ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรต่อเนื่อง

สมมติว่าตัวแปรสุ่มตามการแจกแจงแบบต่อเนื่องพร้อมพารามิเตอร์ 0 และ 10 (เช่น ) $U$ $U \sim \rm{U}(0,10)$

ทีนี้เรามาแทนเหตุการณ์ที่ = 5 และ B เหตุการณ์ที่เท่ากับหรือ 6 ตามความเข้าใจของฉันเหตุการณ์ทั้งสองมีความน่าจะเป็นศูนย์ที่จะเกิดขึ้น $U$ $U$ $5$

ตอนนี้ถ้าเราพิจารณาที่จะคำนวณเราไม่สามารถใช้กฎหมายเงื่อนไข เนื่องจากเท่ากับศูนย์ แต่สัญชาตญาณของฉันบอกฉันว่า1/2 $P(A|B)$ $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ $P(B)$ $P(A|B) = 1/2$

conditional-probability continuous-data uniform

— อ่อนหัด
แหล่งที่มา

สิ่งที่สัญชาตญาณของคุณจะบอกคุณถ้ามีไม่สม่ำเสมอหนาแน่น ?

U

$U$

0.02 u, u \in (0, 10)

$0.02u, u \in (0,10)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate สัญชาตญาณของฉันจะบอกฉันว่าคำตอบคือตัวเลขที่ต่ำกว่า 0.5 เล็กน้อย

— Noob

คำตอบ:

"แนวคิดของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเกี่ยวกับสมมติฐานที่แยกได้ซึ่งความน่าจะเป็นเท่ากับ 0 นั้นยอมรับไม่ได้" A. Kolmogorov

สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องและพูดการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขจะถูกกำหนดโดยคุณสมบัติที่พวกเขากู้คืนความน่าจะเป็นแบบดั้งเดิมนั่นคือสำหรับชุดที่วัดได้ทั้งหมด , ,นี่ก็หมายความว่ามีความหนาแน่นเงื่อนไขที่ถูกกำหนดโดยพลการในชุดของวัดเป็นศูนย์หรือคำอื่น ๆ ที่มีความหนาแน่นเงื่อนไขถูกกำหนดเกือบทุกที่ เนื่องจากชุดเป็นศูนย์การวัดเทียบกับการวัด Lebesgue ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถกำหนดทั้ง $X$ $Y$ $A\in\mathcal{B}(\mathbf{X})$ $B\in\mathcal{B}(\mathbf{Y})$

P (X \in A, Y \in B) = \int_{B} d P_{Y} (y) \int_{B} d P_{X | Y} (x | y)

$\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\int_B \text{d}P_Y(y) \int_B \text{d}P_{X|Y}(x|y)$

p_{X | Y} (x | y)

$p_{X|Y}(x|y)$

{5, 6}

$\{5,6\}$

p (5)

$p(5)$ และตามอำเภอใจและด้วยเหตุนี้ความน่าจะเป็นสามารถรับค่าใด ๆ ได้

p (6)

$p(6)$

P (U = 5 | U \in {5, 6})

$\mathbb{P}(U=5|U\in\{5,6\})$

นี่ไม่ได้หมายความว่าคุณไม่สามารถกำหนดความหนาแน่นแบบมีเงื่อนไขได้โดยสูตรอัตราส่วนเช่นเดียวกับในกรณีปกติแบบ bivariate แต่เพียงว่าความหนาแน่นนั้นถูกกำหนดไว้เกือบทุกที่ สำหรับทั้งและy ที่

f (y | x) = f (x, y) / f (x)

$f(y|x)=f(x,y)\big/f(x)$

x

$x$

y

$y$

"การโต้เถียงที่ไร้ประโยชน์จำนวนมากได้เกิดขึ้นระหว่างผู้น่าจะเป็นคนที่มีความสามารถ - ซึ่งผลลัพธ์เหล่านี้คือ 'ถูกต้อง' ET Jaynes

ความจริงที่ว่าอาร์กิวเมนต์ จำกัด (เมื่อไปที่ศูนย์) ในคำตอบข้างต้นดูเหมือนว่าจะให้คำตอบที่เป็นธรรมชาติและใช้งานง่ายเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องกับความขัดแย้งของโบเรล การเลือกใช้ parametrisation ในเรื่องที่ จำกัด ดังแสดงในตัวอย่างต่อไปนี้ที่ฉันใช้ในชั้นเรียนระดับปริญญาตรีของฉัน $\epsilon$

ใช้ bivariate ปกติคืออะไรความหนาแน่นเงื่อนไขของให้ที่ ?

