ถ้า X / Y มีการแจกแจงแบบเดียวกับ Z จริงหรือไม่ที่ X มีการแจกแจงแบบเดียวกับ YZ?

ให้ X, Y และ Z เป็นสามตัวแปรสุ่มอิสระ ถ้า X / Y มีการแจกแจงแบบเดียวกับ Z จริงหรือไม่ที่ X มีการแจกแจงแบบเดียวกับ YZ?

probability ratio

ไม่พิจารณากรณีของและเป็นมาตรฐานปกติและเป็นตัวแปรสุ่ม Cauchy มาตรฐาน (โดยทั้งสามมีความเป็นอิสระตามหลักฐานของคำถาม) เป็นที่ทราบกันดีว่ามีการแจกแจงแบบมาตรฐาน Cauchy (เหมือนกับของ ) แต่ไม่มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน (เนื่องจากไม่มีอยู่จริง) ดังนั้นคุณจำเป็นต้องมีข้อ จำกัด เพิ่มเติมเกี่ยวกับ (เทียบกับคำตอบของ Silverfish) เพื่อให้มีความหวังในการหาตัวอย่างที่ผลลัพธ์อาจมีอยู่

X

$X$

Y

$Y$

Z

$Z$

X / Y

$X/Y$

Z

$Z$

Y Z

$YZ$

E [Y Z]

$E[YZ]$

X, Y, Z

$X, Y, Z$

— Dilip Sarwate

@Dilip ฉันถือว่าการใช้เป็นตัวอย่างของฉัน แต่เบือนหน้ามันเพราะฉันไม่สามารถคิดคำอธิบายสั้น ๆ ว่าทำไมจึงไม่มีตัวตน หากคุณมีข้อโต้แย้งที่เรียบร้อยคุณควรโพสต์มันเป็นคำตอบที่ฉันคิดว่า (อย่างที่คุณสามารถบอกได้ว่าฉันค่อนข้างหลีกเลี่ยงศูนย์และอินฟินิตี้ในคำตอบของฉันดังนั้นฉันกระตือรือร้นที่จะหลีกเลี่ยงบางสิ่งที่ไม่ได้ไม่มีที่สิ้นสุด!)

E [Y Z]

$E[YZ]$

— Silverfish

@Dilip ตั้งแต่

Z

$Z$ Cauchy เป็นเช่นนั้น

E [Z]

$E[Z]$ ไม่มีอยู่ดูเหมือนว่าเงื่อนไขจะไม่เป็นไปตามที่ฉันคาดหวัง

E [Y Z]

$E[YZ]$ . สำหรับการเปรียบเทียบ: ถ้า

Z

$Z$ คือ Cauchy และ

Y

$Y$ มีการกระจายความเสื่อม

P (Y = 0) = 1

$P(Y=0)=1$ จากนั้นมันจะปรากฏขึ้น

E [Y Z]

$E[YZ]$ มีอยู่ (และเท่ากับศูนย์) แม้ว่า

E [Z]

$E[Z]$ ไม่

— Silverfish

หนึ่งในตัวอย่างที่เป็นไปได้ที่ง่ายและอาจเป็นไปได้คือการยอมให้

X = 1

$X=1$ และ

Y

$Y$ มีการกระจายที่มีโอกาสที่จะไม่เข้ามา

{- 1, 0, 1, \pm \infty}

$\{-1,0,1,\pm\infty\}$ (ตั้งแต่

\pm 1

$\pm 1$ เป็นจุดคงที่ของ

y \to 1 / y

$y\to 1/y$ และ

0, \infty,

$0,\infty,$ และ

- \infty

$-\infty$ เป็นปัญหาในคำจำกัดความของ

X / Y

$X/Y$ ในกรณีใด ๆ ) แล้วก็

Y Z

$YZ$ เห็นได้ชัดว่าไม่คงที่ในขณะที่

X

$X$ คือ.

— whuber

@Silverfish

E [Y Z]

$E[YZ]$ ถูกกำหนดเฉพาะในกรณีที่

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$ มี จำกัด แต่,

E [| Y Z |] = E [| Y | \cdot | Z |] = E [| Y |] E [| Z |]

$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$ ตั้งแต่

| Y |

$|Y|$ และ

| Z |

$|Z|$ เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ แต่ตั้งแต่

E [| Z |]

$E[|Z|]$ ไม่แน่นอนและ

E [| Y |] > 0

$E[|Y|]>0$ เราสรุปได้ว่า

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$ ไม่ จำกัด (ไม่มีปัญหาเกี่ยวกับมูลค่าของ

0 \times \infty

$0\times\infty$ ) ดังนั้น

E [Y Z]

$E[YZ]$ ไม่ได้ถูกกำหนด (หรือไม่มีอยู่) ในขณะที่

E [X]

$E[X]$ มีอยู่จริงและมีคุณค่าอย่างแน่นอน

0

$0$ .

