คำอธิบายอย่างง่ายของการลู่เข้าในการกระจายและการลู่เข้าในความน่าจะเป็น

อะไรคือความแตกต่างระหว่างสัญชาตญาณแบบสุ่มที่มาบรรจบกันของความน่าจะเป็นกับความแปรปรวนแบบสุ่มในการแจกแจง

ฉันได้อ่านคำจำกัดความและสมการทางคณิตศาสตร์มากมาย แต่นั่นไม่ได้ช่วยจริงๆ (โปรดทราบว่าฉันเป็นนักศึกษาระดับปริญญาตรีสาขาเศรษฐศาสตร์กำลังศึกษา)

ตัวแปรสุ่มสามารถรวมกันเป็นตัวเลขเดียวได้อย่างไร แต่ยังมาบรรจบกับการแจกแจงได้อย่างไร

ตัวเลขสุ่มสามารถรวมกันเป็นค่าคงที่ได้อย่างไร

สมมติว่าคุณมีลูกในกล่อง คุณสามารถเลือกพวกเขาทีละคน หลังจากที่คุณหยิบลูกฉันถามคุณ: น้ำหนักเฉลี่ยของลูกบอลในกล่องคืออะไร? คำตอบที่ดีที่สุดของคุณจะเป็นx_k คุณรู้ว่าตัวเองเป็นค่าสุ่มหรือไม่ มันขึ้นอยู่กับลูกแรกที่คุณเลือกN k ˉ x k = $N$$k$k ∑ k i = 1 xi ˉ x k$\bar x_k=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^kx_i$$\bar x_k$$k$

ตอนนี้ถ้าคุณให้ดึงลูกในบางจุดจะมีลูกไม่มีเหลืออยู่ในกล่องและคุณจะได้รับx_n$\bar x_N\equiv\mu$

ดังนั้นสิ่งที่เรามีคือลำดับสุ่มที่บรรจบกับค่าคงที่ . ดังนั้นกุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจปัญหาของคุณด้วยการบรรจบกันในความน่าจะเป็นที่ตระหนักว่าเรากำลังพูดถึงลำดับของตัวแปรสุ่มสร้างขึ้นในวิธีการบางอย่างˉ x 1,…, ˉ x k,…, ˉ x N, ˉ x N, ˉ x N,… ˉ x N=

ถัดไปให้ของได้รับการสุ่มตัวเลขชุดที่[0,1] ลองดูลำดับสุ่ม , ที่ขวา) เป็นค่าสุ่มเพราะเงื่อนไขทั้งหมดที่มีค่าแบบสุ่ม เราไม่สามารถคาดเดาได้ว่าจะเป็นอย่างไร แต่มันกลับกลายเป็นว่าเราสามารถอ้างว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของจะดูมากขึ้นเช่นมาตรฐานปกติ(0,1) นั่นคือวิธีที่การกระจายตัวมาบรรจบกันe 1 , e 2 , … e i ∈ [ 0 , 1 ] ξ 1 , ξ 2 , … ξ k = $e_1,e_2,\dots$$e_i\in [0,1]$$\xi_1,\xi_2,\dots$√k12 ∑ki=1(ei-12 )ξkξkξkN(0,1$\xi_k=\frac{1}{\sqrt{\frac{k}{12}}}\sum_{i=1}^k \left(e_i- \frac{1}{2} \right)$$\xi_k$$\xi_k$$\xi_k$$\mathcal{N}(0,1)$

ยังไม่ชัดเจนว่าผู้อ่านคำถามนี้อาจมีสัญชาตญาณอะไรเกี่ยวกับการรวมกันของสิ่งใดนับเป็นตัวแปรสุ่มเพียงอย่างเดียวดังนั้นฉันจะเขียนราวกับคำตอบคือ "น้อยมาก" บางสิ่งบางอย่างที่อาจช่วย: มากกว่าความคิด "วิธีที่สามารถบรรจบตัวแปรสุ่ม" ถามว่าลำดับของตัวแปรสุ่มสามารถมาบรรจบกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งมันไม่ได้เป็นเพียงตัวแปรเดียว แต่เป็นรายการตัวแปร (ยาวไม่ จำกัด !) และสิ่งที่ตามมาในรายการกำลังเข้าใกล้ ... บางสิ่งบางอย่าง บางทีอาจเป็นเลขตัวเดียวบางทีอาจเป็นการกระจายตัวทั้งหมด ในการพัฒนาสัญชาตญาณเราจำเป็นต้องหาความหมายของคำว่า เหตุผลที่มีโหมดการบรรจบกันมากมายสำหรับตัวแปรสุ่มก็คือมีหลายประเภท "

