วิธีทดสอบค่ามัธยฐานของประชากรได้อย่างไร

ฉันมีตัวอย่าง 250 หน่วย การกระจายไม่สมมาตร ฉันต้องการทดสอบสมมุติฐานว่าค่ามัธยฐานของประชากรแตกต่างจาก 3.5 ดังนั้นฉันคิดว่าการทดสอบตัวอย่างหนึ่งรายการจะเหมาะสม ฉันรู้ว่าการทดสอบยศวิลคอกซันนั้นไม่เหมาะสมเพราะการแจกแจงนั้นไม่สมมาตร การทดสอบเครื่องหมายเหมาะสมที่จะใช้หรือไม่? หากไม่มีใครสามารถแนะนำการทดสอบอื่น ๆ ได้?

สรุป

จำนวนของข้อมูลเกินมีการกระจายทวินามที่มีความน่าจะเป็นที่ไม่รู้จักหน้าใช้นี้เพื่อดำเนินการทดสอบทวินามของกับทางเลือก1/2$3.5$$p$$p=1/2$$p\ne 1/2$

ส่วนที่เหลือของโพสต์นี้จะอธิบายรูปแบบพื้นฐานและแสดงวิธีการคำนวณ มันมีRรหัสการทำงานเพื่อดำเนินการพวกเขาออก บัญชีที่กว้างขวางของทฤษฎีการทดสอบสมมติฐานที่ให้ไว้ในคำตอบของฉัน "ความหมายของค่า p และค่า t ในการทดสอบทางสถิติคืออะไร? .

แบบจำลองทางสถิติ

สมมติว่าค่ามีความหลากหลายพอสมควร (มีความสัมพันธ์ไม่กี่ตัวที่ ) จากนั้นภายใต้สมมติฐานว่างของคุณค่าสุ่มใด ๆ ที่สุ่มมีโอกาสมากกว่า (ตั้งแต่มีลักษณะเป็นค่ากลางของประชากร) . สมมติทั้งหมดค่าสุ่มและเป็นอิสระตัวอย่างจำนวนของพวกเขาเกินจึงจะมีทวินามการจัดจำหน่าย ขอให้เราโทรไปยังหมายเลขนี้ "นับ" k$3.5$$1/2=50\%$$3.5$$3.5$$250$$3.5$$(250,1/2)$$k$

ในทางตรงกันข้ามถ้าแตกต่างจากประชากรเฉลี่ยโอกาสของค่าสุ่มเกินจะแตกต่างจาก1/2นี่คือสมมติฐานทางเลือก$3.5$$3.5$$1/2$

การค้นหาแบบทดสอบที่เหมาะสม

วิธีที่ดีที่สุดในการแยกแยะสถานการณ์ว่างเปล่าจากทางเลือกคือดูค่าที่มีแนวโน้มมากที่สุดภายใต้ null และมีโอกาสน้อยกว่าภายใต้ทางเลือก เหล่านี้เป็นค่าที่อยู่ใกล้ของเท่ากับ125ดังนั้นภูมิภาคที่สำคัญสำหรับการทดสอบของคุณประกอบด้วยค่าค่อนข้างห่างไกลจาก : ใกล้กับหรือใกล้เคียงกับ250แต่ไกลจากพวกเขาจะต้องเป็นหลักฐานสำคัญว่าไม่ใช่ประชากรเฉลี่ย?$k$$1/2$$250$$125$$125$$0$$250$$125$$3.5$

ในขึ้นอยู่กับมาตรฐานของคุณมีความสำคัญ:นี้เรียกว่าขนาดการทดสอบมักจะเรียกว่า\ภายใต้สมมติฐานว่างควรมี - แต่ไม่เกิน - และมีโอกาสที่จะอยู่ในพื้นที่วิกฤติ$\alpha$$\alpha$$k$

ตามปกติแล้วเมื่อเราไม่มีอคติใด ๆ เกี่ยวกับตัวเลือกที่จะนำไปใช้ - ค่ามัธยฐานมากกว่าหรือน้อยกว่า - เราพยายามสร้างพื้นที่วิกฤตเพื่อให้มีโอกาสครึ่งหนึ่ง ,นั้นต่ำและ อีกครึ่ง ,นั้นสูง เนื่องจากเรารู้ว่าการกระจายตัวของภายใต้สมมติฐานว่างข้อมูลนี้เพียงพอที่จะกำหนดภูมิภาคที่สำคัญ$3.5$$\alpha/2$$k$$\alpha/2$$k$$k$

