วิธีการคำนวณฟังก์ชั่นความน่าจะเป็น

อายุการใช้งาน 3 ส่วนอิเล็กทรอนิกส์และ2.1 ตัวแปรสุ่มได้รับการจำลองเป็นตัวอย่างที่สุ่มจากขนาด 3 จากการกระจายชี้แจงกับพารามิเตอร์\ฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือสำหรับ $X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$ $X_{3} = 2.1$ $\theta$ $\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ ที่ $x = (2, 1.5, 2.1)$ 2.1)

จากนั้นปัญหาจะดำเนินการเพื่อกำหนด MLE โดยการค้นหาค่าของ $\theta$ ที่เพิ่ม $log f_{3}(x|\theta)$ สูงสุด คำถามของฉันคือฉันจะกำหนดหน้าที่ความน่าจะเป็นได้อย่างไร ฉันค้นหาไฟล์ PDF ของการแจกแจงเอ็กซ์โปเนนเชียล แต่มันแตกต่างกัน ฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นนั้นมอบให้กับฉันเสมอในปัญหาหรือไม่? หรือฉันต้องตัดสินใจเอง ถ้าเป็นเช่นนั้นได้อย่างไร

distributions maximum-likelihood exponential

— เอเดรีย
แหล่งที่มา

เหตุใดคุณจึงต้องการประเมินความน่าจะเป็นด้วยการสังเกตเพียง 3 ครั้ง ค่าประมาณที่คุณได้รับสำหรับจะมีอคติและมีความแปรปรวนจำนวนมาก มันเป็น HW หรือเปล่า?

θ

$\theta$

— Zachary Blumenfeld

คุณรู้หรือไม่ว่าคำจำกัดความของความน่าจะเป็นคืออะไร?

— Glen_b -Reinstate Monica

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวอย่างคือความหนาแน่นร่วมของตัวแปรสุ่มที่เกี่ยวข้อง แต่ถูกมองว่าเป็นฟังก์ชั่นของพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักที่ให้ตัวอย่างเฉพาะของการรับรู้จากตัวแปรสุ่มเหล่านี้

ในกรณีของคุณปรากฏว่าข้อสันนิษฐานที่นี่คืออายุการใช้งานของส่วนประกอบอิเล็กทรอนิกส์เหล่านี้แต่ละรายการดังต่อไปนี้ (นั่นคือมีการแจกแจงส่วนเพิ่ม) การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลพร้อมพารามิเตอร์อัตราเดียวกันและ PDF ส่วนขอบคือ: $\theta$

ฉ_{X_{ผม}} (x_{ผม} | θ) = θ {อี}^{- θ x_{ผม}}, ผม = 1, 2, 3

$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$

นอกจากนี้ยังปรากฏว่าชีวิตของแต่ละองค์ประกอบเป็นอิสระอย่างเต็มที่จากชีวิตของผู้อื่น ในกรณีเช่นนี้ฟังก์ชันความหนาแน่นของรอยต่อคือผลผลิตของความหนาแน่นทั้งสาม

ฉ_{X 1, X 2, X 3} (x_{1}, x_{2}, x_{3} | θ) = θ {อี}^{- θ x_{1}} \cdot θ {อี}^{- θ x_{2}} \cdot θ {อี}^{- θ x_{3}} = θ^{3} \cdot ประสบการณ์ {- θ Σ_{ผม = 1}^{3} x_{ผม}}

$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

ที่จะเปิดนี้เป็นฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นของกลุ่มตัวอย่างที่เราดูว่ามันเป็นหน้าที่ของรับตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงของ 's $\theta$ $x_i$

L (θ | {x_{1}, x_{2}, x_{3}}) = θ^{3} \cdot ประสบการณ์ {- θ Σ_{ผม = 1}^{3} x_{ผม}}

$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

มีการเปลี่ยนแปลงเฉพาะทางด้านซ้ายเพื่อระบุว่าอะไรคือตัวแปรของฟังก์ชั่น ในกรณีของคุณตัวอย่างที่มีอยู่เป็นสามช่วงชีวิตที่สังเกตและอื่น ๆ6.6 โอกาสนั้นก็คือ $\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$ $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$

L (θ | {x_{1} = 3, x_{2} = 1.5, x_{3} = 2.1}) = θ^{3} \cdot ประสบการณ์ {- 6.6 θ}

$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งในโอกาสที่คุณได้รับตัวอย่างที่มีอยู่นั้นได้ถูกแทรกเข้าไปแล้ว สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเช่นเรามักจะ "หยุด" ที่การแสดงเชิงทฤษฎีของความน่าจะเป็นสำหรับทั่วไปแล้วเราจะได้รับเงื่อนไขสำหรับการขยายใหญ่สุดด้วยความเคารพและจากนั้นเราเสียบเข้ากับเงื่อนไขสูงสุด ตัวอย่างของ -values เพื่อที่จะได้รับการประมาณการที่เฉพาะเจาะจงสำหรับ\ $x_i$ $\theta$ $x$ $\theta$

แม้ว่าการยอมรับความเป็นไปได้เช่นนี้อาจทำให้ความจริงชัดเจนมากขึ้นว่าสิ่งที่สำคัญสำหรับการอนุมาน (สำหรับสมมติฐานการกระจายแบบเจาะจง) คือผลรวมของการรับรู้และไม่ใช่คุณค่าของแต่ละคน: โอกาสที่สูงกว่าไม่ใช่ "ตัวอย่าง -specific "แต่ค่อนข้าง" sum-of-realizations-specific ": ถ้าเราได้รับตัวอย่างอื่น ๆซึ่งผลรวมขององค์ประกอบนั้นอีกเราจะได้รับการประมาณเดียวกันสำหรับ (นี่คือสิ่งที่สำคัญ มันหมายความว่าจะบอกว่าเป็นสถิติ "เพียงพอ" - มันมีข้อมูลทั้งหมดที่ตัวอย่างสามารถให้สำหรับการอนุมานภายใต้สมมติฐานการกระจายที่เฉพาะเจาะจง) $n=3$ $6.6$ $\theta$ $\sum x$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา