ทำไม

ลำดับของตัวประมาณค่า $U_n$ สำหรับพารามิเตอร์ $\theta$ นั้นเป็นสัญญาณเชิงเส้นกำกับปกติหาก $\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$ )(แหล่งที่มา) แล้วเราเรียก $v$ แปรปรวน asymptotic ของ $U_n$ nหากความแปรปรวนนี้มีค่าเท่ากับCramer-Rao ที่ถูกผูกไว้เราบอกว่าตัวประมาณ / ลำดับนั้นมีประสิทธิภาพแบบเชิงเส้นกำกับ

คำถาม:ทำไมเราถึงใช้ $\sqrt{n}$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง?

ฉันรู้ว่าสำหรับค่าเฉลี่ยตัวอย่างและดังนั้นตัวเลือกนี้ทำให้มันเป็นมาตรฐาน แต่เนื่องจากคำจำกัดความข้างต้นนำไปใช้กับค่าเฉลี่ยตัวอย่างมากกว่าเหตุใดเราจึงยังคงเลือกที่จะทำให้เป็นมาตรฐานโดย $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ . $\sqrt{n}$

estimation asymptotics efficiency

— ไม่รู้เรื่องรู้ราว
แหล่งที่มา

สำหรับประมาณการที่ดี

ควรจะมีค่าเฉลี่ย

พารามิเตอร์ที่มีการประมาณและความแปรปรวนของ

ควรจะมาบรรจบกันเพื่อ

, ที่อยู่, การกระจายของ

ควรจะมาบรรจบกับการกระจายเลวกับอะตอมเดียวที่θ

แต่มีหลายวิธีที่การบรรจบกันนี้สามารถเกิดขึ้นได้เช่น

หรือ

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n}

$U_n$

0

$0$

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n} \sim U (θ - 1 / n, θ + 1 / n)

$U_n \sim U(\theta-1/n,\theta+1/n)$

U_{n} \sim N (θ, v / n)

$U_n\sim N(\theta,v/n)$ ฯลฯ เราต้องการใช้ soubriquet asymptotically ปกติกับคดีหลัง แต่ไม่ใช่คดีเดิม

— Dilip Sarwate

ตัวประมาณที่มีประสิทธิภาพเป็นอาการปกติ en.wikipedia.org/wiki/…

— Khashaa

คำถามนี้อาจตั้งชื่อได้ดีกว่าว่า "ภาวะปกติเชิงเส้นกำกับ" แทนที่จะเป็น "ประสิทธิภาพเชิงเส้นกำกับ"? ไม่ชัดเจนสำหรับฉันที่ "ประสิทธิภาพ" กลายเป็นประเด็นสำคัญของคำถามมากกว่าเพียงบริบทที่พบ "ภาวะปกติเชิงเส้นกำกับ" พบ

— Silverfish

มีเพียงแค่ต้องตรวจสอบหลักฐานของ asymptotic normality ของ MLE! สแควร์รูท

คือทำให้ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางใช้ได้กับค่าเฉลี่ยตัวอย่าง!

n

$n$

— Megadeth

คำตอบ:

เราไม่ได้เลือกที่นี่ ปัจจัย "normalizing" ในสาระสำคัญคือ "ความแปรปรวน - เสถียรภาพกับบางสิ่งบางอย่าง จำกัด " ดังนั้นสำหรับการแสดงออกที่จะไม่ไปที่ศูนย์หรือไม่มีที่สิ้นสุดเมื่อขนาดตัวอย่างไปไม่มีที่สิ้นสุด แต่เพื่อรักษาการกระจายตัวที่ขีด จำกัด

ดังนั้นจะต้องเป็นสิ่งที่มันจะต้องมีในแต่ละกรณี แน่นอนว่ามันเป็นเรื่องที่น่าสนใจในหลาย ๆ กรณีที่มันโผล่ออกมานั่นเองมีที่จะ . (แต่ดูความคิดเห็นของ @ whuber ด้านล่าง) $\sqrt n$

ตัวอย่างมาตรฐานที่ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานจะต้องเป็น $n$ แทนที่จะเป็น $\sqrt n$ คือเมื่อเรามีแบบจำลอง

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}, y_{0} = 0, t = 1, . . ., T

$y_t = \beta y_{t-1} + u_t, \;\; y_0 = 0,\; t=1,...,T$

กับ $u_t$ เสียงสีขาวและเราประเมินที่ไม่รู้จัก โดยสแควร์สน้อยธรรมดา $\beta$

ถ้ามันเกิดขึ้นว่าค่าที่แท้จริงของสัมประสิทธิ์คือ $|\beta|<1$ แล้ว OLS ประมาณการมีความสอดคล้องและลู่ที่ปกติอัตรา $\sqrt n$