ก่อนอื่นให้สรุปการรวมกันของลำดับของจำนวนจริง ในเราสามารถใช้Euclidean distanceการวัดวิธีการปิดคือการYพิจารณา{n} จากนั้นลำดับเริ่มต้นที่และผมอ้างว่าลู่ไป1เห็นได้ชัดว่าจะได้รับใกล้ชิดเพื่อแต่ก็ยังมีความจริงที่ว่าจะได้รับใกล้ชิดกับR | x - y | x y x n = n + $\mathbb{R}$ $|x-y|$$x$$y$n =1+1n x1$x_n = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$x 2 ,x 3 , … 2 , $x_1, \, x_2, \, x_3, \dots$2 ,43 ,54 ,65 ,…xn1xn1xn0.90.50.910.90.050.9x20=1.050.0510.05$2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \frac{6}{5}, \dots$$x_n$$1$$x_n$$1$$x_n$$0.9$. ยกตัวอย่างเช่นจากระยะที่สามเป็นต้นไปเงื่อนไขในลำดับที่มีระยะห่างของหรือน้อยลงจาก0.9สิ่งที่สำคัญคือว่าพวกเขาจะได้รับโดยพลใกล้กับแต่ไม่ถึง0.9ไม่มีเงื่อนไขใดในลำดับที่อยู่ในช่วงจากให้อยู่คนเดียวอย่างใกล้ชิดว่าสำหรับเงื่อนไขที่ตามมา ในทางตรงกันข้ามดังนั้นเท่ากับจากและคำที่ตามมาทั้งหมดอยู่ภายในของดังที่แสดงด้านล่าง$0.5$$0.9$$1$$0.9$$0.05$$0.9$$x_{20}=1.05$$0.05$$1$$0.05$$1$

ฉันอาจเข้มงวดและมีข้อกำหนดให้ได้รับและอยู่ภายในจากและในตัวอย่างนี้ฉันพบว่านี่เป็นจริงสำหรับข้อกำหนดและต่อไป นอกจากนี้ผมสามารถเลือกใด ๆเกณฑ์คงที่ของความใกล้ชิดไม่ว่าวิธีการที่เข้มงวดไม่มี (ยกเว้นคือคำที่เป็นจริง ) และในที่สุดเงื่อนไขจะได้รับความพึงพอใจในทุก ๆ คำที่นอกเหนือจากเทอมที่กำหนด (เป็นสัญลักษณ์: สำหรับซึ่งค่าของขึ้นอยู่กับความเข้มงวดของ0.001 1 N = 1,000 ϵ ϵ = 0 1 | x n - x | < ϵ n > N N ϵ x n = 1 + sin ( n $0.001$$1$$N=1000$$\epsilon$$\epsilon = 0$$1$$|x_n - x| \lt \epsilon$$n \gt N$$N$$\epsilon$ฉันเลือก). สำหรับตัวอย่างที่มีความซับซ้อนมากขึ้นโปรดทราบว่าฉันไม่จำเป็นต้องสนใจในครั้งแรกที่มีการปฏิบัติตามเงื่อนไข - คำต่อไปอาจไม่ปฏิบัติตามเงื่อนไขและไม่เป็นไรตราบใดที่ฉันสามารถค้นหาคำเพิ่มเติมตามลำดับที่ เงื่อนไขที่จะพบและเข้าพักได้พบกับคำต่อมาทั้งหมด ฉันแสดงสิ่งนี้สำหรับซึ่งรวมกันเป็นด้วยแรเงาอีกครั้งn 1ϵ=$x_n = 1 + \frac{\sin(n)}{n}$$1$$\epsilon=0.05$

