วิธีการออกกำลังกาย 2.2a.16 ของ“ สถิติที่แข็งแกร่ง: วิธีการที่อยู่บนพื้นฐานของฟังก์ชั่นอิทธิพล”

ในหน้า 180 ของสถิติที่แข็งแกร่ง: วิธีการที่ขึ้นอยู่กับฟังก์ชั่นอิทธิพลหนึ่งพบคำถามต่อไปนี้:

16: แสดงว่าสำหรับประมาณค่าสถานที่ค่าคงที่เสมอ {2} ค้นหาขอบเขตบนที่สอดคล้องกันในจุดแยกตัวอย่าง จำกัดทั้งในกรณีที่เป็นเลขคี่หรือเป็นคู่ $\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$ $\varepsilon^*_n$ $n$ $n$

ส่วนที่สอง (หลังจากช่วงเวลา) เป็นเรื่องเล็กน้อย (ให้ไว้ก่อน) แต่ฉันไม่สามารถหาวิธีที่จะพิสูจน์ส่วนแรก (ประโยค) ของคำถาม

ในส่วนของหนังสือที่เกี่ยวข้องกับคำถามนี้พบ (p98):

คำจำกัดความ 2: จุดแตกหักตัวอย่าง จำกัดของตัวประมาณที่ตัวอย่างมอบให้โดย: $\varepsilon^*_n$ $T_n$ $(x_l,\ldots, x_n)$

$ε_{n}^{*} (T_{n}; x_{i}, \dots, x_{n}) := \frac{1}{n} max {m : max_{i_{1}, \dots, i_{m}} sup_{y_{1}, \dots, y_{m}} | T_{n} (z_{1}, \dots, z_{n}) | < \infty}$ $\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$
โดยที่ตัวอย่าง $(z_1,\ldots,z_n)$ ได้มาจากการแทนที่ $m$ data points $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ ด้วยค่าที่กำหนดเอง $y_1,\ldots,y_m.$

คำนิยามอย่างเป็นทางการของตัวมันเองทำงานเกือบหนึ่งหน้า แต่สามารถคิดได้ว่าเป็น แม้ว่าจะไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจน สามารถเดาได้ว่าตำแหน่งที่ไม่แปรเปลี่ยนหมายความว่าต้องเป็นไปตาม $\varepsilon^*$

ε^{*} = lim_{n \to \infty} ε_{n}^{*}

$\varepsilon^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon^*_n$

T_{n}

$T_n$

T_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = T_{n} (x_{1} + c, \dots, x_{n} + c), for all c \in R

$T_n(x_1,\ldots,x_n)= T_n(x_1+c,\ldots,x_n+c), \text{ for all } c\in \Bbb{R}$

ฉัน (ลอง) ตอบคำถามของ whuber ในความคิดเห็นด้านล่าง หนังสือกำหนดตัวประมาณเป็นหลายหน้าเริ่มต้นที่ p82 ฉันพยายามทำซ้ำส่วนหลัก (ฉันคิดว่ามันจะตอบคำถามของ whuber): $T_n$

สมมติว่าเรามีการสังเกตการณ์หนึ่งมิติซึ่งมีความเป็นอิสระและกระจายตัวเหมือนกัน (iid) การสังเกตเป็นของพื้นที่ตัวอย่างซึ่งเป็นส่วนย่อยของเส้นจริง (บ่อยครั้งที่เพียงแค่เท่ากับตัวเองดังนั้นการสังเกตอาจมีค่าใด ๆ ) แบบจำลองพารามิเตอร์ประกอบด้วยตระกูลการแจกแจงความน่าจะเป็นบนพื้นที่ตัวอย่างโดยที่พารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักเป็นของพื้นที่พารามิเตอร์บางตัว $(X_1,\ldots,X_n)$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $F_\theta$ $\theta$ $\Theta$

...

เราระบุตัวอย่างด้วยการแจกแจงเชิงประจักษ์โดยไม่สนใจลำดับของการสังเกต (ดังที่ทำเกือบทุกครั้ง) อย่างเป็นทางการมอบให้โดย ที่เป็นมวล 1 จุดในXในฐานะที่เป็นประมาณของเราจะพิจารณาสถิติจริงมูลค่า(G_n) ในความหมายที่กว้างขึ้นประมาณการสามารถดูเป็นลำดับของสถิติ หนึ่งสำหรับแต่ละที่เป็นไปได้ขนาดตัวอย่างnเป็นการดีที่การสังเกตการณ์เป็นไอดอลตามสมาชิกของโมเดลพาราเมทริก $(X_1,\ldots,X_n)$ $G_n$ $G_n$ $(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$ $\Delta_{X}$ $X$ $\theta$ $T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$ $\{T_n,n\geq 1\}$ $n$ $\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ แต่คลาส ของการแจกแจงความน่าจะเป็นไปได้ทั้งหมดใน มีขนาดใหญ่กว่ามาก $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

