pdf ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มแบบอิสระทั้งสองชุด

12

ให้ ~และ ~เป็นสองตัวแปรสุ่มอิสระพร้อมการแจกแจงที่กำหนด การกระจายของคืออะไร? $X$ $U(0,2)$ $Y$ $U(-10,10)$ $V=XY$

ฉันได้ลองทำข้อตกลงโดยรู้ว่า

h (v) = \int_{y = - \infty}^{y = + \infty} \frac{1}{y} f_{Y} (y) f_{X} (\frac{v}{y}) d y

$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$

นอกจากนี้เรายังรู้ว่า , $f_Y(y) = \frac{1}{20}$

h (v) = \frac{1}{20} \int_{y = - 10}^{y = 10} \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{2} d y

$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$

h (v) = \frac{1}{40} \int_{y = - 10}^{y = 10} \frac{1}{y} d y

$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$

มีบางอย่างแปลก ๆ ที่นี่เนื่องจากมันไม่ต่อเนื่องที่ 0 โปรดช่วยด้วย

distributions random-variable

— CGO
แหล่งที่มา

1

หากนี่เป็นคำถามการบ้านคุณช่วยเพิ่มแท็กการศึกษาด้วยตนเองได้ไหม ขอบคุณ!

— Andy

นี่อาจเป็น RV แบบไม่ได้หรือไม่

— Yair Daon

มันดูไม่เหมือนชุด อาจมีบางอย่างกับบันทึก? แต่ฉันไม่รู้ว่าจะเขียนออกมาอย่างไรเพราะศูนย์อยู่ระหว่างขอบเขตและฟังก์ชันนั้นไม่ได้กำหนดที่ศูนย์

— cgo

14

มีการโพสต์คำตอบที่ดีอย่างเข้มงวดและสง่างามแล้ว วัตถุประสงค์ของหนึ่งในนี้คือจะได้รับผลเดียวกันในทางที่อาจจะเป็นที่เผยให้เห็นน้อยมากของโครงสร้างพื้นฐานของXYมันแสดงให้เห็นว่าทำไมฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) ต้องเป็นเอกพจน์ที่0 $XY$ $0$

สามารถทำได้มากโดยมุ่งเน้นไปที่รูปแบบของการกระจายส่วนประกอบ :

$X$ เป็นสองเท่าของตัวแปรสุ่ม เป็นรูปแบบมาตรฐาน "ดี" รูปแบบของการแจกแจงแบบสม่ำเสมอทั้งหมด $U(0,1)$ $U(0,1)$
$|Y|$ คือสิบเท่าของตัวแปรสุ่ม $U(0,1)$
สัญลักษณ์ของดังต่อไปนี้การกระจาย Rademacher: มันเท่ากับหรือแต่ละคนมีความน่าจะเป็น1/2 $Y$ $-1$ $1$ $1/2$

(ขั้นตอนสุดท้ายนี้แปลงความแปรปรวนที่ไม่เป็นลบเป็นการกระจายแบบสมมาตรประมาณซึ่งหางทั้งคู่มีลักษณะเหมือนการกระจายแบบดั้งเดิม) $0$

ดังนั้น (a) มีความสมมาตรประมาณและ (b) ค่าสัมบูรณ์ของมันคือคูณผลคูณของตัวแปรสุ่มอิสระตัว $XY$ $0$ $2\times 10=20$ $U(0,1)$

ผลิตภัณฑ์มักจะทำให้ง่ายขึ้นโดยการลอการิทึม เป็นที่ทราบกันดีว่าบันทึกการลบของตัวแปรมีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล (เพราะนี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการสร้างการแปรปรวนแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลแบบสุ่ม) ดังนั้นบันทึกการลบของผลิตภัณฑ์ของทั้งสอง การแจกแจงของผลรวมของเอ็กซ์โปเนนเชียลสองตัว เลขชี้กำลังคือการแจกแจงการแจกแจงแกมมาที่มีพารามิเตอร์มาตราส่วนเดียวกันนั้นง่ายต่อการเพิ่ม: คุณเพียงแค่เพิ่มพารามิเตอร์รูปร่าง Aบวก aดังนั้นจึงมีการแจกแจงดังนั้น $U(0,1)$ $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(1,1)$ $\Gamma(2,1)$

