คำนวณควอนไทล์ของผลรวมของการแจกแจงจากควอไทล์เฉพาะ

สมมติว่าอิสระตัวแปรสุ่มที่ quantiles ในบางระดับที่เฉพาะเจาะจงเป็นที่รู้จักกันผ่านการประมาณจากข้อมูล: , ... ,<q_N) ตอนนี้ขอกำหนดตัวแปรสุ่มเป็นผลรวมx_i มีวิธีคำนวณค่าของควอไทล์ของผลรวมที่ระดับหรือไม่นั่นคือใน ? $N$ $X_1, ..., X_N$ $\alpha$ $\alpha = P(X_1 < q_1)$ $\alpha = P(X_N < q_N)$ $Z$ $Z = \sum_{i=1}^N X_i$ $\alpha$ $q_z$ $\alpha = P(Z < q_Z)$

ฉันคิดว่าในบางกรณีเช่นถ้าติดตามการกระจายแบบเกาส์นี้ก็ง่าย แต่ฉันก็ไม่แน่ใจในกรณีที่การกระจายของไม่เป็นที่รู้จัก ความคิดใด ๆ $X_i$ $\forall i$ $X_i$

quantiles

— albarji
แหล่งที่มา

เหล่านี้ประเมินจากข้อมูลหรือในเชิงทฤษฎีหรือไม่?

q_{i}

$q_i$

— chuse

นี้เป็นไปไม่ได้โดยไม่ต้องทำสมมติฐานเฉพาะเกี่ยวกับการกระจายของx_iคุณมีครอบครัวของการแจกแจงในใจหรือไม่?

X_{i}

$X_i$

— whuber

@chuseจะประมาณจากข้อมูลการกระจายของไม่เป็นที่รู้จัก แต่ตัวอย่างที่มีอยู่ ฉันได้อัปเดตคำถามด้วยข้อเท็จจริงนี้แล้ว

q_{i}

$q_i$

X_{i}

$X_i$

— albarji

@ เมื่อเบอร์ฉันไม่มีความรู้ก่อนหน้าเกี่ยวกับตระกูลการแจกแจงที่อาจตามมาแม้ว่าจะมีตัวอย่างข้อมูลอยู่ก็ตาม สมมติว่าครอบครัวแห่งการแจกแจง (นอกเหนือจากเสียน) ทำให้สิ่งนี้ง่ายขึ้นไหม?

X_{i}

$X_i$

— albarji

$q_Z$ อาจเป็นอะไรก็ได้

เพื่อให้เข้าใจถึงสถานการณ์นี้ให้เราทำการลดความซับซ้อนเบื้องต้น โดยการทำงานกับเราจะได้รับลักษณะที่เหมือนกันมากขึ้น $Y_i = X_i - q_i$

α = Pr (X_{i} \leq q_{i}) = Pr (Y_{i} \leq 0) .

$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$

นั่นคือแต่ละคนมีความน่าจะเป็นในเชิงลบเหมือนกัน เพราะ $Y_i$

W = \sum_{i} Y_{i} = \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} q_{i} = Z - \sum_{i} q_{i},

$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$

สมการที่กำหนดสำหรับเทียบเท่ากับ $q_Z$

α = Pr (Z \leq q_{Z}) = Pr (Z - \sum_{i} q_{i} \leq q_{Z} - \sum_{i} q_{i}) = Pr (W \leq q_{W})

$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$

กับq_i $q_Z = q_W + \sum_i q_i$

ค่าที่เป็นไปได้ของคืออะไร? พิจารณากรณีที่ทั้งหมดมีการแจกแจงแบบเดียวกันโดยมีความน่าจะเป็นทั้งหมดในค่าสองค่าหนึ่งค่าเป็นลบ ( ) และอีกค่าบวก ( ) ค่าที่เป็นไปได้ของผลรวมจะถูก จำกัด ให้สำหรับn แต่ละสิ่งเหล่านี้เกิดขึ้นกับความน่าจะเป็น $q_W$ $Y_i$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ $k=0, 1, \ldots, n$

{Pr}_{W} (k y_{-} + (n - k) y_{+}) = (\binom{n}{k}) α^{k} (1 - α)^{n - k} .

${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$

สุดขั้วสามารถพบได้โดย

เลือกและเพื่อให้ ; และจะทำสิ่งนี้ให้สำเร็จ สิ่งนี้รับประกันได้ว่า จะเป็นลบยกเว้นเมื่อทั้งหมดเป็นบวก โอกาสนี้เท่ากับ n มันเกินเมื่อว่า quantile ของจะต้องเป็นค่าลบอย่างเคร่งครัด $y_{-}$ $y_{+}$ $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$ $y_{-}=-n$ $y_{+}=1$ $W$ $Y_i$ $1 - (1-\alpha)^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$
เลือกและเพื่อให้ ; และจะทำสิ่งนี้สำเร็จ สิ่งนี้รับประกันได้ว่าจะเป็นลบเมื่อทั้งหมดเป็นลบเท่านั้น โอกาสนี้เท่ากับ n มันน้อยกว่าเมื่อซึ่งหมายความว่า quantile ของต้องเป็นบวกอย่างเคร่งครัด $y_{-}$ $y_{+}$ $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$ $y_{-}=-1$ $y_{+}=n$ $W$ $Y_i$ $\alpha^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$

นี่แสดงให้เห็นว่า quantile ของอาจเป็นลบหรือบวก แต่ไม่ใช่ศูนย์ ขนาดของมันจะเป็นเท่าไหร่? มันจะเท่ากับบางชุดหนึ่งเชิงเส้นของและ{+} ทำให้ทั้งสองจำนวนเต็มค่าเหล่านี้มั่นใจว่าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเป็นส่วนประกอบ เมื่อปรับโดยจำนวนบวกโดยพลการเราสามารถรับประกันได้ว่าการรวมเชิงเส้นหนึ่งของ และมีคูณหนึ่งของsตั้งแต่ , มันต้องมีอย่างน้อยในขนาด ดังนั้น $\alpha$ $W$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $y_{\pm}$ $s$ $y_{-}$ $y_{+}$ $s$ $q_W \ne 0$ $s$ ค่าที่เป็นไปได้ของ (และดังนั้น ) นั้นไม่ จำกัด $q_W$ $q_Z$ ไม่ว่าอาจเท่ากัน $n\gt 1$

เพียงวิธีการที่จะได้รับข้อมูลใด ๆ เกี่ยวจะทำให้เฉพาะและแข็งแรงข้อ จำกัด ในการกระจายของในการสั่งซื้อเพื่อป้องกันและ จำกัด ชนิดของการกระจายไม่สมดุลที่ใช้จะได้รับผลลบนี้ $q_Z$ $X_i$

— whuber
แหล่งที่มา

ขอบคุณมาก @whuber สำหรับการอธิบายและตัวอย่างที่เป็นตัวอย่าง แม้ว่าคำตอบจะเป็นเชิงลบ แต่ฉันก็ไม่สามารถพูดได้ว่ามันเป็นสิ่งที่คาดไม่ถึง จากนั้นฉันจะพยายามค้นหาว่าครอบครัวใดของการแจกแจงที่เหมาะสมกับข้อมูลของฉันและดูว่าฉันสามารถหาจำนวนผลรวมได้หรือไม่

— albarji