สมมติฐานว่างของ MANOVA คืออะไร

พื้นหลัง

เพื่อวิเคราะห์ความแตกต่างในตัวแปรต่อเนื่องระหว่างกลุ่มต่าง ๆ (ที่กำหนดโดยตัวแปรเด็ดขาด) เราสามารถทำการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียวได้ หากมีตัวแปรอธิบาย (หมวดหมู่) หลายตัวแปรหนึ่งสามารถดำเนินการ ANOVA แบบแฟคทอเรียล หากต้องการวิเคราะห์ความแตกต่างระหว่างกลุ่มในตัวแปรต่อเนื่องหลายตัว (เช่นตัวแปรตอบสนองหลายตัว) กลุ่มหนึ่งจะต้องทำการวิเคราะห์ความแปรปรวนหลายตัวแปร (MANOVA)

คำถาม

ฉันแทบจะไม่เข้าใจว่าคน ๆ หนึ่งสามารถทำการทดสอบแบบ ANOVA ได้อย่างไรในตัวแปรตอบสนองหลายอย่างและที่สำคัญกว่านั้นฉันไม่เข้าใจว่าสมมติฐานว่างอาจเป็นเช่นไร เป็นสมมติฐานว่าง:

"สำหรับตัวแปรตอบกลับแต่ละค่าหมายความว่าทุกกลุ่มมีค่าเท่ากัน",

หรือมันคือ

"สำหรับตัวแปรตอบกลับอย่างน้อยหนึ่งค่าหมายความว่าทุกกลุ่มมีค่าเท่ากัน",

หรือเป็นอย่างอื่น? $H_0$

hypothesis-testing anova manova

— Remi.b
แหล่งที่มา

ฉันบอกไม่ได้คุณกำลังถามว่า ANOVA ทำงานอย่างไร ในบริบทของการอภิปรายว่าข้อผิดพลาดมาตรฐานคืออะไรฉันจะอธิบายแนวคิดพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลัง ANOVA ที่นี่: ข้อผิดพลาดมาตรฐานทำงานอย่างไร

— gung - Reinstate Monica

ทั้งสองคำสั่งของคุณ H0ของ MANOVA คือว่ามีความแตกต่างในไม่มีพื้นที่หลายตัวแปร กรณีหลายตัวแปรมีความซับซ้อนมากกว่า univariate มากเพราะเราต้องจัดการกับความแปรปรวนร่วมไม่ใช่แค่ความแปรปรวน มีหลายวิธีในการกำหนดH0-H1สมมติฐานใน MANOVA อ่าน Wikipedia

— ttnphns

@ttnphns: ทำไมล่ะ ของ ANOVA คือว่าวิธีการของทุกกลุ่มมีค่าเท่ากัน ของ MANOVA คือว่าวิธีการหลายตัวแปรทุกกลุ่มมีค่าเท่ากัน นี่คือทางเลือกที่ 1 ใน OP Covariances เป็นต้นเข้าสู่ข้อสมมติฐานและการคำนวณของ MANOVA ไม่ใช่ข้อสมมติฐานว่าง

H_{0}

$H_0$

H_{0}

$H_0$

— อะมีบา

@amoeba For each response variableผมไม่ชอบ สำหรับฉันดูเหมือนว่า (หรือฉันอ่านมันในฐานะ) "การทดสอบเสร็จสิ้นโดยไม่ตั้งใจในแต่ละ" (จากนั้นก็รวมกัน)

— ttnphns

คำตอบ:

สมมติฐานของการวิเคราะห์ความแปรปรวนแบบทางเดียวคือค่าเฉลี่ยของทุกกลุ่มมีค่าเท่ากัน:สมมติฐานของ MANOVA แบบทางเดียวคือ [หลายตัวแปร] ทุกกลุ่มมีค่าเท่ากัน:นี้จะเทียบเท่ากับบอกว่าหมายถึงการมีความเท่าเทียมกันสำหรับตัวแปรตอบสนองแต่ละคือตัวเลือกแรกของคุณถูกต้อง $H_0$

H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = . . . = μ_{k} .

$H_0: \mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_k.$

H_{0}

$H_0$

H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = . . . = μ_{k} .