X, Y \overset{i.i.d.}{\sim} N (0, 1)

$X,Y\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathcal{N}(0,1)$ $X$ $X=Y$

หากหนึ่งเริ่มต้นจากความหนาแน่นร่วมที่ "ง่าย" คำตอบคือ [สัดส่วนกับ] 2 สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรโดยที่มีความหนาแน่น{2} ดังนั้นและอย่างไรก็ตาม หากพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรความหนาแน่นของคือความหนาแน่นของ Cauchy $\varphi(x)\varphi(y)$ $\varphi(x)^2$

(x, t) = (x, y - x) \sim φ (x) φ (t + x)

$(x,t)=(x,y-x) \sim \varphi(x)\varphi(t+x)$

T = Y - X

$T=Y-X$

φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}

$\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}$

f (x | t) = \frac{φ (x) φ (t + x)}{φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}}

$f(x|t)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(t+x)}{\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}}$

f (x | t = 0) = \frac{φ (x) φ (x)}{φ (0 / \sqrt{2}) / \sqrt{2}} = φ (x)^{2} \sqrt{2}

$f(x|t=0)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(x)}{\varphi(0/\sqrt{2})/\sqrt{2}}=\varphi(x)^2\sqrt{2}$

(x, r) = (x, y / x) \sim φ (x) φ (r x) | x |

$(x,r)=(x,y/x) \sim \varphi(x)\varphi(rx)|x|$

R = Y / X

$R=Y/X$

ψ (r) = 1 / π {1 + r^{2}}

$\psi(r)=1/\pi\{1+r^2\}$ และความหนาแน่นของเงื่อนไขของให้เป็นดังนั้น และนี่คือที่ตั้งของ "ความขัดแย้ง" เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นและเป็นเช่นเดียวกับแต่พวกเขานำไปสู่ความหนาแน่นเงื่อนไขที่แตกต่างกันในX

X

$X$

R

$R$

f (x | r) = φ (x) φ (r x) | x | \times π {1 + r^{2}}

$f(x|r)=\varphi(x)\varphi(rx)|x| \times \pi \{1+r^2\}$

f (x | r = 1) = π φ (x)^{2} | x | / 2 .

$f(x|r=1)= \pi\varphi(x)^2|x|/2\,.$

R = 1

$R=1$

T = 0

$T=0$

X = Y

$X=Y$

X

$X$

— ซีอาน
แหล่งที่มา

นี่เป็นเพียงความผิดธรรมดา หากคุณใช้หลักสูตรที่เข้มงวดในทฤษฎีความน่าจะเป็นคุณจะเห็นว่าการปรับสภาพเหตุการณ์ของศูนย์การวัดนั้นเป็นไปได้และเป็นไปได้จริง พิจารณาแบบเกาส์บิทูริเอท ทุกคนรู้ว่าคุณสามารถกำหนดให้ตัวแปรแรกรับค่าเป็นศูนย์ได้ แต่เหตุการณ์นี้มีความน่าจะเป็นศูนย์ ดูวิกิพีเดีย en.wikipedia.org/wiki/…

— Yair Daon

นี่คือคำตอบแย้ง:

ซีอานนั้นถูกต้องที่คุณไม่สามารถจัดกิจกรรมได้โดยไม่มีค่าความน่าจะเป็น อย่างไรก็ตาม Yair ก็ถูกต้องที่เมื่อคุณตัดสินใจเกี่ยวกับกระบวนการ จำกัดคุณสามารถประเมินความน่าจะเป็นได้ ปัญหาคือมีกระบวนการ จำกัด จำนวนมากที่มาถึงสภาพที่ต้องการ

ฉันคิดว่าหลักการของความไม่แยแสบางครั้งสามารถแก้ไขตัวเลือกดังกล่าว มันระบุว่าผลลัพธ์ไม่ควรได้รับผลกระทบจากการแลกเปลี่ยนฉลากโดยพลการ ในกรณีของคุณให้พูดให้พลิกช่วงเวลาเพื่อให้เป็นชุดและเปลี่ยนจุด 5 และ 6 พลิกเปลี่ยนแปลงคำตอบไป1-Pดังนั้นหากคุณเลือกกระบวนการ จำกัด ที่แตกต่างจากที่อื่นคุณก็ต้องเปลี่ยนป้ายกำกับโดยพล (ในกรณีนี้การเปลี่ยนค่าบวกอนันต์สำหรับลบอนันต์) จะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน ที่ไม่ควรเกิดขึ้นตามหลักการของความเฉยเมย ดังนั้นคำตอบคือ 0.5 ตามที่คุณเดา $(1, 11)$ $p$ $1-p$

