมื่อประเมิน IQ ที่คาดหวังของผู้หญิงเราได้คำตอบที่แตกต่างกันสองอย่างแม้ว่าอาจไม่ใช่สิ่งที่คุณคาดหวังในตอนแรกเมื่อระบุคำถาม เมื่อประเมินค่า IQ ที่คาดหวังเพียงเล็กน้อยของผู้หญิงกับผู้ชายความแตกต่างคือศูนย์ตามที่คุณกำหนด (โดยมีสหสัมพันธ์เป็นศูนย์) เมื่อประเมินความแตกต่างที่คาดหวังตามเงื่อนไขของขนาดสมองเพศหญิงจะมี IQ สูงกว่าผู้ชาย

คุณสามารถแทรกลงในตัวอย่างนี้ได้ทั้งความสัมพันธ์ที่มากขึ้นระหว่างขนาดสมองกับ IQ (หรือความสัมพันธ์ที่เล็กกว่าระหว่างขนาดผู้หญิงกับขนาดสมอง) เนื่องจากขีด จำกัด ที่ kjetil แสดงในคำตอบของเขา การเพิ่มอดีตทำให้ความแตกต่างระหว่าง IQ เงื่อนไขของผู้หญิงและผู้ชายมากขึ้นในความโปรดปรานของผู้หญิงลดลงหลังทำให้ความแตกต่างมีขนาดเล็กลง

$v$$q$$1$$2$

$$E(v_1) > E(v_2) = \beta E(v_1), 0< \beta <1, \;\; \rho(v_1,q_1) >0, \;\; \rho(v_2,q_2)>0 \tag{1}$$

Note that while the quoted text talks about "correlation between brain volume and IQ" in general, the supplied image makes a distinction with the two trend-lines (i.e. it shows the correlation for the two subgroups separately). So we consider them separately (which is the correct way to go).

Then

$$\rho(v_1,q_1) >0 \Rightarrow {\rm Cov}(v_1,q_1)>0 \Rightarrow E(v_1q_1) > E(v_1)E(q_1)$$

$$\Rightarrow \frac {E(v_1q_1)}{E(q_1)} > E(v_1) \tag{2}$$

and

$$\rho(v_2,q_2) >0 \Rightarrow {\rm Cov}(v_2,q_2)>0 \Rightarrow E(v_2q_2) > E(v_2)E(q_2)$$

$$\Rightarrow \frac {E(v_2q_2)}{\beta E(q_2)} > E(v_1) \tag{3}$$

Does the above obtained inequalities necessitate $E(q_1) > E(q_2)$??

To check this assume on the contrary that $E(q_1) = E(q_2) = \bar q \tag {4}$

Then it must be the case that

$$(2),(4) \Rightarrow \frac {E(v_1q_1)}{\bar q} > E(v_1) \tag{5}$$

and that

$$(3),(4) \Rightarrow \frac {E(v_2q_2)}{\beta \bar q} > E(v_1) \tag{6}$$

Well, it certainly can be the case, that inequalities $(5)$ and $(6)$ hold at the same time, and so "equal IQ on average" is perfectly compatible with the initial assumptions that we took as facts.
In fact it could very well happen that we could have a higher average IQ from women than for men, for the same set of facts in $(1)$.

In other words, the correlation assumptions/facts in $(1)$ do not impose any constraint whatsoever about the relation between average IQ's at all. All possible relation between $E(q_1)$ and $E(q_2)$ may hold, and be compatible with the assumptions in $(1)$.