การกระจายตัวที่อธิบายความแตกต่างระหว่างตัวแปรกระจายแบบทวินามลบ

การกระจาย Skellamอธิบายความแตกต่างระหว่างสองตัวแปรที่มีการแจกแจงปัวส์ซอง มีการแจกแจงแบบเดียวกันที่อธิบายความแตกต่างระหว่างตัวแปรที่ตามหลังการแจกแจงทวินามลบหรือไม่

ข้อมูลของฉันผลิตโดยกระบวนการปัวซง แต่รวมถึงเสียงรบกวนในปริมาณที่เหมาะสม ดังนั้นการสร้างแบบจำลองข้อมูลด้วยการแจกแจงลบทวินาม (NB) จึงทำงานได้ดี ถ้าฉันต้องการจำลองความแตกต่างระหว่างชุดข้อมูล NB สองชุดตัวเลือกของฉันคืออะไร หากช่วยได้ให้ถือว่าวิธีการและความแปรปรวนที่คล้ายกันสำหรับทั้งสองชุด

ฉันไม่รู้ชื่อของการกระจายตัวนี้ แต่คุณสามารถได้มาจากกฎความน่าจะเป็นทั้งหมด สมมติว่าแต่ละคนมีการแจกแจงแบบทวินามลบด้วยพารามิเตอร์( r 1 , p 1 )และ( r 2 , p 2 )ตามลำดับ ฉันใช้การกำหนดพารามิเตอร์โดยที่X , Yแสดงถึงจำนวนความสำเร็จก่อนที่ความล้มเหลวของr 1 'และr 2 ' ตามลำดับ จากนั้น$X, Y$$(r_{1}, p_{1})$$(r_{2}, p_{2})$$X,Y$$r_{1}$$r_{2}$

$$P(X - Y = k) = E_{Y} \Big( P(X-Y = k) \Big) = E_{Y} \Big( P(X = k+Y) \Big) = \sum_{y=0}^{\infty} P(Y=y)P(X = k+y)$$

พวกเรารู้

$$P(X = k + y) = {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

และ

$$P(Y = y) = {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y}$$

ดังนั้น

$$P(X-Y=k) = \sum_{y=0}^{\infty} {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y} \cdot {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

นั่นไม่ได้สวย (yikes!) ความเรียบง่ายอย่างเดียวที่ฉันเห็นทันทีคือ

$$p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} {y+r_{2}-1 \choose y} {k+y+r_{1}-1 \choose k+y}$$

which is still pretty ugly. I'm not sure if this is helpful but this can also be re-written as

$$\frac{ p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} }{ (r_{1}-1)! (r_{2}-1)! } \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} \frac{ (y+r_{2}-1)! (k+y+r_{1}-1)! }{y! (k+y)! }$$

I'm not sure if there is a simplified expression for this sum but it could be approximated numerically if you only need it to calculate $p$-values

I verified with simulation that the above calculation is correct. Here is a crude R function to calculate this mass function and carry out a few simulations

  f = function(k,r1,r2,p1,p2,UB)  
  {

  S=0
  const = (p1^k) * ((1-p1)^r1) * ((1-p2)^r2)
  const = const/( factorial(r1-1) * factorial(r2-1) ) 

  for(y in 0:UB)
  {
     iy = ((p1*p2)^y) * factorial(y+r2-1)*factorial(k+y+r1-1)
     iy = iy/( factorial(y)*factorial(y+k) )
     S = S + iy
  }

  return(S*const)
  }

 ### Sims
 r1 = 6; r2 = 4; 
 p1 = .7; p2 = .53; 
 X = rnbinom(1e5,r1,p1)
 Y = rnbinom(1e5,r2,p2)
 mean( (X-Y) == 2 ) 
 [1] 0.08508
 f(2,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.08509068
 mean( (X-Y) == 1 ) 
 [1] 0.11581
 f(1,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1162279
 mean( (X-Y) == 0 ) 
 [1] 0.13888
 f(0,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1363209

I've found the sum converges very quickly for all of the values I tried, so setting UB higher than 10 or so is not necessary. Note that R's built in rnbinom function parameterizes the negative binomial in terms of the number of failures before the $r$'th success, in which case you'd need to replace all of the $p_{1}, p_{2}$'s in the above formulas with $1-p_{1}, 1-p_{2}$ for compatibility.

Yes. skewed generalized discrete Laplace distribution is the difference of two negative binomial distributed random variables. For more clarifications refer the online available article "skewed generalized discrete Laplace distribution" by seetha Lekshmi.V. and simi sebastian