ตอนนี้พิจารณาและลำดับของตัวแปรสุ่มX นี่คือลำดับของ RVs ที่มี , ,และอื่น ๆ ในแง่ใดเราสามารถพูดได้ว่านี่กำลังเข้าใกล้ตัวขึ้น?X ∼ U ( 0 , 1 ) X n = ( 1 + $X \sim U(0,1)$n )XX1=2XX2=$X_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right) X$$X_1 = 2X$2 XX3=$X_2 = \frac{3}{2} X$3 X$X_3 = \frac{4}{3} X$$X$

เนื่องจากและคือการแจกแจงไม่ใช่แค่ตัวเลขเดี่ยวเงื่อนไขอยู่ในขณะนี้เหตุการณ์ : ถึงแม้จะเป็นคงที่และนี้อาจจะหรืออาจจะไม่เกิดขึ้น เมื่อพิจารณาถึงความน่าจะเป็นของการพบกันนั้นจะเป็นการรวมตัวกันของความน่าจะเป็น สำหรับเราต้องการความน่าจะเป็นเสริม - สังหรณ์ความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน (อย่างน้อย ) ถึง - ถึง มีขนาดเล็กโดยพลการ$X_n$$X$$|X_n - X| \lt \epsilon$$n$$\epsilon$$X_n \overset{p}{\to} X$$P(|X_n - X| \ge \epsilon)$$X_n$$\epsilon$$X$$n$ . สำหรับการแก้ไขนี้ก่อให้เกิดทั้งลำดับของความน่าจะเป็น , , , ,และถ้าลำดับของความน่าจะลู่ให้เป็นศูนย์ (ตามที่เกิดขึ้นในตัวอย่างของเรา) แล้วเราพูดลู่ในความน่าจะเป็นXโปรดทราบว่าขีด จำกัด ของความน่าจะเป็นมักจะมีค่าคงที่: ยกตัวอย่างเช่นในการถดถอยในเศรษฐเราจะเห็นในขณะที่เราเพิ่มขนาดของกลุ่มตัวอย่างnแต่ที่นี่$\epsilon$$P(|X_1 - X| \ge \epsilon)$$P(|X_2 - X| \ge \epsilon)$$P(|X_3 - X| \ge \epsilon)$$\dots$$X_n$$X$$\text{plim}(\hat \beta) = \beta$$n$$\text{plim}(X_n) = X \sim U(0,1)$. ได้อย่างมีประสิทธิภาพบรรจบกันในความน่าจะหมายความว่ามันไม่น่าที่และจะแตกต่างกันโดยมากในการก่อให้เกิดโดยเฉพาะอย่างยิ่ง - และฉันสามารถทำให้ความน่าจะเป็นของและเป็นมากไปกว่านอกเหนือขนาดเล็กที่สุดเท่าที่ผมชอบดังนั้นตราบใดที่ฉันเลือก ขนาดใหญ่พอn$X_n$$X$$X_n$$X$$\epsilon$$n$

ความรู้สึกที่แตกต่างกันซึ่งกลายเป็นใกล้ชิดกับมากขึ้นก็คือการแจกแจงของพวกเขามีลักษณะเหมือนกันมากขึ้นเรื่อย ๆ ฉันสามารถวัดสิ่งนี้ได้โดยการเปรียบเทียบ CDF ของพวกเขา โดยเฉพาะให้เลือกที่ต่อเนื่อง (ในตัวอย่างของเราดังนั้น CDF ของมันจะต่อเนื่องทุกหนทุกแห่งและใด ๆจะทำ) และประเมินค่า CDF ของลำดับที่นั่น นี้ผลิตลำดับอีกหนึ่งของความน่าจะเป็น , , ,และลำดับนี้ลู่ไปx) CDF ประเมินผลที่$X_n$$X$$x$$F_X(x) = P(X \leq x)$$X \sim U(0,1)$$x$$X_n$$P(X_1 \leq x)$$P(X_2 \leq x)$$P(X_3 \leq x)$$\dots$$P(X \leq x)$$x$สำหรับแต่ละกลายเป็นพลใกล้กับ CDF ของประเมินxหากผลนี้ถือเป็นจริงโดยไม่คำนึงถึงที่เราเลือกแล้วลู่ไปในการจัดจำหน่าย มันจะเปิดออกนี้เกิดขึ้นที่นี่และเราไม่ควรจะประหลาดใจตั้งแต่การบรรจบกันในความน่าจะเป็นหมายถึงการบรรจบกันในการกระจายไปยังXโปรดทราบว่ามันไม่สามารถเป็นกรณีที่ลู่เข้าหาความน่าจะเป็นกับการแจกแจงแบบไม่เสื่อมสลายใด ๆ โดยเฉพาะ แต่เป็นการรวมตัวในการกระจายตัวเป็นค่าคงที่$X_n$$X$$x$$x$$X_n$$X$ $X$$X$$X_n$ (ซึ่งอาจเป็นจุดของความสับสนในคำถามเดิมหรือไม่ แต่โปรดชี้แจงในภายหลัง)