โปรดทราบว่านักสถิติหลายคนไม่ยอมรับหลักการของความเฉยเมย ฉันชอบมันเพราะมันสะท้อนถึงสัญชาติญาณของฉัน แม้ว่าฉันจะไม่แน่ใจเสมอไปว่าจะนำไปใช้อย่างไรบางทีในอีก 50 ปีมันจะเป็นกระแสหลักมากกว่า

— นีลจี
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการโพสต์รอบคอบ ฉันสงสัยว่า "หลักการของความไม่แยแส" อย่างจริงจังสำหรับฉันจะเป็นสิ่งสำคัญเพราะมันไม่สามารถทำงานได้ ข้อโต้แย้งของคุณจะแยกกันเมื่อแสดงค่าที่อ้างอิงอีกครั้ง การกระจายชุดบนอาจจะกลายเป็นดังนั้นการพูด, การกระจาย Cauchy,อาจจะกลายเป็นและกลายเป็น{5}}} ตอนนี้ "หลักการของความไม่แยแส" ของคุณสร้างคำตอบที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง (ฉันใช้ความน่าจะเป็นแปลงเพื่อหาตัวอย่างนี้)

[0, 10]

$[0,10]$

5

$5$

0

$0$

6

$6$

\sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}

$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$

— whuber

@whuber: อาร์กิวเมนต์การพลิกจะไม่ทำงานสำหรับการแจกแจง Cauchy เว้นแต่ว่าคุณจะพลิกโหมดของมัน

— Neil G

แน่ใจว่าทำได้: มีหลายวิธีในการแปลงการกระจายอย่างต่อเนื่องหนึ่งไปสู่อีกค่า ที่จริงแล้ว "การพลิก" ของคุณไม่ได้รักษาการกระจายดั้งเดิมไว้ (มันเปลี่ยนการสนับสนุนโดยสิ้นเชิง) ดังนั้นมันจะปรากฏว่าสิ่งที่คุณทำคือแทนที่การกระจายตัวหนึ่งด้วยอีกอันหนึ่ง ดูเหมือนจะไม่มีหลักการใด ๆ ในการดำเนินการที่นี่เลย

— whuber

@ โฮเบอร์: มันแทนที่การกระจายตัวหนึ่งด้วยอีกอันโดยที่ภูมิภาคเครื่องแบบรอบ 5 และ 6 ไม่เปลี่ยนแปลง - ในทำนองเดียวกันฉันคิดว่าการซูมออกพยายามที่จะทำให้ความหนาแน่นไม่เปลี่ยนแปลงในวงกลมดั้งเดิมในเบอร์ทรานด์สพาราด็อกซ์

— Neil G

@whuber: ถูกต้อง ฉันชอบคำตอบของ Potatoจริงๆสำหรับหนึ่งในคำถามของฉัน โดยส่วนตัวผมคิดว่าถ้ามีความคลาดเคลื่อนระหว่างทฤษฎีกับสัญชาตญาณเราควรหาทฤษฎีใหม่ที่สมบูรณ์กว่านี้ บางที "หลักการของความเฉยเมย" อาจไม่ถูกต้องหรือไม่สามารถใช้งานได้ แต่ฉันมีความปรารถนาอย่างเป็นธรรมชาติสำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็นที่จะตอบคำถามที่เรามีความเข้าใจที่เข้าใจง่าย บางที Lebesgue มีความรู้สึกแบบเดียวกันเกี่ยวกับการรวม Riemann เมื่อเขาสร้างอินทิกรัลของเขา?