ตัวแปรสุ่มคือเวอร์ชันที่สมมาตรเป็นเท่าของเลขชี้กำลังของค่าลบของตัวแปร $XY$ $20$ $\Gamma(2,1)$

รูป

การสร้าง PDF ของจากการแจกแจงแสดงจากซ้ายไปขวาเริ่มจากเครื่องแบบไปจนถึงเลขชี้กำลังไปยังถึงเลขชี้กำลังเป็นลบ ในทำนองเดียวกันก็มีขนาดเท่ากับและในที่สุดก็เป็นเวอร์ชั่นที่สมมาตรของมัน PDF ของมันนั้นไม่มีที่สิ้นสุดที่ยืนยันความไม่ต่อเนื่องที่นั่น $XY$ $U(0,1)$ $\Gamma(2,1)$ $20$ $0$

เราอาจเป็นเนื้อหาที่จะหยุดที่นี่ ตัวอย่างเช่นการระบุลักษณะนี้ทำให้เราสามารถสร้างการรับรู้ของได้โดยตรงเช่นเดียวกับในนิพจน์นี้: $XY$ R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

วิเคราะห์ Thsis ยังแสดงให้เห็นว่าทำไมไฟล์ PDF พัดขึ้นที่0 $0$ ความแปลกประหลาดนั้นปรากฏขึ้นครั้งแรกเมื่อเราพิจารณาการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลของ (การลบของ) a , ซึ่งสอดคล้องกับการคูณหนึ่งแปรผันอีกอันหนึ่ง ค่าภายใน (พูด)ของที่เกิดขึ้นในหลาย ๆ ด้านรวมถึง ( แต่ไม่ จำกัด เฉพาะ) เมื่อ (ก) หนึ่งในปัจจัยที่มีค่าน้อยกว่าหรือ (ข) ทั้งสองปัจจัยที่มีน้อยกว่า . รากที่สองนั้นมีขนาดใหญ่กว่าเองเมื่อใกล้กับ $\Gamma(2,1)$ $U(0,1)$ $\varepsilon$ $0$ $\varepsilon$ $\sqrt{\varepsilon}$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $0$ . กองกำลังนี้จำนวนมากของความน่าจะเป็นในการให้มากขึ้นจำนวนกว่าจะถูกบีบลงในช่วงเวลาของความยาว\สำหรับเรื่องนี้จะเป็นไปได้ความหนาแน่นของผลิตภัณฑ์ที่มีขนาดใหญ่จะกลายเป็นพลที่0กิจวัตรที่ตามมา - การช่วยชีวิตโดยปัจจัยและสมมาตร - แน่นอนจะไม่กำจัดความแปลกประหลาดนั้น $\sqrt{\varepsilon}$ $\varepsilon$ $0$ $20$

การอธิบายลักษณะของคำตอบนี้นำไปสู่สูตรที่มีความยุ่งยากน้อยที่สุดแสดงให้เห็นว่าสมบูรณ์และเข้มงวด ยกตัวอย่างเพื่อให้ได้รูปแบบไฟล์ PDF ของเริ่มต้นด้วยความน่าจะเป็นองค์ประกอบของการจัดจำหน่าย $XY$ $\Gamma(2,1)$

f (t) d t = t e^{- t} d t, 0 < t < \infty .

$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$

ปล่อยให้หมายถึงและ1 การเปลี่ยนแปลงครั้งนี้ยังฝืนคำสั่ง: ค่าขนาดใหญ่ของนำไปสู่ค่าที่เล็กกว่าของZด้วยเหตุนี้เราจึงต้องคัดค้านผลหลังจากการเปลี่ยนตัวให้ $t=-\log(z)$ $dt = -d(\log(z)) = -dz/z$ $0 \lt z \lt 1$ $t$ $z$

f (t) d t = - (- \log (z) e^{- (- \log (z))} (- d z / z)) = - \log (z) d z, 0 < z < 1.

$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$

สเกลแฟกเตอร์ของแปลงสิ่งนี้เป็น $20$

- \log (z / 20) d (z / 20) = - \frac{1}{20} \log (z / 20) d z, 0 < z < 20.

