การแปลงเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มโดยเมทริกซ์สี่เหลี่ยมสูง

สมมติว่าเรามีความสุ่มเวกเตอร์ , ดึงออกมาจากการกระจายกับฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น{x}) ถ้าเราแปลงเชิงเส้นโดยอันดับเต็มเมทริกซ์เพื่อรับดังนั้นความหนาแน่นของจะถูกกำหนดโดย $\vec{X} \in \mathbb{R}^n$ $f_\vec{X}(\vec{x})$ $n \times n$ $A$ $\vec{Y} = A\vec{X}$ $\vec{Y}$

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{| det A |} f_{\vec{X}} (A^{- 1} \vec{y}) .

$f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}).$

ตอนนี้บอกว่าเราเปลี่ยน $\vec{X}$ แทนโดย $m \times n$ เมทริกซ์ $B$ กับ $m > n$ ให้ $\vec{Z} = B\vec{X}$ {X} เห็นได้ชัดว่า $Z \in \mathbb{R}^m$ แต่มัน "ชีวิตในที่" $n$ มิติสเปซ $G \subset \mathbb{R}^m$ เมตร อะไรคือความหนาแน่นของเงื่อนไขของ $\vec{Z}$ ให้ที่เรารู้ว่ามันอยู่ใน $G$ ?

สัญชาตญาณแรกของฉันคือการใช้หลอกผกผันของB $B$ ถ้า $B = U S V^T$ คือการสลายตัวมูลค่าเอกพจน์ $B$ แล้ว $B^+ = V S^+ U^T$ คือหลอกผกผันที่ $S^+$ จะเกิดขึ้นโดย inverting ไม่ใช่ศูนย์รายการของเส้นทแยงมุมเมทริกซ์S $S$ ฉันเดาว่าจะให้

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{1}{| \overset{+}{det} S |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}),

$f_\vec{Z}(\vec{z}) = \frac{1}{\left|\det^+ S\right|} f_\vec{X}(B^+ \vec{z}),$ โดยที่

\overset{+}{det} S

$\det^+ S$ ฉันหมายถึงผลคูณของค่าเอกพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์

เหตุผลนี้เห็นด้วยกับความหนาแน่นสำหรับปกติเอกพจน์ (เงื่อนไขในความรู้ที่ว่าตัวแปรที่อาศัยอยู่ในพื้นที่ย่อยที่เหมาะสม) ให้ที่นี่และกล่าวถึงที่นี่และที่นี่และในโพสต์ CrossValidatedนี้

แต่มันไม่ถูกต้อง! ค่าคงที่การปรับสภาพให้เป็นปกติจะปิด A ตัวอย่างเล็กน้อยได้รับจากการพิจารณากรณีต่อไปนี้ด้วย $X \sim \mathcal{N(0, 1)}$ , ให้

\vec{Y} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) X = (\begin{matrix} X \\ X \end{matrix}) .

$\vec{Y} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}X \\ X\end{pmatrix}.$ นี่เมทริกซ์

B

$B$ จากด้านบนเป็นเพียงเวกเตอร์ตัวหนึ่ง มันหลอกผกผันเป็น

B^{+} = (\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 \end{matrix})

$B^+ = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2\end{pmatrix}$ และ

\overset{+}{det} B = \sqrt{2}

$\det^+ B = \sqrt{2}$ {2} เหตุผลจากด้านบนจะแนะนำ

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} \sqrt{2}} \exp (- \frac{1}{2} {\vec{y}}^{T} (B^{+})^{T} B^{+} \vec{y}),

$f_\vec{Y}(\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^T (B^+)^T B^+ \vec{y}\right),$ แต่อันที่จริงแล้วมันรวมเข้าด้วยกัน (ในบรรทัด

y = x

$y = x$ ) ถึง

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ . ฉันรู้ว่าในกรณีนี้คุณสามารถวางหนึ่งในรายการของ

\vec{Y}

$\vec{Y}$ คุณทำเสร็จแล้ว แต่เมื่อ

B

$B$ มีขนาดใหญ่กว่าการระบุชุดของรายการที่จะลดลงนั้นน่ารำคาญ ทำไมการให้เหตุผลแบบหลอกกลับไม่ทำงาน มีสูตรทั่วไปสำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นของการแปลงเชิงเส้นของชุดตัวแปรสุ่มโดยเมทริกซ์ "สูง" หรือไม่? การอ้างอิงใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมากเช่นกัน

— แดน
แหล่งที่มา

สำหรับผู้ที่อาจพบเจอสิ่งนี้ในอนาคต ... แหล่งที่มาของข้อผิดพลาดนั้นเกิดจากการรวมกลุ่ม ในตัวอย่างข้างต้นบูรณาการจะเกิดขึ้นมากกว่าสายx ดังนั้นจึงจำเป็นต้อง "parametrize" และพิจารณาจาโคเบียนแห่ง parametrization เมื่อรับอินทิกรัลเนื่องจากแต่ละหน่วยในขั้นตอนใน -axis สอดคล้องกับขั้นตอนของความยาวในบรรทัด ความหมายที่ฉันใช้โดยปริยายนั้นได้รับจากกล่าวอีกนัยหนึ่งระบุทั้งรายการที่เหมือนกันของตามตัวอักษร สิ่งนี้มี Jacobianซึ่งยกเลิกได้อย่างเรียบร้อยด้วย $y = x$ $x$ $\sqrt{2}$ $x \mapsto (x, x)$ $\vec{y}$ $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ (มาจากจาโคเบียนคนเดียวกัน) ในตัวส่วน

ตัวอย่างคือการทำอย่างง่าย ๆ - สำหรับการแปลงทั่วไป , หนึ่งอาจมีอีกพารามิเตอร์สำหรับผลลัพธ์ที่เป็นธรรมชาติในบริบทของปัญหา เนื่องจากการกำหนดพารามิเตอร์ต้องครอบคลุมพื้นที่ย่อยเดียวกันกับและพื้นที่ย่อยนี้เป็นไฮเปอร์เพลนการกำหนดพารามิเตอร์จึงน่าจะเป็นแบบเชิงเส้น เรียก matrix matrix แทนของ parametrizationสิ่งที่ต้องการก็คือมันมีพื้นที่คอลัมน์เดียวกับ (ครอบคลุม hyperplane เดียวกัน) จากนั้นความหนาแน่นสุดท้ายจะกลายเป็น $B$ $G$ $B$ $m \times n$ $L$ $B$

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{| \overset{+}{det} L |}{| \overset{+}{det} B |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}) .

$f_{\vec{Z}}(\vec{z}) = \frac{\left|\det^+ L\right|}{\left|\det^+ B\right|}f_{\vec{X}}(B^+ \vec{z}).$

โดยทั่วไปการตั้งค่านี้ค่อนข้างแปลกและฉันคิดว่าสิ่งที่ถูกต้องคือการหาชุดของแถวเป็นอิสระสูงสุดเชิงเส้นและลบส่วนที่เหลือของแถวออก (รวมถึงองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของตัวแปรที่แปลง ) เพื่อให้ได้ตารางเมทริกซ์B จากนั้นปัญหาจะลดลงเป็นอันดับเต็มกรณี (สมมติว่ามีอันดับคอลัมน์เต็ม) $B$ $\vec{z}$ $\hat B$ $n \times n$ $B$

— แดน
แหล่งที่มา