— Neil G

ใช่เราทำได้! คุณสามารถจัดกิจกรรมเกี่ยวกับความน่าจะเป็นศูนย์ได้! คณิตศาสตร์มีความซับซ้อน - คุณต้องมีทฤษฎีการวัด แต่คุณสามารถทำได้ ในกรณีง่าย ๆ แบบนี้ฉันจะค้นหาปรีชาโดยกำหนดและ{4}] ทำทุกอย่างตอนนี้ที่คุณเคยทำมาก่อนและใช้เวลา0 $A = [5 - \frac{\epsilon}{2} , 5 + \frac{\epsilon}{2}]$ $B = [5 - \frac{\epsilon}{4} , 5 + \frac{\epsilon}{4}] \cup [6 - \frac{\epsilon}{4} , 6 + \frac{\epsilon}{4}]$ $\epsilon \to 0$

ขอให้ฉันเครียดอีกครั้ง (และอีกครั้ง) ว่าวิธีการข้างต้นใช้สำหรับสัญชาตญาณ การปรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นศูนย์จะเกิดขึ้นบ่อยครั้งมากโดยไม่ต้องคิดมาก ตัวอย่างที่ดีที่สุดที่ฉันนึกได้ก็คือถ้าเป็น gaussian แบบไบวาเรีย มักจะพิจารณาความหนาแน่นของได้รับ (พูด)ซึ่งเป็นเหตุการณ์ของการวัดศูนย์ สิ่งนี้มีพื้นฐานทางทฤษฎีเป็นอย่างดี แต่ก็ไม่ได้สำคัญอะไรเลย เกี่ยวกับคำพูดของ @ Xi'an ของ Kolmogorov - ฉันทำได้เพียงอ้าง Varadhan: "หนึ่งในเป้าหมายของเราคือการค้นหาคำจำกัดความที่สมเหตุสมผลเมื่อ " (ทฤษฎีความน่าจะเป็น, บันทึก Courant, หน้า 74) . $(X_1, X_2) \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $X_1$ $X_2 = 0$ $P(\xi = a) = 0$

ใช่คุณสามารถให้ความหมายกับการ จำกัด เหตุการณ์ของศูนย์การวัด

— Yair Daon
แหล่งที่มา

สมมติว่า : นั่นคือทั้งและเป็นไปได้ วิธีที่คุณจะจัดการกับสถานการณ์เมื่อและ ? จะ (ซึ่ง "สังหรณ์ใจ" เป็นคำตอบที่ถูกต้องเพราะตัวเลขทั้งหมดในมีความหนาแน่นเท่ากัน) หรืออาจ (ซึ่งเปลี่ยนจากเป็นในแบบง่าย ๆสูตรจะให้) หรือแม้กระทั่ง ?

U \sim U [0, 10]

$U\sim \text{U}[0,10]$

0

$0$

10

$10$

A = {0}

$A=\{0\}$

B = {0, 6}

$B=\{0,6\}$

P (A | B) = 1 / 2

$P(A|B)=1/2$

[0, 10]

$[0,10]$

1 / 3

$1/3$

5

$5$

0

$0$

0

$0$

— whuber

@ YairDaon ขอบคุณสำหรับคำตอบ! ถ้าฉันเข้าใจดีคุณหมายถึงทำสิ่งต่อไปนี้: สำหรับขนาดเล็กเรามี:

ε

$\varepsilon$

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u}{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u + \int_{6 - \frac{ε}{4}}^{6 + \frac{ε}{4}} f (u) d u} = \frac{\frac{ε}{2}}{\frac{ε}{2} + \frac{ε}{2}} = 0.5

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }}{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} + \int\limits_{6 - \frac{\varepsilon }{4}}^{6 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }} = \frac{{\frac{\varepsilon }{2}}}{{\frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2}}} = 0.5$

— Noob

@ YairDaon แต่ฉันคิดว่าผลลัพธ์ไม่คงที่หากเรากำหนด A เป็น ( และ B เหมือนเดิม) ในกรณีเช่นนี้ผลลัพธ์จะเป็น

[5 - \frac{ε}{8}, 5 + \frac{ε}{8}]

$\left[ {5 - \frac{\varepsilon }{8},5 + \frac{\varepsilon }{8}} \right]$

\frac{1}{8}

${\frac{1}{8}}$

— Noob

มันยอดเยี่ยมสำหรับสัญชาตญาณโดยการแสดงว่าไม่มีคำตอบที่ไม่ซ้ำกันนั่นคือพื้นฐานสำหรับคำสั่งของ Kolmogorov ที่ยกมาโดย @ ซีอาน ความจริงที่คุณต้องเปลี่ยนขั้นตอนการทำสิ่งต่าง ๆ ออกมาตามที่คุณคิดว่าควรแจ้งเตือนคุณถึงปัญหาเกี่ยวกับวิธีการนี้

— whuber

ความหนาแน่นของรับเป็นที่ดีที่กำหนดตรงกันข้ามกับความหนาแน่นของรับ 0

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} = 0

$X_1=0$

— ซีอาน