แต่ถ้าหากค่าที่แท้จริงคือ (นั่นคือเรามีการเดินแบบสุ่มบริสุทธิ์) จากนั้นตัวประมาณค่า OLS จะสอดคล้องกัน แต่จะรวมตัวกัน "เร็ว" ในอัตรา $\beta=1$ $n$ (บางครั้งเรียกว่าตัวประมาณ "superconsistent" ฉันเดาว่าผู้ประเมินหลายคนมารวมกันที่อัตรา ) ในกรณีนี้จะได้รับ (ที่ไม่ปกติ) การกระจาย asymptotic ของเรามีขนาดโดย $\sqrt n$
$(\hat \beta - \beta)$ $n$ (ถ้าเราขนาดเพียงนิพจน์จะเป็นศูนย์) แฮมิลตัน ch 17 $\sqrt n$ มีรายละเอียด

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

Alecos คุณสามารถอธิบายสิ่งที่ประมาณในโมเดล

(ที่ฉันเข้าใจว่าคุณหมายถึง

และการสังเกตถูกบันทึกไว้

อื่น ๆ ) มันก็คือว่าในรูปแบบ

OLS ประมาณการ

ลู่ในอัตรา

y_{t} = y_{t - 1} + u_{t}, u_{0} = 0

$y_t = y_{t-1}+u_t, u_0=0$

y_{0} = 0

$y_0=0$

1, 2,

$1, 2,$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

สำหรับ

แต่เมื่อ

บรรจบกันอยู่ที่อัตรา

หรือเป็นกรณีที่ในรูปแบบ

การลู่เข้าหากันอยู่ที่อัตรา

หรือไม่? กล่าวโดยย่อความหมายของคำว่า "และ

คือการเดินแบบสุ่มบริสุทธิ์" คืออะไร?

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

| β | < 1

$|\beta| < 1$

β = 1

$\beta=1$

n

$n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

n

$n$

β = 1

$\beta=1$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate ขอบคุณ Updated ฉันเชื่อว่าตอนนี้ชัดเจน

— Alecos Papadopoulos

(+1) มันอาจจะคุ้มค่าและให้คำแนะนำที่จะต้องทราบว่าการเลือก

(หรือ

หรืออะไรก็ตามที่อาจเหมาะสม) นั้นไม่ซ้ำกัน ในสถานที่ของคุณอาจใช้ใด ๆฟังก์ชั่น

ซึ่งค่า จำกัด ของ

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

เท่ากับความสามัคคี มันมีความหมายกว้างกว่าเท่านั้นที่

"ต้องเป็นทุกอย่างที่มันเป็น"

f (n) / \sqrt{n}

$f(n)/\sqrt{n}$

f

$f$

— whuber

@Khashaa The OP asked about asymptotic efficiency, but in the process, it was revealed that the OP might had the wrong impression about "normalizing" factors. This is a more fundamental issue, so I chose to cover this in my answer. Nothing is said in my answer about efficiency.

— Alecos Papadopoulos

Perhaps it is worth mentioning in your answer that the case with

n

$n$ rather than

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ is called "superconsistent"? Currently the only other mention of "superconsistent" on CV which the site's search function can pick up is another one by Alecos! I think it's a good idea to make Qs and As more search-friendly.

— Silverfish

You were on the right track with a sample mean variance intuition. Re-arrange the condition:

\sqrt{n} (U_{n} - θ) \to N (0, v)

$\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$

(U_{n} - θ) \to \frac{N (0, v)}{\sqrt{n}}

$(U_n - \theta) \to \frac{N(0,v)}{\sqrt{n}}$

U_{n} \to N (θ, \frac{v}{n})

$U_n \to N(\theta,\frac{v}{n})$

The last equation is informal. However, it's in some way more intuitive: you say that the deviation of $U_n$ from $\theta$ is becoming more like a normal distribution when $n$ increases. The variance is shrinking, but the shape becomes closer to normal distribution.

In math they don't define the convergence to the changing right hand side ( $n$ is varying). That's why the same idea is expressed as the original condition, that you gave. In which the right hand side is fixed, and the left hand side converges to it.

— Aksakal
แหล่งที่มา

You could explain how you do the "re-arrangements". Like what properties you apply.

— mavavilj