$H_0: \boldsymbol \mu_1 = \boldsymbol \mu_2 = ... = \boldsymbol \mu_k.$

ในทั้งสองกรณีสมมติฐานทางเลือกคือการปฏิเสธค่าว่าง ในทั้งสองกรณีสมมติฐานคือ (a) การแจกแจงแบบเกาส์ภายในกลุ่มและ (b) ความแปรปรวนที่เท่ากัน (สำหรับ ANOVA) / เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม (สำหรับ MANOVA) ข้ามกลุ่ม $H_1$

ความแตกต่างระหว่าง MANOVA และ ANOVAs

สิ่งนี้อาจดูสับสนเล็กน้อย: สมมติฐานว่างของ MANOVA นั้นเหมือนกับการรวมกันของสมมติฐานว่างสำหรับการรวบรวม ANOVAs แบบ univariate แต่ในเวลาเดียวกันเรารู้ว่าการทำ MANOVA นั้นไม่เทียบเท่ากับการทำ ANOVA แบบ univariate แต่อย่างใด " การรวม "ผลลัพธ์ (อย่างใดอย่างหนึ่งอาจเกิดขึ้นกับหลายวิธีของการรวม) ทำไมจะไม่ล่ะ?

คำตอบก็คือการรัน ANOVAs ที่ไม่แปรเปลี่ยนทั้งหมดแม้ว่าจะทดสอบสมมติฐานว่างเดียวกันก็จะมีพลังน้อยลง ดูคำตอบของฉันที่นี่เพื่อเป็นตัวอย่าง: MANOVA จะรายงานความแตกต่างที่สำคัญได้อย่างไรเมื่อไม่มี ANOVA ที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ถึงความสำคัญ วิธีการไร้เดียงสาของ "การรวมกัน" (ปฏิเสธโมฆะโลกถ้าอย่างน้อยหนึ่ง ANOVA ปฏิเสธโมฆะ) ก็จะนำไปสู่อัตราเงินเฟ้อที่ผิดพลาดประเภท 1 แต่แม้ว่าจะเลือกวิธีการ "รวม" อย่างชาญฉลาดเพื่อรักษาอัตราความผิดพลาดที่ถูกต้อง แต่ก็จะสูญเสียพลังงาน

การทดสอบทำงานอย่างไร

ANOVA สลายตัวยอดรวมของสี่เหลี่ยมขึ้นระหว่างกลุ่ม sum-of-สี่เหลี่ยมและอยู่ในกลุ่ม sum-of-สี่เหลี่ยมเพื่อให้ W จากนั้นจะคำนวณอัตราส่วน W ภายใต้สมมติฐานว่างอัตราส่วนนี้ควรมีขนาดเล็ก (ประมาณ ) เราสามารถคำนวณการกระจายตัวของอัตราส่วนนี้อย่างถูกต้องภายใต้สมมติฐานว่าง (ขึ้นอยู่กับและจำนวนกลุ่ม) การเปรียบเทียบค่าที่สังเกตได้กับการแจกแจงนี้ให้ผลเป็นค่า p $T$ $B$ $W$ $T=B+W$ $B/W$ $1$ $n$ $B/W$

MANOVA สลายตัวกระจายรวมเมทริกซ์ขึ้นระหว่างกลุ่มที่กระจายเมทริกซ์และอยู่ในกลุ่มที่กระจายเมทริกซ์เพื่อให้W จากนั้นจะคำนวณเมทริกซ์B ภายใต้สมมติฐานว่าง, เมทริกซ์นี้ควร "เล็ก" (ประมาณ ); แต่จะหาปริมาณได้อย่างไรว่า "เล็ก" มันคืออะไร? MANOVA ดูที่ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้ (พวกมันเป็นค่าบวก) อีกครั้งภายใต้สมมติฐานว่างค่าลักษณะเฉพาะเหล่านี้ควรเป็น "เล็ก" (ประมาณ $\mathbf T$ $\mathbf B$ $\mathbf W$ $\mathbf T = \mathbf B + \mathbf W$ $\mathbf W^{-1} \mathbf B$ $\mathbf{I}$ $\lambda_i$ $1$ ) แต่ในการคำนวณค่า p เราจำเป็นต้องมีหมายเลขหนึ่ง (เรียกว่า "สถิติ") เพื่อที่จะสามารถเปรียบเทียบกับการแจกแจงที่คาดหวังภายใต้ null มีหลายวิธีที่จะทำ: ใช้ผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมด ; ใช้ค่าลักษณะเฉพาะสูงสุดฯลฯ ในแต่ละกรณีตัวเลขนี้จะถูกนำไปเปรียบเทียบกับการกระจายของปริมาณนี้ที่คาดหวังภายใต้ค่า Null ซึ่งส่งผลให้ค่า p $\sum \lambda_i$ $\max\{\lambda_i\}$