เราพิจารณาตัวประมาณซึ่งเป็นฟังก์ชัน [เช่น สำหรับและ ] หรือสามารถแทนที่ด้วยฟังก์ชันแบบเชิงเส้นกำกับ ซึ่งหมายความว่าเราคิดว่ามีการทำงาน [โดยที่โดเมนของคือชุดของการแจกแจงทั้งหมดซึ่ง กำหนด ] เช่นนั้น ในความน่าจะเป็นเมื่อการสังเกตการณ์ Iid ตามการแจกแจงจริงใน(T) เราบอกว่า $T_n(G_n)=T(G_n)$ $n$ $G_n$ $T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$ $T$ $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $T$
$T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) \underset{n \to \infty}{\to} T (G)$ $T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$ $G$ $\mbox{domain}(T)$ $T(G)$ เป็นค่า asymptotic ของ ที่G $\{T_n;n\geq 1\}$ $G$

...

ในบทนี้เรามักจะสันนิษฐานว่า functionals ภายใต้การศึกษาคือ Fisher สอดคล้องกัน (Kallianpur และ Rao, 1955): ซึ่งหมายความว่าที่ แบบจำลองตัวประมาณ วัดปริมาณที่เหมาะสม แนวคิดเรื่องความมั่นคงของชาวประมงเหมาะสมกว่าและสง่างามสำหรับฟังก์ชั่นมากกว่าความมั่นคงปกติหรือความไม่เอนเอียง
$T (F_{θ}) = θ for all θ \in Θ$ $T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$ $\{T_n;n\geq 1\}$

self-study robust

— user603
แหล่งที่มา

หนังสือเล่มนี้อธิบาย "ตัวประมาณค่า" อย่างไร มันดูเหมือนว่าฉันที่ใด ๆล้อมรอบประมาณต้องมีจุดสลายของดังนั้นแน่นอนมันคือการวางชนิดของข้อ จำกัด พิเศษในบาง ; และมีตัวประมาณค่าตำแหน่งคงที่เสมอ (จะรวมค่าคงที่)

T_{n}

$T_n$

1

$1$

T_{n}

$T_n$

— whuber

ขอบคุณสำหรับวัสดุที่ขยาย ดูเหมือนว่ายังมีตัวอย่างอยู่มากมาย หนึ่งง่ายๆคือคงประมาณการสำหรับครอบครัวหนึ่งพารามิเตอร์ของการแจกแจงปกติของความแปรปรวน1นี่เป็นตัวประมาณค่าความแปรปรวนของตำแหน่ง จุดสลายของมันคือ1มันเป็นฟิชเชอร์ที่สอดคล้องกัน (เล็กน้อย) แต่ฉันจำเป็นต้องตีความคำจำกัดความอย่างระมัดระวัง: " " ไม่สามารถอ้างถึงพารามิเตอร์ทั้งหมดได้อย่างถูกต้องเพราะตอนนี้ไม่มีตัวประมาณค่าคงที่ของตำแหน่งที่ไม่สอดคล้องกัน!

T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) = 1

$T_n(X_1,\ldots,X_n)=1$

1

$1$

1

$1$

θ

$\theta$

— whuber

@whuber: ขอบคุณฉันเข้าใจตัวอย่างเคาน์เตอร์ของคุณ ฉันคิดว่าฉันจะติดต่อผู้เขียนและขอข้อมูลเพิ่มเติม ...

— user603

หนังสือสถิติเก่าที่ใช้ "ค่าคงที่" ในวิธีที่แตกต่างกันเล็กน้อยกว่าหนึ่งอาจคาดหวัง; คำศัพท์ที่ไม่ชัดเจนยังคงมีอยู่ เทียบเท่าทันสมัยมากขึ้นคือ "equivariant" (ดูอ้างอิงในตอนท้ายของบทความนี้) ในบริบทปัจจุบันมันหมายถึง

T_{n} (X_{1} + c, X_{2} + c, \dots, X_{n} + c) = T_{n} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) + c

$T_n(X_1+c,X_2+c,\ldots,X_n+c) = T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) + c$

สำหรับจริงทั้งหมดค $c$

หากต้องการตอบคำถามสมมติว่ามีคุณสมบัติที่มีขนาดใหญ่พอจริงทั้งหมดและ , $T_n$ $n$ $c$ $m \le \varepsilon^{*}n$

| T_{n} (X + Y) - T_{n} (X) | = o (| c |)

