ความคาดหวังของสินค้าที่มีการสั่งซื้อสูงกว่าของการแจกแจงแบบปกติ

ฉันมีสองกระจายตามปกติตัวแปรและกับศูนย์ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเมทริกซ์\ฉันสนใจในการพยายามที่จะคำนวณค่าของในแง่ของรายการของ\ $X_1$ $X_2$ $\Sigma$ $E[X_1^2 X_2^2]$ $\Sigma$

ฉันใช้กฎความน่าจะเป็นทั้งหมดเพื่อให้ได้ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่คาดหวังภายในจะลดลง มีวิธีอื่นที่นี่หรือไม่ $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

ขอบคุณ

แก้ไข:ตัวแปรยังกระจายหลายตัวแปรตามปกติ

normal-distribution conditional-expectation

— AGK
แหล่งที่มา

Doและเพลิดเพลินกับbivariateกระจายปกติยัง? (เพียงแค่บอกว่าและเป็นเรื่องปกติกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมนั้นยังไม่เพียงพอที่จะสรุปได้ว่าการกระจายข้อต่อเป็นปกติแบบไบวาเรต)

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Σ

$\Sigma$

— Dilip Sarwate

สำหรับแอปพลิเคชันเฉพาะที่ฉันมีอยู่ในใจและมีการแจกแจงปกติแบบ bivariate โดยทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางหลายตัวแปร ฉันลืมที่จะพูดถึงเรื่องนี้ในโพสต์ต้นฉบับของฉัน

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— AGK

@AGK หากคุณต้องการชี้แจงโพสต์ของคุณมีปุ่ม "แก้ไข" ที่ให้คุณทำการเปลี่ยนแปลงได้ ดีกว่าสำหรับผู้อ่านในอนาคตที่ไม่ต้องค้นหาข้อมูลสำคัญในความคิดเห็นใต้คำถาม

— Silverfish

ความคาดหวังอย่างชัดเจนเป็นสัดส่วนกับผลิตภัณฑ์ของปัจจัยขนาดยืด{22} คงสัดส่วนจะได้รับโดยมาตรฐานตัวแปรซึ่งจะช่วยลดเมทริกซ์ความสัมพันธ์ที่มีความสัมพันธ์{22}} $\sigma_{11}\sigma_{22}$ $\Sigma$ $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

สมมติว่ากฎเกณฑ์ bivariate นั้นเป็นไปตามการวิเคราะห์ที่https://stats.stackexchange.com/a/71303เราอาจเปลี่ยนตัวแปรเป็น

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

โดยที่มีการแจกแจงแบบมาตรฐานแบบไม่มีเงื่อนไข (ไม่มีส่วนเกี่ยวข้อง) และเราต้องการเพียงการคำนวณ $(X,Y)$

E (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

เมื่อค่าที่แน่นอนของค่าคงที่ไม่สำคัญ (คือส่วนที่เหลือเมื่อถอยเทียบกับ ) การใช้ความคาดหวังที่ไม่แปรเปลี่ยนสำหรับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน $c$ $Y$ $X_2$ $X_1$

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

และสังเกตว่าและมีความเป็นอิสระอัตราผลตอบแทน $X$ $Y$

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

ทวีคูณสิ่งนี้โดยให้ $\sigma_{11}\sigma_{22}$

E (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

วิธีเดียวกันนี้ใช้กับการค้นหาความคาดหวังของพหุนามใด ๆ ใน เพราะมันจะกลายเป็นพหุนามในและ ว่าเมื่อขยายเป็นพหุนามในอิสระตัวแปรกระจายตามปกติและYจาก $(X_1,X_2)$ $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ $X$ $Y$

E (X^{2 k}) = E (Y^{2 k}) = \frac{(2 k)!}{k! 2^{k}} = π^{- 1 / 2} 2^{k} Γ (k + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

สำหรับ integral (ด้วยช่วงเวลาแปลก ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์โดยสมมาตร) เราอาจได้รับ $k\ge 0$

E (X_{1}^{2 p} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- p - q} \sum_{i = 0}^{q} ρ^{2 i} (1 - ρ^{2})^{q - i} \frac{(2 p + 2 i)!}{(2 i)! (p + i)! (q - i)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(พร้อมความคาดหวังอื่น ๆ ของ monomials เท่ากับศูนย์) นี่เป็นสัดส่วนกับฟังก์ชัน hypergeometric (เกือบตามคำนิยาม: กิจวัตรที่เกี่ยวข้องไม่ลึกหรือให้คำแนะนำ)

\frac{1}{π} 2^{p + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (p + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (p + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

ฟังก์ชั่น hypergeometric คูณถูกมองว่าเป็นการแก้ไขที่ไม่ใช่ศูนย์สำหรับ multiplicative $\left(1-\rho ^2\right)^q$ $\rho$ .

— whuber
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบอย่างละเอียด! ฉันกำลังคิดถึงคำถามที่เกี่ยวข้องกับพหุนามอื่น ๆ ดังนั้นนี่จึงเป็นกรอบการทำงานที่เป็นประโยชน์จริงๆ เป็นการเปลี่ยนแปลงที่ฉลาดมากที่ฉันไม่เคยเห็นมาก่อน เย็น!

— AGK

เพื่อช่วยในการตรวจสอบของคุณฉันได้ให้รายละเอียดสำหรับชื่อพหุนามทั่วไป ฉันรู้สึกขบขันเมื่อแรกเริ่มเขียนคำตอบนี้เพื่อให้ตระหนักว่าฉันได้เรียนรู้การเปลี่ยนแปลงนี้จากตำราสถิติเบื้องต้นโดย Friedman, Pisani และ Purves: เราสอนสิ่งนี้ให้กับนักศึกษาวิทยาลัย!

— whuber