ในทางเทคนิคมีวิธีการทั่วไปสองวิธีในการคำนวณ: คำนวณความน่าจะเป็นแบบทวินามหรือประมาณพวกมันด้วยการแจกแจงแบบปกติ

การคำนวณด้วยความน่าจะเป็นทวินาม

ใช้ฟังก์ชันเปอร์เซ็นต์จุด (ควอนไทด์) ในRตัวอย่างนี้เรียกว่าqbinomและจะถูกเรียกเช่น

alpha <- 0.05 # Test size
c(qbinom(alpha/2, 250, 1/2)-1, qbinom(1-alpha/2, 250, 1/2)+1)

ผลลัพธ์สำหรับคือ$\alpha=0.05$

109 141

มันหมายความว่าพื้นที่ที่สำคัญประกอบด้วยค่าต่ำทั้งหมดของระหว่าง (และรวม)และร่วมกับทุกค่าสูงของระหว่าง (และรวม)และ250เพื่อเป็นการตรวจสอบเราสามารถขอให้คำนวณโอกาสที่อยู่ในภูมิภาคนั้นเมื่อค่า Null เป็นจริง:$k$$0$$109$$k$$141$$250$Rk

pbinom(109, 250, 1/2) + (1-pbinom(141-1, 250, 1/2))

เอาท์พุทเป็นมากใกล้กับ - แต่ไม่มากขึ้น than--ตัวเอง เนื่องจากพื้นที่วิกฤตต้องสิ้นสุดที่จำนวนเต็มจึงไม่สามารถทำการทดสอบขนาดจริงนี้ได้เท่ากับขนาดการทดสอบเล็กน้อยแต่ในกรณีนี้ค่าทั้งสองจะใกล้เคียงกันมาก$0.0497$$\alpha$$\alpha$

การคำนวณด้วยการประมาณปกติ

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบทวินามคือและความแปรปรวนคือทำให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากับ7.9 เราจะแทนที่การแจกแจงแบบทวินามด้วยการแจกแจงแบบปกติ การแจกแจงแบบปกติมาตรฐานมีของความน่าจะเป็นน้อยกว่าซึ่งคำนวณโดยคำสั่ง$(250, 1/2)$$250\times 1/2=125$$250\times 1/2\times (1-1/2) = 250/4$$\sqrt{250/4}\approx 7.9$$\alpha/2=0.05/2$$-1.95996$R

qnorm(alpha/2)

เพราะการแจกแจงปกติสมมาตรก็ยังมีของความน่าจะเป็นมากขึ้นกว่า1.95996ดังนั้นภูมิภาคที่สำคัญประกอบด้วยค่าที่มีมากขึ้นกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานห่างจาก125คำนวณเกณฑ์เหล่านี้พวกเขาเท่ากับ140.5 การคำนวณสามารถทำได้ในหนึ่งโฉบเช่น$0.05/2$$+1.95996$$k$$1.95996$$125$$125 \pm 7.9\times 1.96 \approx 109.5, 140.5$

250*1/2 + sqrt(250*1/2*(1-1/2)) * qnorm(alpha/2) * c(1,-1)

เนื่องจากต้องเป็นจำนวนเต็มเราจึงเห็นว่ามันจะตกอยู่ในภูมิภาควิกฤติเมื่อเป็นหรือน้อยกว่าหรือหรือมากกว่า คำตอบนี้เหมือนกับคำตอบที่ได้จากการคำนวณแบบทวินาม นี่เป็นกรณีปกติเมื่อใกล้มากกว่าหรือขนาดตัวอย่างอยู่ในระดับปานกลางถึงมาก (หลายสิบหรือมากกว่า) และไม่เล็กมาก (ไม่กี่เปอร์เซ็นต์)$k$$109$$141$$p$$1/2$$0$$1$$\alpha$

การทดสอบนี้เนื่องจากไม่มีข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับประชากร (ยกเว้นว่ามีความน่าจะเป็นไม่มากนักที่มุ่งเน้นที่ค่ามัธยฐานของมัน) จึงไม่มีประสิทธิภาพเท่ากับการทดสอบอื่น ๆ ที่มีสมมติฐานเฉพาะเกี่ยวกับประชากร หากการทดสอบยังคงปฏิเสธโมฆะก็ไม่จำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับการขาดพลังงาน มิฉะนั้นคุณต้องทำการแลกเปลี่ยนที่ละเอียดอ่อนบางอย่างระหว่างสิ่งที่คุณยินดีที่จะคิดและสิ่งที่คุณสามารถสรุปเกี่ยวกับประชากร