มีสูตรสำหรับรูปแบบทั่วไปของปัญหาตัวรวบรวมคูปองหรือไม่

ฉันพบปัญหาเกี่ยวกับตัวสะสมคูปองและพยายามหาสูตรสำหรับการวางหลักเกณฑ์ทั่วไป

หากมีวัตถุที่แตกต่างกันชนิดและคุณต้องการรวบรวมอย่างน้อยสำเนาของแต่ละของวัตถุเหล่านั้น (โดยที่ ) ความคาดหวังของวัตถุสุ่มที่คุณควรซื้อคือเท่าใด ปัญหาที่สะสมคูปองปกติมีและ 1 $N$ $k$ $m$ $m \le N$ $m = N$ $k = 1$

มีตัวต่อเลโก้ 12 ชิ้นในชุดสะสม ฉันต้องการรวบรวม 3 สำเนาของแต่ละตัวเลข 10 (10 ใด ๆ ) ฉันสามารถซื้อพวกเขาแบบสุ่มครั้งละหนึ่ง ฉันควรคาดหวังว่าจะซื้อกี่ชุดก่อนที่จะมีสำเนา 3 ชุดสำหรับชุดละ 10 ชุด

— nickponline
แหล่งที่มา

ฉันจำไม่ได้ว่าเคยเห็นสูตรสำหรับการทำให้เป็นลักษณะทั่วไปนั้น แต่สำหรับคำถามเฉพาะแบบครั้งเดียวฉันมักจะใช้การจำลอง

— Glen_b

นี่ไม่ใช่การคำนวณที่ง่าย แต่สามารถทำได้มีให้ไม่ใหญ่เกินไป (หมายเลขนี้นับสถานะที่เป็นไปได้ที่คุณต้องติดตามขณะรวบรวมคูปอง) $\binom{m+k}{k}$

เรามาเริ่มต้นด้วยการจำลองสถานการณ์เพื่อหาคำตอบ ที่นี่ฉันรวบรวมตัวเลข LEGO หนึ่งล้านครั้ง เส้นสีดำในเนื้อเรื่องนี้ติดตามความถี่ของจำนวนการซื้อที่จำเป็นในการรวบรวมตัวเลขต่าง ๆ อย่างน้อยสามในสิบ

แถบสีเทาเป็นช่วงความมั่นใจ 95% แบบสองด้านโดยประมาณสำหรับแต่ละการนับ ภายใต้มันทั้งหมดเป็นเส้นโค้งสีแดง: นี่คือค่าที่แท้จริง

$n=12$ $k=3$ $m=10$ $x_0^{i_0} x_1^{i_1} x_2^{i_2} x_3^{i_3}$ $i_j$ $k=0$ $k=t$ $\prod_{j=0}^k x_j^{i_j}$

$i_0$ $i_0/n$ $i_1/n$

x_{0}^{i_{0}} x_{1}^{i_{1}} x_{2}^{i_{2}} x_{3}^{i_{3}} \to \frac{1}{n} (i_{0} x_{0}^{i_{0} - 1} x_{1}^{i_{1} + 1} x_{2}^{i_{2}} x_{3}^{i_{3}} + \dots + i_{3} x_{0}^{i_{0}} x_{1}^{i_{1}} x_{2}^{i_{2} - 1} x_{3}^{i_{3}}) .

$x_0^{i_0} x_1^{i_1} x_2^{i_2} x_3^{i_3}\to \frac{1}{n}\left(i_0 x_0^{i_0-1}x_1^{i_1+1}x_2^{i_2}x_3^{i_3} + \cdots + i_3 x_0^{i_0}x_1^{i_1}x_2^{i_2-1}x_3^{i_3}\right).$

$(x_1 D_{x_0} + x_2 D_{x_1} + x_3 D_{x_2} + x_3 D_{x_3})/n$ $x_0^{12}=x_0^n$ $p$ $\binom{n+k}{k}$ $\prod_{j=0}^k x_j^{i_j}$ $p$ $i_3 \ge t$ $(m+1)\binom{n+k}{k}$

$6nk=216$ $10^{-17}$

n = 12;
threshold = 10;
k = 3;

(* Draw one object randomly from an urn with `n` of them *)
draw[p_] := 
  Expand[Sum[Subscript[x, i] D[#, Subscript[x, i - 1]], {i, 1, k}] + 
      Subscript[x, k] D[#, Subscript[x, k]] & @ p];

(* Find the chance that we have collected at least `k` each of `threshold` objects *)
f[p_] := Sum[
  Coefficient[p, Subscript[x, k]^t] /. 
   Table[Subscript[x, i] -> 1, {i, 0, k - 1}], {t, threshold, n}]

(* Compute the chances for a long series of draws *)
q = f /@ NestList[draw[#]/n &, Subscript[x, 0]^n, 6 n k];

ผลลัพธ์ซึ่งใช้เวลาประมาณสองวินาทีในการคำนวณ (เร็วกว่าการจำลอง!) คืออาร์เรย์ของความน่าจะเป็นที่จัดทำดัชนีตามจำนวนการจับ นี่คือพล็อตของความแตกต่างซึ่งเป็นความน่าจะเป็นที่จะสิ้นสุดการซื้อของคุณเป็นฟังก์ชั่นการนับ:

ตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขที่ใช้ในการวาดเส้นโค้งพื้นหลังสีแดงอย่างแม่นยำในรูปแรก (การทดสอบไคสแควร์บ่งชี้ว่าการจำลองไม่แตกต่างจากการคำนวณนี้อย่างมีนัยสำคัญ)

$1-q$ $50.7619549386733$

— whuber
แหล่งที่มา