วิธีค้นหาเมื่อคือฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

ฉันจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร ฉันต้องการสมการระดับกลาง บางทีคำตอบคือ(x) $-tf(x)$

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

กล่าวคือและ $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

แหล่งที่มา: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40

ลองใช้สมการกลางด้านล่าง:

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— Hiroaki Machida
แหล่งที่มา

คุณหมายถึง ? บางทีหรือคุณหมายถึง ?

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

- t f (t) .

$-tf(t).$

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— Henry

ใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส

— Henry

พิจารณาดั้งเดิมของ , แล้วง่ายต่อการสืบหา

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— Stéphane Laurent

กรุณาเพิ่มself-studyแท็กและอ่านของวิกิพีเดียแท็ก

— Glen_b -Reinstate Monica

หากคุณกำลังศึกษาเพื่อทำการสอบการแก้ปัญหาทั้งหมดไม่ใช่สิ่งที่ต้องทำ คำถามศึกษาด้วยตนเองนั้นมีจุดประสงค์เพื่อให้บุคคลที่ถามคำถามนั้นจัดการเพื่อแก้ไขปัญหาด้วยตนเอง

— ซีอาน

คำตอบ:

ตามคำนิยามอนุพันธ์ ( ถ้ามี ) เป็นขีด จำกัด ของผลหารผลต่าง

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

เป็น0 $h\to 0$

สมมติ อย่างต่อเนื่องภายในช่วงเวลาสำหรับธุรกิจขนาดเล็กพอ ,ยังจะมีอย่างต่อเนื่องตลอดช่วงเวลานี้ แล้วค่าเฉลี่ยทฤษฎีบทอ้างมีบางระหว่างและที่ $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

ในฐานะที่เป็น , จำเป็น , และความต่อเนื่องของใกล้แล้วหมายถึงด้านซ้ายมือมีขีด จำกัด เท่ากับ(t) $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(เป็นการดีที่จะเห็นว่าการวิเคราะห์นี้ไม่จำเป็นต้องให้เหตุผลเกี่ยวกับการมีอยู่ของอินทิกรัลไม่เหมาะสม .) $\int_t^\infty x f(x) dx$

อย่างไรก็ตามแม้ในขณะที่การจัดจำหน่ายที่มีความหนาแน่น , ความหนาแน่นของที่ไม่จำเป็นต้องเป็นอย่างต่อเนื่อง ณ จุดที่ไม่ต่อเนื่องความฉลาดทางผลต่างจะมีขีด จำกัด ด้านซ้ายและขวาที่แตกต่างกัน: อนุพันธ์ไม่มีอยู่ $f$

นี่ไม่ใช่เรื่องที่สามารถถูกไล่ออกเนื่องจากเป็น "พยาธิวิทยา" ทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่ผู้ปฏิบัติสามารถเพิกเฉยได้ PDF ของการแจกแจงทั่วไปและมีประโยชน์มากมายมีจุดที่ไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่นการกระจายUniformมี PDF ที่ไม่ต่อเนื่องที่และ ; การแจกแจงแกมมามี PDF ที่ไม่ต่อเนื่องที่เมื่อ (ซึ่งรวมถึงการแจกแจงเลขชี้กำลังที่แพร่หลายและการบางส่วน); และอื่น ๆ ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่ยืนยันโดยไม่มีคุณสมบัติอย่างรอบคอบว่าคำตอบเป็นเพียง : นั่นจะเป็นความผิดพลาด $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ $-t f(t)$

— whuber
แหล่งที่มา

ภาคผนวกที่เล็กมาก: มีบางกรณีที่อินทิกรัลเปลี่ยนรูปได้แม้ว่าไม่ต่อเนื่อง ให้สำหรับและสำหรับและสำหรับ2 แล้วใกล้ 0,สำหรับคนและ 0 สำหรับซึ่งเป็นทำเลที่ดีเลิศอนุพันธ์ได้ที่ 0

f (x)

$f(x)$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \leq 0

$x\leq 0$

f (x) = 1

$f(x)=1$

0 < x < 1

$0<x<1$

f (x) = 0

$f(x)=0$

x \geq 2

$x\geq 2$

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$

x \geq 0

$x\geq 0$

x < 0

$x<0$

x = 0

$x=0$

— Alex R.

@ Alex ใกล้ ,ไม่2/2 พิจารณาทฤษฎีพื้นฐานของแคลคูลัส

0^{+}

$0^{+}$

F (x) = x

$F(x)=x$

x^{2} / 2

$x^2/2$

— whuber

ขอโทษสำหรับความสับสน! ฉันกำหนดTF

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$

— Alex R.

@Alex integrand ของคุณและอยู่ใกล้ศูนย์อย่างต่อเนื่องดังนั้นฉันจึงไม่สามารถดูตัวอย่างที่คุณนำเสนอหรือสิ่งที่มันแสดง

t f (t)

$tf(t)$

— whuber

รากศัพท์มหาราช (+1) - มันอาจจะมีมูลค่าอะไรที่ผลนี้เป็นกรณีของกฎหนึ่ง Leibniz

— เบ็น - คืนสถานะโมนิก้า

แก้ไข ...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

ขอบคุณทุกคน!!!

— Hiroaki Machida
แหล่งที่มา

อะไรคือฟังก์ชั่น? ทำไมอนุพันธ์ของเป็น 0

G (t)

$G(t)$

G (\infty)

$G(\infty)$

— Vladislavs Dovgalecs