ตัวเลือกที่แตกต่างกันของสถิติการทดสอบนำไปสู่ค่า p ที่แตกต่างกันเล็กน้อย แต่สิ่งสำคัญคือต้องตระหนักว่าในแต่ละกรณีจะมีการทดสอบสมมติฐานว่างเดียวกัน

— อะมีบา
แหล่งที่มา

นอกจากนี้หากคุณไม่ถูกต้องสำหรับการทดสอบหลายครั้งวิธีการที่ไม่รวมตัวแปรทั้งหมดจะทำให้เกิดอัตราเงินเฟ้อประเภทที่ 1 ที่ผิดพลาดเช่นกัน

— gung - Reinstate Monica

@gung: ใช่ว่าเป็นจริงเช่นกัน อย่างไรก็ตามหนึ่งสามารถฉลาดในการ "รวม" มากกว่าเพียงแค่ปฏิเสธโมฆะทันทีที่อย่างน้อยหนึ่ง ANOVAs ปฏิเสธโมฆะ ประเด็นของฉันก็คือว่าอย่างไรก็ตามคนฉลาดพยายามที่จะอยู่ใน "การรวม" หนึ่งจะยังคงอยู่ในอำนาจเมื่อเทียบกับ MANOVA (แม้ว่าจะจัดการเพื่อรักษาขนาดของการทดสอบโดยไม่ขยายอัตราข้อผิดพลาด)

— อะมีบา

แต่ตอนนี้ไม่ใช่ "อำนาจ" ที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับแนวคิดเรื่องความแปรปรวนร่วมหรือไม่? คุณธรรมคือการทดสอบแบบ univariate เราจะทดสอบเฉพาะผลกระทบเล็กน้อยซึ่งเป็นSSdifference/SSerrorแบบสเกลาร์ ใน MANOVA ผลหลายตัวแปรคือSSCPerror^(-1)SSCPdifferenceเมทริกซ์ (ผลรวมโควาเรียและภายในกลุ่ม) แต่เนื่องจากมีค่าลักษณะเฉพาะหลายอย่างในนั้นซึ่งอาจเป็น "รวมกัน" ไม่ได้อยู่ในลักษณะเดียวในสถิติการทดสอบสมมติฐานทางเลือกที่เป็นไปได้หลายประการมีอยู่ พลังมากขึ้น - ความซับซ้อนทางทฤษฎีมากขึ้น

— ttnphns

@ttnphns ใช่สิ่งนี้ถูกต้องทั้งหมด แต่ฉันคิดว่าจะไม่เปลี่ยนความจริงที่ว่าสมมติฐานว่างเป็นสิ่งที่ฉันเขียนมันคือ (และนั่นคือสิ่งที่เป็นคำถามเกี่ยวกับ) ไม่ว่าจะใช้สถิติการทดสอบใด (Wilks / Roy / Pillai-Bartlett / Lawley-Hotelling) พวกเขาพยายามทดสอบสมมติฐานว่าง ฉันอาจขยายคำตอบของฉันในภายหลังเพื่ออภิปรายรายละเอียดเพิ่มเติม

— อะมีบา

@ gung ขอให้ฉันพูดสอด (ไม่แน่ใจว่าทำไม ... ฉันสอน MANOVA เมื่อประมาณ 7 ปีที่แล้วและไม่เคยสมัครเลย) - ฉันจะบอกว่าอะมีบาถูกต้องในการพูดว่านั้นเป็นการลบล้างซึ่งเป็น -dimensional hyperspace ในมิติพื้นที่ของพารามิเตอร์ (ถ้าเป็นมิติที่ไม่มีใครใส่ใจกำหนดไว้) . และเป็นตัวเลือกที่ 1 กำหนดโดย OP ตัวเลือก 2 นั้นยากต่อการทดสอบอย่างมาก