$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$

ในที่สุด symmetrization แทนที่ด้วยอนุญาตให้ค่าอยู่ในช่วงตั้งแต่ถึงและหาร PDF ด้วยเพื่อกระจายความน่าจะเป็นรวมเท่า ๆ กันในช่วงเวลาและ : $z$ $|z|$ $-20$ $20$ $2$ $(-20,0)$ $(0,20)$

\begin{aligned} f_{X Y} (z) d z & = - \frac{1}{2} \frac{1}{20} \log (| z | / 20), - 20 < z < 20; \\ f_{X Y} (z) d z & = 0 otherwise . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$

— whuber
แหล่งที่มา

ขอขอบคุณที่พยายามทำให้มากขึ้น "เข้าถึงได้" ฉันยังพบสิ่งนี้เคาน์เตอร์ง่ายดังนั้นฉันเพิ่งดำเนินการนี้ (คล้ายกับ "จำลอง" ของซีอาน): plot( density( outer(seq(-10,10,length=10),seq(0,2,length=10), "*") ) )cranking ความยาวได้ถึง 100 เพื่อหลีกเลี่ยงสิ่งประดิษฐ์บางอย่างสำหรับความหนาแน่นบน การแจกแจงแบบ จำกัด

— DWIN

9

ในรากศัพท์ของคุณคุณไม่ได้ใช้ความหนาแน่นของXตั้งแต่ ,ดังนั้นในการบิดสูตรของคุณ (ฉันยังแก้ไข Jacobian ด้วยการเพิ่มค่าสัมบูรณ์) ดังนั้น $X$ $X\sim\mathcal{U}(0,2)$

f_{X} (x) = \frac{1}{2} I_{(0, 2)} (x)

$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$

h (v) = \frac{1}{20} \int_{- 10}^{10} \frac{1}{| y |} \cdot \frac{1}{2} I_{(0, 2)} (v / y) d y

$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$

\begin{aligned} h (v) & = \frac{1}{40} \int_{- 10}^{0} \frac{1}{| y |} I_{0 \leq v / y \leq 2} d y + \frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{| y |} I_{0 \leq v / y \leq 2} d y \\ = \frac{1}{40} \int_{- 10}^{0} \frac{1}{| y |} I_{0 \geq v / 2 \geq y \geq - 10} d y + \frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{| y |} I_{0 \leq v / 2 \leq y \leq 10} d y \\ = \frac{1}{40} I_{- 20 \leq v \leq 0} \int_{- 10}^{v / 2} \frac{1}{| y |} d y + \frac{1}{40} I_{20 \geq v \geq 0} \int_{v / 2}^{10} \frac{1}{| y |} d y \\ = \frac{1}{40} I_{- 20 \leq v \leq 0} \log {20 / | v |} + \frac{1}{40} I_{0 \leq v \leq 20} \log {20 / | v |} \\ = \frac{\log {20 / | v |}}{40} I_{- 20 \leq v \leq 20} \end{aligned}

$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$ ที่นี่ เป็นการยืนยันโดยการจำลองผลลัพธ์: ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ได้รับเป็น

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)

— ซีอาน
แหล่งที่มา

สวัสดีขอบคุณ. ฉันอยากถามว่าทำไมขอบเขตเปลี่ยนจาก -10 เป็น 10 เป็น -10 เป็น v / 2

— cgo

ควรจะมีการลบที่ไหนสักแห่ง? ขอบคุณ

— cgo

1

คำตอบนั้นดูถูกต้อง cgo ทราบว่าเมื่อ ,เป็นบวกเพราะ1 พล็อตแสดงกราฟและเห็นได้ชัดว่าเป็นบวกตลอดทั้งภาพ นิพจน์ที่เทียบเท่าคือซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันเลือกที่จะใช้ในคำตอบของฉัน

- 20 < v < 20

$-20\lt v \lt 20$

\log (20 / | v |)

$\log(20/|v|)$

20 / | v | > 1

$20/|v|\gt 1$

- \log (| v | / 20)

$-\log(|v|/20)$

— whuber