$|T_n(\mathbf{X + Y}) - T_n(\mathbf{X})| = o(|c|)$

เมื่อใดก็ตามที่แตกต่างจากโดยมากที่สุดในพิกัดมากที่สุด $\mathbf Y$ $\mathbf{X}$ $c$ $m$

(นี่คือเงื่อนไขที่อ่อนแอกว่าที่คาดไว้ในคำจำกัดความของ breakdown bound ในความเป็นจริงสิ่งที่เราต้องสมมติคือเมื่อมีขนาดใหญ่พอการแสดงออก " " เป็นค่าที่รับประกันว่าจะน้อยกว่าขนาด 2) $n$ $o(|c|)$ $|c|/2$

การพิสูจน์นั้นเกิดจากความขัดแย้ง สมมติตามที่ว่านี้ยังเป็น equivariant และสมมติว่า1/2 จากนั้นสำหรับขนาดใหญ่พอ ,เป็นจำนวนเต็มซึ่งและ{*} สำหรับจำนวนจริงใด ๆกำหนด $T_n$ $\varepsilon^{*} \gt 1/2$ $n$ $m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$ $m(n)/n \le \varepsilon^{*}$ $(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$ $a,b$

t_{n} (a, b) = T_{n} (a, a, \dots, a, b, b, \dots, b)

$t_n(a, b) = T_n(a, a, \ldots, a,\ b, b, \ldots, b)$

โดยที่มี 's และ ' s โดยการเปลี่ยนหรือน้อยกว่าของพิกัดเราสรุปทั้งคู่ $m(n)$ $a$ $n-m(n)$ $b$ $m(n)$

| t (a, b) - t (0, b) | = o (| a |)

$|t(a,b) - t(0,b)| = o(|a|)$

และ

| t (a, b) - t (a, 0) | = o (| b |) .

$|t(a,b) - t(a,0)| = o(|b|).$

สำหรับความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมยืนยัน $c\gt 0$

\begin{aligned} c = | t_{n} (c, c) - t_{n} (0, 0) | & \leq | t_{n} (c, c) - t_{n} (c, 0) | + | t_{n} (c, 0) - t_{n} (0, 0) | \\ = o (c) + o (c) \\ < c / 2 + c / 2 \\ = c \end{aligned}

$\eqalign{ c = |t_n(c, c) - t_n(0, 0)| &\le |t_n(c, c) - t_n(c, 0)| + |t_n(c, 0) - t_n(0,0)| \\&= o(c) + o(c) \\&\lt c/2 + c/2 \\ &= c}$

ความไม่เสมอภาคที่เข้มงวดในบรรทัดสุดท้ายจะมั่นใจขนาดใหญ่พอสำหรับnความขัดแย้งที่มันบอกเป็นนัย, , พิสูจน์ $n$ $c \lt c$ $\varepsilon^{*} \le 1/2.$

อ้างอิง

EL มาห์ทฤษฎีการประเมินจุด John Wiley 1983

ในข้อความ (บทที่ 3 ส่วนที่ 1) และเชิงอรรถประกอบ Lehmann เขียน

เครื่องมือประมาณพอใจสำหรับทั้งหมดจะถูกเรียกว่าequivariant ... $\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$ $a$

ผู้เขียนบางคนเรียกตัวประมาณว่า "ค่าคงที่" ตั้งแต่นี้แสดงให้เห็นว่าประมาณการยังคงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ดูเหมือนว่าดีกว่าที่จะขอสงวนคำว่าสำหรับฟังก์ชั่นความพึงพอใจของสำหรับทุกเป็น $X_i^\prime = X_i+a$ $u(x+a)=u(x)$ $x,a$

— whuber
แหล่งที่มา

ใช่ฉันได้ติดต่อผู้เขียนหลักของหนังสือเมื่อวานนี้ด้วยคำถามเดียวกันเกี่ยวกับคำจำกัดความที่แท้จริงของการแปรปรวนที่ใช้ (ฉันดูในดัชนีและฉันไม่สามารถหาได้ชัดเจนในหนังสือ) ฉันลงคะแนนเพราะฉันคิดว่าคำตอบของคุณเป็นคำตอบที่ถูกต้อง แต่จะให้เวลาผู้เขียนสองสามวันเพื่อให้แน่ใจก่อนที่จะยอมรับ

— user603

ฉันไม่ได้รับคำตอบจากผู้เขียน แต่ข้อโต้แย้งที่นำเสนอข้างต้น (ในคำตอบและความคิดเห็น) ทำให้ฉันเชื่อว่านี่จะต้องเป็นการตีความที่ถูกต้องของปัญหา

— user603