— Dilip Sarwate

มันสามารถเกิดขึ้นได้ ตัวอย่างเช่นถ้า $X$ , $Y$ และ $Z$ เป็นตัวแปรRademacherอิสระเช่นพวกเขาสามารถเป็น 1 หรือ -1 ที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน ในกรณีนี้ $X/Y$ ยังเป็น Rademacher อีกด้วยดังนั้นจึงมีการแจกจ่ายเช่นเดียวกับ $Z$ ในขณะที่ $YZ$ เป็น Rademacher ดังนั้นจึงมีการกระจายเช่นเดียวกับ $X$ .

แต่มันจะไม่เกิดขึ้นโดยทั่วไป ตราบใดที่มีวิธีการอยู่เงื่อนไขที่จำเป็น (แต่ไม่เพียงพอ) สำหรับ $X/Y$ ที่จะมีการกระจายเช่นเดียวกับ $Z$ , และสำหรับ $YZ$ ที่จะมีการกระจายเช่นเดียวกับ $X$ , อยากจะเป็น:

E (Z) = E (X Y^{- 1}) = E (X) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$

E (X) = E (Y Z) = E (Y) E (Z)

$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$

ความเท่าเทียมกันครั้งที่สองตามมาด้วยความเป็นอิสระ การทดแทนให้:

E (Z) = E (Y) E (Z) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$

ถ้า $\mathbb{E}(Z) \neq 0$ แล้วก็ $1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$ หรือเท่ากันตราบใดที่ $\mathbb{E}(Y) \neq 0$ ,

E (Y^{- 1}) = \frac{1}{E (Y)}

$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$

สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป ตัวอย่างเช่นให้ $Y$ เป็นตัวแปรBernouilli ที่แปลซึ่งใช้ค่า $1$ หรือ $2$ ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากันดังนั้น $\mathbb{E}(Y)=1.5$ . แล้วก็ $Y^{-1}$ ใช้ค่า $1$ หรือ $0.5$ ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากันดังนั้น $\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$ . (ฉันปล่อยให้จินตนาการของผู้อ่านว่าจะต้องใช้เอฟเฟ็กต์ Bernouilli ที่ไม่แปลโดยไม่มีการแปลหรือจะแปลเพียงเล็กน้อยเท่านั้นดังนั้นจึงใกล้เคียงกับ 0 ด้วยความน่าจะเป็นครึ่งหนึ่งโปรดทราบว่าในตัวอย่าง Rademacher ไม่มีปัญหาที่นี่เพราะความคาดหวังทั้งสามนั้นเป็นศูนย์โปรดทราบเพิ่มเติมว่าเงื่อนไขนี้ไม่เพียงพอ

เราสามารถสำรวจวิธีนี้ $Y$ ล้มเหลวโดยการสร้างตัวอย่างที่ชัดเจนมากขึ้น เพื่อให้เข้าใจง่าย $X$ เป็น Bernouilli ที่ปรับขนาดและรับค่า $0$ หรือ $2$ ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน แล้วก็ $X/Y$ เป็นทั้ง $0/1$ , $0/2$ , $2/1$ หรือ $2/2$ ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน มันชัดเจนว่า $P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$ , $P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$ และ $P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$ . ปล่อย $Z$ เป็นตัวแปรอิสระที่ดึงมาจากการแจกแจงแบบเดียวกัน การกระจายตัวของคืออะไร $YZ$ ? มันเหมือนกับการกระจายของ $X$ ? เราไม่จำเป็นต้องคำนวณการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบเต็มเพื่อดูว่ามันเป็นไปไม่ได้ มันพอเพียงที่จะจำ $X$ อาจเป็นศูนย์หรือสองในขณะที่ $YZ$ สามารถรับค่าใด ๆ ที่คุณจะได้รับจากการคูณหนึ่งใน $\{1,2\}$ โดยหนึ่งใน $\{0,1,2\}$ .

หากคุณต้องการคุณธรรมสำหรับนิทานนี้ให้ลองเล่นกับตัวแปร Bernouilli ที่ปรับขนาดและแปลแล้ว (ซึ่งรวมถึงตัวแปร Rademacher) พวกเขาสามารถเป็นวิธีที่ง่ายในการสร้างตัวอย่าง - และตัวอย่าง มันช่วยให้มีค่าน้อยลงในการสนับสนุนเพื่อให้การแจกแจงฟังก์ชันต่าง ๆ ของตัวแปรสามารถทำได้โดยง่าย

มากยิ่งขึ้นเราสามารถพิจารณาตัวแปรเสื่อมซึ่งมีเพียงค่าเดียวในการสนับสนุนของพวกเขา ถ้า $X$ และ $Y$ เสื่อมโทรม (กับ $Y\neq 0$ ) จากนั้น $Z=X/Y$ จะเกินไปและดังนั้นการกระจายของ $YZ$ จะตรงกับค่าของ $Z$ . เช่นเดียวกับตัวอย่าง Rademacher ของฉันนั่นเป็นสถานการณ์ที่แสดงให้เห็นว่าคุณสามารถปฏิบัติตามเงื่อนไขได้ ถ้าเป็นเช่นนั้น @whuber แนะนำในความคิดเห็นเราให้ $X$ เสื่อมทรามด้วย $P(X=1)$ แต่อนุญาต $Y$ เพื่อเปลี่ยนแปลงจากนั้นการสร้างตัวอย่างที่เรียบง่ายยิ่งขึ้นนั้นง่ายมาก ถ้า $Y$ สามารถใช้สองค่า จำกัด ไม่ใช่ค่าศูนย์ - $a$ และ $b$ แล้วพูดด้วยความน่าจะเป็นบวก $X/Y$ และด้วยเหตุนี้ $Z$ สามารถรับค่า $a^{-1}$ และ $b^{-1}$ . ตอนนี้ $YZ$ ดังนั้นจึงมี $ab^{-1} \neq 1$ ในการสนับสนุนดังนั้นจึงไม่สามารถติดตามการกระจายเดียวกันกับ $X$ . นี่คล้ายกับ แต่ง่ายกว่าอาร์กิวเมนต์ของฉันที่การสนับสนุนไม่สามารถจับคู่ในตัวอย่างเดิมของฉันได้

