ยังไม่ชัดเจนว่าผู้อ่านคำถามนี้อาจมีสัญชาตญาณอะไรเกี่ยวกับการรวมกันของสิ่งใดนับเป็นตัวแปรสุ่มเพียงอย่างเดียวดังนั้นฉันจะเขียนราวกับคำตอบคือ "น้อยมาก" บางสิ่งบางอย่างที่อาจช่วย: มากกว่าความคิด "วิธีที่สามารถบรรจบตัวแปรสุ่ม" ถามว่าลำดับของตัวแปรสุ่มสามารถมาบรรจบกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งมันไม่ได้เป็นเพียงตัวแปรเดียว แต่เป็นรายการตัวแปร (ยาวไม่ จำกัด !) และสิ่งที่ตามมาในรายการกำลังเข้าใกล้ ... บางสิ่งบางอย่าง บางทีอาจเป็นเลขตัวเดียวบางทีอาจเป็นการกระจายตัวทั้งหมด ในการพัฒนาสัญชาตญาณเราจำเป็นต้องหาความหมายของคำว่า เหตุผลที่มีโหมดการบรรจบกันมากมายสำหรับตัวแปรสุ่มก็คือมีหลายประเภท "
ก่อนอื่นให้สรุปการรวมกันของลำดับของจำนวนจริง ในเราสามารถใช้Euclidean distanceการวัดวิธีการปิดคือการYพิจารณา{n} จากนั้นลำดับเริ่มต้นที่และผมอ้างว่าลู่ไป1เห็นได้ชัดว่าจะได้รับใกล้ชิดเพื่อแต่ก็ยังมีความจริงที่ว่าจะได้รับใกล้ชิดกับR | x - y | x y x n = n + 1R |x−y|xyn =1+1n x1,xn=n+1n=1+1nx 2 ,x 3 , … 2 , 3x1,x2,x3,…2 ,43 ,54 ,65 ,…xn1xn1xn0.90.50.910.90.050.9x20=1.050.0510.0512,32,43,54,65,…xn1xn1xn0.9. ยกตัวอย่างเช่นจากระยะที่สามเป็นต้นไปเงื่อนไขในลำดับที่มีระยะห่างของหรือน้อยลงจาก0.9สิ่งที่สำคัญคือว่าพวกเขาจะได้รับโดยพลใกล้กับแต่ไม่ถึง0.9ไม่มีเงื่อนไขใดในลำดับที่อยู่ในช่วงจากให้อยู่คนเดียวอย่างใกล้ชิดว่าสำหรับเงื่อนไขที่ตามมา ในทางตรงกันข้ามดังนั้นเท่ากับจากและคำที่ตามมาทั้งหมดอยู่ภายในของดังที่แสดงด้านล่าง0.50.910.90.050.9x20=1.050.0510.051
ฉันอาจเข้มงวดและมีข้อกำหนดให้ได้รับและอยู่ภายในจากและในตัวอย่างนี้ฉันพบว่านี่เป็นจริงสำหรับข้อกำหนดและต่อไป นอกจากนี้ผมสามารถเลือกใด ๆเกณฑ์คงที่ของความใกล้ชิดไม่ว่าวิธีการที่เข้มงวดไม่มี (ยกเว้นคือคำที่เป็นจริง ) และในที่สุดเงื่อนไขจะได้รับความพึงพอใจในทุก ๆ คำที่นอกเหนือจากเทอมที่กำหนด (เป็นสัญลักษณ์: สำหรับซึ่งค่าของขึ้นอยู่กับความเข้มงวดของ0.001 1 N = 1,000 ϵ ϵ = 0 1 | x n - x | < ϵ n > N N ϵ x n = 1 + sin ( n )0.0011N=1000ϵϵ=01|xn−x|<ϵn>NNϵฉันเลือก). สำหรับตัวอย่างที่มีความซับซ้อนมากขึ้นโปรดทราบว่าฉันไม่จำเป็นต้องสนใจในครั้งแรกที่มีการปฏิบัติตามเงื่อนไข - คำต่อไปอาจไม่ปฏิบัติตามเงื่อนไขและไม่เป็นไรตราบใดที่ฉันสามารถค้นหาคำเพิ่มเติมตามลำดับที่ เงื่อนไขที่จะพบและเข้าพักได้พบกับคำต่อมาทั้งหมด ฉันแสดงสิ่งนี้สำหรับซึ่งรวมกันเป็นด้วยแรเงาอีกครั้งn 1ϵ=0.05xn=1+sin(n)n1ϵ=0.05
ตอนนี้พิจารณาและลำดับของตัวแปรสุ่มX นี่คือลำดับของ RVs ที่มี , ,และอื่น ๆ ในแง่ใดเราสามารถพูดได้ว่านี่กำลังเข้าใกล้ตัวขึ้น?X ∼ U ( 0 , 1 ) X n = ( 1 + 1)X∼U(0,1)n )XX1=2XX2=3Xn=(1+1n)XX1=2X2 XX3=4X2=32X3 XXX3=43XX