ยกตัวอย่างเช่นที่แตกต่างกันให้{n}) ตอนนี้เรามีลำดับของ RVs, , , ,และเป็นที่ชัดเจนว่าการกระจายความน่าจะเป็นที่จะขัดขวางถดถอยที่ 1 ตอนนี้พิจารณาการกระจายเลวโดยที่ผมหมายถึง 1 มันง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับลำดับมาบรรจบกันเป็นศูนย์เพื่อให้เป็นในความน่าจะเป็น ดังนั้น$Y_n \sim U(1, \frac{n+1}{n})$$Y_1 \sim U(1,2)$$Y_2 \sim U(1,\frac{3}{2})$$Y_3 \sim U(1,\frac{4}{3})$$\dots$$y=1$$Y=1$$P(Y=1)=1$$\epsilon \gt 0$$P(|Y_n - Y| \ge \epsilon)$$Y_n$$Y$$Y_n$จะต้องมาบรรจบกับในการแจกซึ่งเราสามารถยืนยันได้โดยพิจารณาจาก CDF เนื่องจาก CDFของไม่ต่อเนื่องที่เราไม่จำเป็นต้องพิจารณา CDFs ที่ประเมินที่ค่านั้น แต่สำหรับ CDF ที่ประเมินที่อื่น ๆเราจะเห็นว่าลำดับ , , ,ลู่ไปซึ่งเป็นศูนย์สำหรับและสำหรับ1 เวลานี้เนื่องจากลำดับของ RVs แปรเปลี่ยนในความน่าจะเป็นเป็นค่าคงตัวมันจึงแปรสภาพในการกระจายไปยังค่าคงที่เช่นกัน$Y$$F_Y(y)$$Y$$y=1$$y$$P(Y_1 \leq y)$$P(Y_2 \leq y)$$P(Y_3 \leq y)$$\dots$$P(Y \leq y)$$y \lt 1$$y \gt 1$

บางคำอธิบายสุดท้าย:

• แม้ว่าการลู่เข้าในความน่าจะเป็นหมายถึงการลู่เข้าในการแจกแจง แต่การสนทนาโดยทั่วไปนั้นเป็นเท็จ เพียงเพราะตัวแปรสองตัวนั้นมีการแจกแจงแบบเดียวกันไม่ได้หมายความว่าพวกมันจะต้องอยู่ใกล้กัน สำหรับตัวอย่างที่น่ารำคาญใช้และ1-X จากนั้นและทั้งคู่จะมีการกระจายตัวที่เหมือนกันอย่างแน่นอน (มีโอกาส 50% เป็นศูนย์หรือหนึ่ง) และลำดับคือลำดับที่จะบรรจบกันเล็กน้อยในการกระจายไปยัง ( CDF ที่ตำแหน่งใด ๆ ในลำดับนั้นเหมือนกับ CDF ของ ) แต่และ$X\sim\text{Bernouilli}(0.5)$$Y=1-X$$X$$Y$$X_n=X$$X,X,X,X,\dots$$Y$$Y$$Y$$X$อยู่ห่างกันเสมอดังนั้นดังนั้นจึงไม่มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ดังนั้นจึงไม่ได้แปรสภาพเป็นในความน่าจะเป็น อย่างไรก็ตามหากมีการบรรจบกันในการกระจายไปยังค่าคงที่นั่นก็หมายถึงการลู่เข้าในความน่าจะเป็นกับค่าคงที่นั้น (โดยสังหรณ์ใจต่อไปในลำดับมันจะไม่น่าจะห่างไกลจากค่าคงที่นั้น)$P(|X_n - Y| \ge 0.5)=1$$X_n$$Y$
• เมื่อตัวอย่างของฉันชัดเจนความน่าจะเป็นที่การบรรจบกันอาจเป็นค่าคงที่ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็น การลู่เข้าในการแจกแจงอาจเป็นค่าคงที่ มันเป็นไปไม่ได้ที่จะมาบรรจบกันในความน่าจะเป็นเป็นค่าคงที่ แต่มาบรรจบกันในการกระจายไปสู่การแจกแจงแบบไม่เสื่อมโทรมหรือในทางกลับกัน
• เป็นไปได้หรือไม่ที่คุณเคยเห็นตัวอย่างที่คุณได้รับการบอกว่าลำดับแปรเปลี่ยนเป็นลำดับอีกครั้งหรือไม่? คุณอาจไม่ได้รู้ว่ามันเป็นลำดับ แต่ให้อยู่ห่างออกจะเป็นถ้ามันเป็นการกระจายที่ยังขึ้นอยู่กับnอาจเป็นได้ว่าทั้งสองลำดับมาบรรจบกันเป็นค่าคงที่ (เช่นการกระจายที่ลดลง) คำถามของคุณชี้ให้เห็นว่าคุณสงสัยว่าลำดับ RVs ใดที่สามารถรวมกันเป็นค่าคงที่และการกระจายได้ ฉันสงสัยว่านี่เป็นสถานการณ์ที่คุณกำลังอธิบาย$X_n$ $Y_n$$n$
• คำอธิบายปัจจุบันของฉันไม่ใช่ "ใช้งานง่าย" - ฉันตั้งใจจะสร้างกราฟิคสัญชาตญาณ แต่ยังไม่มีเวลาเพิ่มกราฟสำหรับ RVs เลย

ในใจของฉันคำตอบที่มีอยู่ทั้งหมดนำเสนอจุดที่มีประโยชน์ แต่พวกเขาไม่ได้ทำให้ความแตกต่างที่สำคัญชัดเจนระหว่างสองโหมดของการบรรจบกัน

ให้ ,และเป็นตัวแปรสุ่ม สำหรับสัญชาตญาณจินตนาการได้รับการกำหนดค่าโดยการทดลองแบบสุ่มที่เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยสำหรับแต่ละทำให้ลำดับสุ่มตัวแปรไม่มีที่สิ้นสุดและสมมติว่าได้รับค่าที่กำหนดโดยการทดลองแบบสุ่มอื่น ๆ$X_n$$n=1,2,\dots$$Y$$X_n$$n$$Y$

หากเรามีตามคำนิยามว่าความน่าจะเป็นของและแตกต่างจากกันโดยจำนวนเล็กน้อยโดยพลการเข้าหาศูนย์เป็นสำหรับจำนวนเล็กน้อยตามที่คุณ ชอบ. การพูดอย่างหลวม ๆ ในลำดับของเรามั่นใจว่าและจะใช้ค่าใกล้กันมาก$X_n\overset{p}{\to}Y$$Y$$X_n$$n\to\infty$$X_n$$X_n$$Y$

ในทางกลับกันถ้าเรามีเพียงการบรรจบกันในการกระจายและไม่บรรจบกันในความน่าจะเป็นแล้วเรารู้ว่าขนาดใหญ่ ,เกือบจะเป็นเช่นเดียวกับ , เกือบ ๆ . โปรดทราบว่านี่ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับการปิดค่าของและมีต่อกัน ตัวอย่างเช่นถ้าและทำให้นั้นมีการกระจายค่อนข้างมากเช่นนี้สำหรับมีขนาดใหญ่ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าสัญชาตญาณของค่าและ$n$$P(X_n\leq x)$$P(Y\leq x)$$x$$X_n$$Y$$Y\sim N(0, 10^{10})$$X_n$$n$$X_n$$Y$จะแตกต่างกันมากในการสังเกตใด ๆ ท้ายที่สุดหากไม่มีข้อ จำกัด นอกเหนือไปจากการบรรจบกันของการกระจายพวกเขาอาจดีมากสำหรับเหตุผลในทางปฏิบัติทั้งหมดที่เป็นอิสระจากตัวแปร$N(0,10^{10})$