H_{1}

$H_1$

H_{0} : μ_{group 1} = \dots = μ_{group k}

$H_0: \mu_{\mbox{group }1} = \ldots = \mu_{\mbox{group }k}$

p

$p$

k p

$kp$

p

$p$

— StasK

มันเป็นอดีต

อย่างไรก็ตามวิธีที่มันไม่ได้เป็นอย่างแท้จริงในการเปรียบเทียบความหมายของตัวแปรดั้งเดิมแต่ละตัวในทางกลับกัน แต่ตัวแปรการตอบสนองจะกลายเป็นเส้นตรงในลักษณะที่คล้ายกับการวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก (มีเธรดที่ยอดเยี่ยมบน PCA ที่นี่: ทำให้รู้สึกถึงการวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก, eigenvectors & eigenvalues ) ความแตกต่างคือ PCA orients แกนของคุณเพื่อให้สอดคล้องกับทิศทางของการเปลี่ยนแปลงมากที่สุดในขณะที่ MANOVA หมุนแกนของคุณในทิศทางที่ เพิ่มการแยกกลุ่มของคุณให้มากที่สุด

เพื่อความชัดเจนแม้ว่าจะไม่มีการทดสอบใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับ MANOVA กำลังทดสอบวิธีการหนึ่งในอีกแง่มุมหนึ่งโดยตรงด้วยวิธีการในพื้นที่ดั้งเดิมหรือในพื้นที่ที่ถูกเปลี่ยนรูป มีสถิติการทดสอบที่แตกต่างกันหลายอย่างซึ่งแต่ละงานมีวิธีที่แตกต่างกันเล็กน้อยอย่างไรก็ตามพวกเขามีแนวโน้มที่จะดำเนินการผ่านค่าลักษณะเฉพาะของการสลายตัวที่เปลี่ยนพื้นที่ แต่เท่าที่ธรรมชาติของสมมติฐานว่างจะเป็นไปได้นั่นหมายความว่าทุกกลุ่มทุกกลุ่มมีความเหมือนกันในแต่ละตัวแปรตอบสนองไม่ใช่ว่าพวกเขาจะสามารถแตกต่างกันในตัวแปรบางตัว แต่จะเหมือนกันอย่างน้อยหนึ่งตัว

— gung - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

Ooh ... ดังนั้น Manova จึงทำการวิเคราะห์แยกแยะเชิงเส้น (เพื่อเพิ่มระยะห่างระหว่างค่าเฉลี่ยของกลุ่ม) และจากนั้นมันจะเรียกใช้ anova มาตรฐานโดยใช้แกนแรกเป็นตัวแปรตอบสนอง? ดังนั้นจึงเป็น "วิธีการ - ในแง่ของ PC1 - ของทุกกลุ่มเหมือนกัน" นั่นถูกต้องใช่ไหม?

H o

$Ho$

— Remi.b

มีการทดสอบที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันหลายอย่าง การทดสอบเฉพาะแกนที่ 1 โดยใช้รูทที่ใหญ่ที่สุดของ Roy เป็นการทดสอบของคุณ นี่จะเป็นการทดสอบที่ทรงพลังที่สุด แต่ก็มีข้อ จำกัด มากกว่า ฉันรวบรวมมีการสนทนาอย่างต่อเนื่องซึ่งการทดสอบที่ดีที่สุด

— gung - Reinstate Monica

ฉันเดาว่าเราใช้ MANOVA มากกว่า ANOVA หลายอันเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาการทดสอบหลายอย่าง แต่ถ้าด้วยการทำ MANOVA เราเพียงแค่สร้าง ANOVA บน PC1 ของLDRแล้วเรายังคงมีปัญหาการทดสอบหลายอย่างที่ต้องพิจารณาเมื่อดู Pvalue ถูกต้องหรือไม่ (หวังว่าเหมาะสมแล้วฉันลบความคิดเห็นที่ไม่ชัดเจนก่อนหน้านี้)

— Remi.b

นั่นคือจุดที่ชาญฉลาด แต่มีสองประเด็น: 1) แกนอยู่ในขณะนี้มุมฉากและสามารถเปลี่ยนปัญหาด้วยการทดสอบหลายครั้ง; 2) การแจกแจงตัวอย่างของสถิติการทดสอบ MANOVA คำนึงถึงหลายแกน

— gung - Reinstate Monica

@ Remi.b: นี่เป็นคำถามที่ดี แต่เพื่อให้ชัดเจน: MANOVA นั้นไม่เทียบเท่า ANOVA สำหรับแกนที่แยกแยะคนแรกของ LDA! ดูที่นี่สำหรับความสัมพันธ์ระหว่าง MANOVA และ LDA: MANOVA เกี่ยวข้องกับ LDA อย่างไร

— อะมีบา