— สีเงิน
แหล่งที่มา

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$ สมมติว่า

Pr (Y > 0) = 1

$\Pr(Y > 0) = 1$ . จากนั้นตั้งแต่

1 / x

$1/x$ เป็นฟังก์ชั่นนูนบน

(0, \infty)

$(0, \infty)$ ความไม่เท่าเทียมของเจนเซ่นบอกเราว่าสภาพนั้น

E Y = E \frac{1}{Y}

$\E Y = \E \frac{1}{Y}$ ถือถ้าเท่านั้น

Y

$Y$ เสื่อมโทรม เช่นเดียวกับถ้า

Pr (Y < 0) = 1

$\Pr(Y < 0) = 1$ ในกรณีที่ 1 / x เป็นเว้า ดังนั้นถ้า

Y

$Y$ เป็นของสัญญาณคงที่ แต่ไม่เสื่อมสภาพเงื่อนไขที่จำเป็นไม่สามารถถือ

— Dougal

@Dougal ขอบคุณที่พูดถึงเรื่องนี้ เมื่อเขียนขึ้นฉันคิดเกี่ยวกับมัน แต่รู้สึกว่าการพูดคุยของสัญญาณ ฯลฯ จะทำลายการไหล ฉันคิดว่าเพียงแค่พูดว่า "เห็นความไม่เท่าเทียมของ Jensen" และเพิ่ม Wikipedia หรือลิงค์ที่คล้ายกัน แต่แล้วก็ตัดสินใจว่าไม่ใช่ความคิดที่ดีเพราะฉันไม่ได้เตรียมการล่วงหน้าโดยเงื่อนไขนูนที่ฉันพยายามหลีกเลี่ยง แต่ฉันกลับมาดูว่ามีบางแห่ง (อาจจะเป็นเธรด CV) ที่ความคาดหวังของฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่เชิงเส้นของ RV ถูกกล่าวถึงโดยทั่วไปซึ่งจะนำผู้อ่านอยากรู้อยากเห็นไปที่เซ่น แต่โดยธรรมชาติแล้ว ฉันยังชอบ

— Silverfish

@Dougal นี่คือหนึ่งในช่วงเวลาที่มีการปะทะกันระหว่างตัวอย่างง่ายๆที่เรียบง่าย - สิ่งที่คำนวณได้ง่ายมากดังนั้นคนที่ทำงานภายใต้ความเข้าใจผิดสามารถเห็นได้ทันทีว่ามันเป็นไปไม่ได้หรือไม่ถูกต้อง - และการรักษาทั่วไปที่ละเอียดกว่า แสดงภายใต้เงื่อนไขที่สิ่งที่อาจมีอยู่จริง (แต่อาจยากเกินไปสำหรับผู้อ่านบางคนที่จะติดตามและทำให้พวกเขาเชื่อน้อยลง) เกี่ยวกับ RV

{1, 2}

$\{1,2\}$ แสดงให้เห็นถึงการเริ่มต้นว่าทำไม

E (1 / Y)

$E(1/Y)$ ไม่ได้ผลเหมือนกัน

E (a Y + b)

$E(aY+b)$ แต่เซ่นพูดมากขึ้นเกี่ยวกับสาเหตุ!

— Silverfish

ใช่จุดดีแม้ว่าฉันอยากรู้เกี่ยวกับเงื่อนไขในเมื่อความสัมพันธ์ (ดูเหมือนเป็นธรรมชาติ) นี้สามารถถือซึ่งดูเหมือนจะค่อนข้าง จำกัด โปรดทราบว่าในความคิดเห็นของฉันด้านบนฉันเขียนผิดเงื่อนไข: แน่นอนควรเป็น

\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}

$\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$ .

— Dougal

@ ผิดกฎหมายฉันคิดว่านอกเหนือจากความเสื่อม RVs ความสัมพันธ์ดังกล่าวไม่ได้เป็น "ธรรมชาติ" ตามที่ปรากฏครั้งแรก พิจารณา

Z

$Z$ มีการกระจายแบบเดียวกับ

X + Y

$X+Y$ และ

Y

$Y$ มีการกระจายแบบเดียวกับ

Z - X

$Z-X$ และทั้งสามเป็นอิสระ ... อีกครั้งมันไม่ได้ถือโดยทั่วไป

— Silverfish