(ในบางกรณีอาจไม่เหมาะสมที่จะเปรียบเทียบและบางทีพวกเขาอาจไม่ได้กำหนดไว้ในพื้นที่ความน่าจะเป็นแบบเดียวกันนี่เป็นหมายเหตุทางเทคนิคที่มากกว่า)$X_n$$Y$

สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจคือตัวแปรสุ่มสามารถรวมกันเป็นตัวเลขเดียวได้อย่างไร

หากคุณกำลังเรียนรู้เศรษฐมิติคุณอาจสงสัยเกี่ยวกับสิ่งนี้ในบริบทของแบบจำลองการถดถอย มันมาบรรจบกับการกระจายตัวที่แย่ลงเป็นค่าคงที่ แต่อย่างอื่นมีการกระจายที่ จำกัด ไม่เลว

$\hat{\beta}_n$ความน่าจะเป็นเป็นหากตรงตามสมมติฐานที่จำเป็น ซึ่งหมายความว่าโดยการเลือกขนาดตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่พอตัวประมาณจะใกล้เคียงกับที่เราต้องการพารามิเตอร์จริงโดยมีความเป็นไปได้ที่มันจะอยู่ห่างออกไปเล็กตามที่เราต้องการ หากคุณคิดว่าพล็อตกราฟแสดงความถี่ของต่างๆในที่สุดมันก็จะเป็นเพียงการขัดขวางศูนย์กลางใน\$\beta$$N$$\hat{\beta}_n$$n$$\beta$

มาบรรจบกันในแง่ใด นอกจากนี้ยังผสานเข้ากับค่าคงที่ ไม่ใช่ตัวแปรสุ่มแบบกระจายทั่วไป ถ้าคุณคำนวณความแปรปรวนของคุณเห็นว่ามันหดตัวกับnดังนั้นในที่สุดมันจะไปที่ศูนย์ในขนาดใหญ่พอที่ซึ่งเป็นสาเหตุที่ผู้ประเมินไปที่ค่าคงที่ การบรรจบกันของตัวแปรสุ่มแบบกระจายคืออะไร$\hat{\beta}_n$$\hat{\beta}_n$$n$$n$

$\sqrt{n}(\hat{\beta}_n - \beta)$เบต้า) ถ้าคุณใช้ความแปรปรวนของการที่คุณจะเห็นว่ามันไม่ได้หดตัว (หรือเติบโต) กับnในตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่มากจะมีค่าประมาณภายใต้สมมติฐานมาตรฐาน จากนั้นเราสามารถใช้การประมาณนี้เพื่อประมาณการกระจายตัวของในตัวอย่างขนาดใหญ่นั้น$n$$N(0, \sigma^2)$$\hat{\beta}_n$

แต่คุณคิดถูกว่าการ จำกัด การกระจายของนั้นคงที่เช่นกัน$\hat{\beta}_n$

ให้ฉันลองตอบสั้น ๆ โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ

การบรรจบกันของการกระจาย

ปล่อยให้สำหรับ n ทั้งหมดจากนั้นเป็นในการแจกแจง อย่างไรก็ตามการสุ่มในการรับรู้ของไม่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา หากเราต้องทำนายค่าของการคาดหวังข้อผิดพลาดของเราจะไม่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา$X_n \sim N\left(\frac{1}{n}, 1 \right)$$X_n$$X \sim N(0, 1)$$X_n$$X_n$

การลู่เข้าในความน่าจะเป็น

ตอนนี้ให้พิจารณาตัวแปรสุ่มY nที่รับค่า0ด้วยความน่าจะเป็น1 - $Y_n$$0$nและ1 เป็นอย่างอื่น ในฐานะที่เป็นnไปที่อินฟินิตี้เรามีมากขึ้นและแน่ใจมากขึ้นว่าYnจะเท่ากับ0 ดังนั้นเราพูดYnลู่ในความน่าจะเป็น0 โปรดทราบว่านี้หมายถึงYnลู่ในการกระจายไป0$1-\frac{1}{n}$$1$$n$$Y_n$$0$$Y_n$$0$$Y_n$$0$