เนื่องจากและคือการแจกแจงไม่ใช่แค่ตัวเลขเดี่ยวเงื่อนไขอยู่ในขณะนี้เหตุการณ์ : ถึงแม้จะเป็นคงที่และนี้อาจจะหรืออาจจะไม่เกิดขึ้น เมื่อพิจารณาถึงความน่าจะเป็นของการพบกันนั้นจะเป็นการรวมตัวกันของความน่าจะเป็น สำหรับเราต้องการความน่าจะเป็นเสริม - สังหรณ์ความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน (อย่างน้อย ) ถึง - ถึง มีขนาดเล็กโดยพลการXnXnXX|Xn−X|<ϵ|Xn−X|<ϵnnϵϵXnp→XXn→pXP(|Xn−X|≥ϵ)P(|Xn−X|≥ϵ)XnXnϵϵXXnn . สำหรับการแก้ไขนี้ก่อให้เกิดทั้งลำดับของความน่าจะเป็น , , , ,และถ้าลำดับของความน่าจะลู่ให้เป็นศูนย์ (ตามที่เกิดขึ้นในตัวอย่างของเรา) แล้วเราพูดลู่ในความน่าจะเป็นXโปรดทราบว่าขีด จำกัด ของความน่าจะเป็นมักจะมีค่าคงที่: ยกตัวอย่างเช่นในการถดถอยในเศรษฐเราจะเห็นในขณะที่เราเพิ่มขนาดของกลุ่มตัวอย่างnแต่ที่นี่ϵϵP(|X1−X|≥ϵ)P(|X1−X|≥ϵ)P(|X2−X|≥ϵ)P(|X2−X|≥ϵ)P(|X3−X|≥ϵ)P(|X3−X|≥ϵ)……XnXnXXplim(ˆβ)=βplim(β^)=βnnplim(Xn)=X∼U(0,1)plim(Xn)=X∼U(0,1). ได้อย่างมีประสิทธิภาพบรรจบกันในความน่าจะหมายความว่ามันไม่น่าที่และจะแตกต่างกันโดยมากในการก่อให้เกิดโดยเฉพาะอย่างยิ่ง - และฉันสามารถทำให้ความน่าจะเป็นของและเป็นมากไปกว่านอกเหนือขนาดเล็กที่สุดเท่าที่ผมชอบดังนั้นตราบใดที่ฉันเลือก ขนาดใหญ่พอnXnXnXXXnXnXXϵϵnn
ความรู้สึกที่แตกต่างกันซึ่งกลายเป็นใกล้ชิดกับมากขึ้นก็คือการแจกแจงของพวกเขามีลักษณะเหมือนกันมากขึ้นเรื่อย ๆ ฉันสามารถวัดสิ่งนี้ได้โดยการเปรียบเทียบ CDF ของพวกเขา โดยเฉพาะให้เลือกที่ต่อเนื่อง (ในตัวอย่างของเราดังนั้น CDF ของมันจะต่อเนื่องทุกหนทุกแห่งและใด ๆจะทำ) และประเมินค่า CDF ของลำดับที่นั่น นี้ผลิตลำดับอีกหนึ่งของความน่าจะเป็น , , ,และลำดับนี้ลู่ไปx) CDF ประเมินผลที่XnXnXXxxFX(x)=P(X≤x)FX(x)=P(X≤x)X∼U(0,1)X∼U(0,1)xxXnXnP(X1≤x)P(X1≤x)P(X2≤x)P(X2≤x)P(X3≤x)P(X3≤x)……P(X≤x)P(X≤x)xxสำหรับแต่ละกลายเป็นพลใกล้กับ CDF ของประเมินxหากผลนี้ถือเป็นจริงโดยไม่คำนึงถึงที่เราเลือกแล้วลู่ไปในการจัดจำหน่าย มันจะเปิดออกนี้เกิดขึ้นที่นี่และเราไม่ควรจะประหลาดใจตั้งแต่การบรรจบกันในความน่าจะเป็นหมายถึงการบรรจบกันในการกระจายไปยังXโปรดทราบว่ามันไม่สามารถเป็นกรณีที่ลู่เข้าหาความน่าจะเป็นกับการแจกแจงแบบไม่เสื่อมสลายใด ๆ โดยเฉพาะ แต่เป็นการรวมตัวในการกระจายตัวเป็นค่าคงที่XnXnXXxxxxXnXnXX XXXXXnXn (ซึ่งอาจเป็นจุดของความสับสนในคำถามเดิมหรือไม่ แต่โปรดชี้แจงในภายหลัง)
