ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาด Type I และ II มีความสัมพันธ์เชิงลบหรือไม่?

11

ในสถิติประถมศึกษาชั้นเรียนที่ผมเป็น TA สำหรับศาสตราจารย์ระบุว่าเป็นความน่าจะเป็นของความผิดพลาดประเภทที่ฉันเพิ่มขึ้นน่าจะเป็นของชนิดที่สองข้อผิดพลาดลดลงและการสนทนาเป็นความจริงเช่นกัน ดังนั้นนี้แสดงให้เห็นว่าฉันว่า<0 $\alpha$ $\beta$ $\rho_{\alpha, \beta} < 0$

แต่เราจะพิสูจน์สิ่งนี้สำหรับการทดสอบสมมติฐานทั่วไปได้อย่างไร คำพูดนั้นเป็นจริงโดยทั่วไปหรือไม่?

ฉันสามารถลองใช้กรณีเฉพาะ (พูดและ ) แต่เห็นได้ชัดว่ามันไม่ธรรมดาพอที่จะตอบคำถามนี้ $H_0: \mu = \mu_0$ $H_1: \mu < \mu_0$

probability hypothesis-testing type-i-and-ii-errors

— clarinetist
แหล่งที่มา

13

ปริมาณเหล่านี้ (และ ) ไม่ใช่ตัวแปรสุ่มดังนั้นฉันลังเลที่จะพูดถึงความสัมพันธ์ของเพียร์สัน ฉันไม่แน่ใจในความหมายที่จะนำไปใช้ $\alpha$ $\beta$

ทั้งสองมีความสัมพันธ์เชิงลบในแง่ที่พูดโดยทั่วไป (แต่ดูด้านล่าง *) - และถือสิ่งอื่น ๆ (เช่นขนาดตัวอย่างและขนาดเอฟเฟกต์ที่คุณคำนวณ ) เท่ากับ - หากคุณเปลี่ยนแล้วจะย้ายไปในทิศทางตรงกันข้าม (โดยเฉพาะในสถานการณ์ทั่วไปคือฟังก์ชั่นของ ; ระบุปริมาณที่เพียงพอในการพิจารณาและมันจะขึ้นอยู่กับ - และความสัมพันธ์นั้นจะในสถานการณ์ที่เหมาะสมที่สุด - ชนิดของคุณ ต้องการใช้ในการทดสอบจริง - ขึ้นอยู่กับลบ) $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$

ลองพิจารณาตัวอย่างเช่นกราฟพลังงาน การเคลื่อนที่จะผลักดัน power curve ( ) ขึ้นหรือลงด้วยดังนั้นที่บางจุดบนโค้ง (ซึ่งคือระยะห่างระหว่างเส้นโค้งและ 1) ลดลงเมื่อเพิ่มขึ้น นี่คือตัวอย่างของการทดสอบสองด้าน (พูดการทดสอบ t) $\alpha$ $1-\beta$ $\beta$ $\alpha$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

กรณีที่มีด้านเดียวคล้ายกัน แต่คุณจะมุ่งเน้นไปที่ครึ่งขวาของภาพด้านบน (เส้นโค้งสองเส้นในครึ่งซ้ายของรูปภาพจะก้มลงไปที่ศูนย์)

* มีบางสถานการณ์ที่ไม่จำเป็นต้องเป็นอย่างนั้น พิจารณาการทดสอบเครื่องแบบ (0,1) ผ่านการทดสอบ Kolmogorov-Smirnov

ลองพิจารณาความเป็นไปได้ที่เรามีเครื่องแบบ (หรือการกระจายใด ๆ ที่มีความน่าจะเป็นบางอย่างอยู่นอกช่วงหน่วย) $(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

หากฉันสังเกตเห็นค่าที่ไม่ได้อยู่ใน (0,1) การทดสอบ Kolmogorov-Smirnov ไม่จำเป็นต้องปฏิเสธค่าว่าง แต่ฉันสามารถทำการทดสอบครั้งที่สอง (ลองเรียกว่าการทดสอบ KS *) ซึ่งเหมือนกับ Kolmogorov-Smirnov ยกเว้นว่าเมื่อเราสังเกตค่านอก (0,1) เราก็ปฏิเสธว่าเป็นสถิติปกติหรือไม่ ถึงค่าวิกฤต

จากนั้นสำหรับทางเลือกใด ๆ ที่มีความน่าจะเป็นภายนอก (0,1) เราได้ลดอัตราความผิดพลาด Type II (จากนั้นสำหรับการทดสอบ KS ทั่วไป) โดยไม่เปลี่ยนเลย $\alpha$

$\dagger$ (โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่ความคิดที่ดีในการใช้ KS ในกรณีนั้นดังนั้นหากคุณรู้ว่าเป็นไปได้คุณต้องคิดอย่างรอบคอบเกี่ยวกับทางเลือกอื่น ๆ )

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

3

$X$ $f_0(x)$ $f_1(x)$ $H_0$ $H_1$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$ $\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$ $\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$ $H_i$ ฉันจากนั้นความน่าจะผิดพลาดของ Type I และ Type II คือ $X \in \Gamma_i$

\begin{aligned} (1) & P (Type I error) & = \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x \\ (2) & P (Type II error) & = \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x . \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$

Γ_{0}^{'}

$\Gamma_0^\prime$

Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1^\prime$

Γ_{1} \subset Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$

Γ_{0}^{'} \subset Γ_{0}

$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$

\int_{Γ_{1}^{'}} f_{0} (x) d x \geq \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x

$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$

\int_{Γ_{0}^{'}} f_{1} (x) d x \leq \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x

$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

1

$\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$

$\alpha$ $\beta$

— Cort Ammon
แหล่งที่มา

1

"ความสัมพันธ์เป็นเพียง" - ดูเหมือนว่าปลายหางของคำตอบของคุณถูกตัดออกไป?

— Silverfish