ยกตัวอย่างเช่นที่แตกต่างกันให้{n}) ตอนนี้เรามีลำดับของ RVs, , , ,และเป็นที่ชัดเจนว่าการกระจายความน่าจะเป็นที่จะขัดขวางถดถอยที่ 1 ตอนนี้พิจารณาการกระจายเลวโดยที่ผมหมายถึง 1 มันง่ายที่จะเห็นว่าสำหรับลำดับมาบรรจบกันเป็นศูนย์เพื่อให้เป็นในความน่าจะเป็น ดังนั้นYn∼U(1,n+1n)Yn∼U(1,n+1n)Y1∼U(1,2)Y1∼U(1,2)Y2∼U(1,32)Y2∼U(1,32)Y3∼U(1,43)Y3∼U(1,43)……y=1y=1Y=1Y=1P(Y=1)=1P(Y=1)=1ϵ>0ϵ>0P(|Yn−Y|≥ϵ)P(|Yn−Y|≥ϵ)YnYnYYYnYnจะต้องมาบรรจบกับในการแจกซึ่งเราสามารถยืนยันได้โดยพิจารณาจาก CDF เนื่องจาก CDFของไม่ต่อเนื่องที่เราไม่จำเป็นต้องพิจารณา CDFs ที่ประเมินที่ค่านั้น แต่สำหรับ CDF ที่ประเมินที่อื่น ๆเราจะเห็นว่าลำดับ , , ,ลู่ไปซึ่งเป็นศูนย์สำหรับและสำหรับ1 เวลานี้เนื่องจากลำดับของ RVs แปรเปลี่ยนในความน่าจะเป็นเป็นค่าคงตัวมันจึงแปรสภาพในการกระจายไปยังค่าคงที่เช่นกันYYFY(y)FY(y)YYy=1y=1yyP(Y1≤y)P(Y1≤y)P(Y2≤y)P(Y2≤y)P(Y3≤y)P(Y3≤y)……P(Y≤y)P(Y≤y)y<1y<1y>1y>1
บางคำอธิบายสุดท้าย:
- แม้ว่าการลู่เข้าในความน่าจะเป็นหมายถึงการลู่เข้าในการแจกแจง แต่การสนทนาโดยทั่วไปนั้นเป็นเท็จ เพียงเพราะตัวแปรสองตัวนั้นมีการแจกแจงแบบเดียวกันไม่ได้หมายความว่าพวกมันจะต้องอยู่ใกล้กัน สำหรับตัวอย่างที่น่ารำคาญใช้และ1-X จากนั้นและทั้งคู่จะมีการกระจายตัวที่เหมือนกันอย่างแน่นอน (มีโอกาส 50% เป็นศูนย์หรือหนึ่ง) และลำดับคือลำดับที่จะบรรจบกันเล็กน้อยในการกระจายไปยัง ( CDF ที่ตำแหน่งใด ๆ ในลำดับนั้นเหมือนกับ CDF ของ ) แต่และX∼Bernouilli(0.5)X∼Bernouilli(0.5)Y=1−XY=1−XXXYYXn=XXn=XX,X,X,X,…X,X,X,X,…YYYYYYXXอยู่ห่างกันเสมอดังนั้นดังนั้นจึงไม่มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ดังนั้นจึงไม่ได้แปรสภาพเป็นในความน่าจะเป็น อย่างไรก็ตามหากมีการบรรจบกันในการกระจายไปยังค่าคงที่นั่นก็หมายถึงการลู่เข้าในความน่าจะเป็นกับค่าคงที่นั้น (โดยสังหรณ์ใจต่อไปในลำดับมันจะไม่น่าจะห่างไกลจากค่าคงที่นั้น)P(|Xn−Y|≥0.5)=1P(|Xn−Y|≥0.5)=1XnXnYY
- เมื่อตัวอย่างของฉันชัดเจนความน่าจะเป็นที่การบรรจบกันอาจเป็นค่าคงที่ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็น การลู่เข้าในการแจกแจงอาจเป็นค่าคงที่ มันเป็นไปไม่ได้ที่จะมาบรรจบกันในความน่าจะเป็นเป็นค่าคงที่ แต่มาบรรจบกันในการกระจายไปสู่การแจกแจงแบบไม่เสื่อมโทรมหรือในทางกลับกัน
- เป็นไปได้หรือไม่ที่คุณเคยเห็นตัวอย่างที่คุณได้รับการบอกว่าลำดับแปรเปลี่ยนเป็นลำดับอีกครั้งหรือไม่? คุณอาจไม่ได้รู้ว่ามันเป็นลำดับ แต่ให้อยู่ห่างออกจะเป็นถ้ามันเป็นการกระจายที่ยังขึ้นอยู่กับnอาจเป็นได้ว่าทั้งสองลำดับมาบรรจบกันเป็นค่าคงที่ (เช่นการกระจายที่ลดลง) คำถามของคุณชี้ให้เห็นว่าคุณสงสัยว่าลำดับ RVs ใดที่สามารถรวมกันเป็นค่าคงที่และการกระจายได้ ฉันสงสัยว่านี่เป็นสถานการณ์ที่คุณกำลังอธิบายXnXn YnYnnn
- คำอธิบายปัจจุบันของฉันไม่ใช่ "ใช้งานง่าย" - ฉันตั้งใจจะสร้างกราฟิคสัญชาตญาณ แต่ยังไม่มีเวลาเพิ่มกราฟสำหรับ RVs เลย