ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สามารถวัดได้

เรารู้จากทฤษฎีการวัดว่ามีเหตุการณ์ที่ไม่สามารถวัดได้เช่นพวกเขาไม่สามารถวัดได้จากเกอ เราเรียกเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นซึ่งการวัดความน่าจะเป็นไม่ได้กำหนดไว้อย่างไร เราจะสร้างข้อความประเภทใดเกี่ยวกับเหตุการณ์ดังกล่าว

probability estimation

— เนคเลดี้
แหล่งที่มา

สิ่งนี้ไม่ได้คำนวณ บางทีฉันต้องการกาแฟหรือฉันเข้าใจผิดนี่ มีความแตกต่างระหว่างฟังก์ชั่นการวัดที่ไม่ได้ถูกกำหนดและชุดที่ไม่สามารถวัดได้ หากคำถามเกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นนั่นเป็นเพียงจุดที่ฟังก์ชั่นนั้นไม่ได้ถูกกำหนด แต่นั่นไม่ได้ จำกัด ความเป็นไปได้ของฟังก์ชันที่กำหนดไว้และเป็นการวัดความน่าจะเป็นที่ถูกต้อง

— Iterator

หากคุณไม่สามารถสร้างชุดที่ไม่สามารถวัดค่าได้โดยไม่มีความจริงที่เลือกคุณจะเสนอให้รู้ได้อย่างไรว่าเหตุการณ์เฉพาะที่มีความน่าจะเป็นที่ไม่สามารถวัดได้เกิดขึ้นหรือไม่?

— เฮนรี่

@Henry: OP อาจอ้างถึงเพียงแค่คำศัพท์ สำหรับวิธีที่ฉันอาจอ้างถึงเหตุการณ์ดังกล่าวฉันจะต้องเรียกใช้ไดรฟ์ Infinite Improbability ของ Douglas Adams หรือเรียกมันว่าปรากฏการณ์ไวท์ควีนเพราะเธอเชื่อว่าเป็นไปไม่ได้ 6 สิ่งก่อนอาหารเช้า :)

— Iterator

ตามที่พระคาร์ดินัลชี้ให้เห็นชุดที่ไม่สามารถวัดได้นั้นถูกใช้อย่างกว้างขวางในทฤษฎีความน่าจะเป็น การบรรจบกันของหนังสือที่อ่อนแอและกระบวนการเชิงประจักษ์โดย Van der Vaart ให้การแนะนำที่ดีมาก การอ่านหนังสือเล่มนี้ต้องการพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ค่อนข้างดี แต่ทฤษฎีที่นำเสนออยู่ในหนังสือยืนยันของฉันสวยงาม

— mpiktas

คุณสนใจเฉพาะในผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับการวัด Lebesgue หรือมากกว่าโดยทั่วไปภายใต้กรอบของทฤษฎีความน่าจะเป็นหรือไม่? ดูเหมือนจะมีข้อสงสัยเกี่ยวกับเรื่องนี้ในหมู่ผู้เข้าร่วมที่นี่

— พระคาร์ดินัล

คำตอบ:

ดังที่ฉันได้ระบุไว้ในความคิดเห็นว่าจะจัดการกับเหตุการณ์ประเภทนี้ได้อย่างไร (ชุดที่ไม่สามารถวัดได้) ได้อธิบายไว้ในหนังสือ: กระบวนการบรรจบกันและการทดลองที่อ่อนแอโดย A. van der Vaart และ A. Wellner คุณสามารถเรียกดูหน้าแรก ๆ

วิธีแก้ปัญหาในการจัดการกับชุดเหล่านี้ค่อนข้างง่าย ประมาณพวกเขาด้วยชุดที่วัดได้ ดังนั้นสมมติว่าเรามีพื้นที่น่าจะเป็น )สำหรับชุดใด ๆกำหนดความน่าจะเป็นด้านนอก (อยู่ในหน้า 6 ในหนังสือ): $(\Omega,\mathcal{A},P)$ $B$

P^{* * * *} (B) = INF {(P (A), B \subset A, A \in A}

$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$

ปรากฎว่าคุณสามารถสร้างทฤษฎีที่มีผลมากกับคำจำกัดความประเภทนี้

— mpiktas
แหล่งที่มา

แม้ว่าฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญเกี่ยวกับทฤษฎีกระบวนการเชิงประจักษ์ แต่ฉันรู้สึกว่าการใช้ความน่าจะเป็นภายนอกนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับความปรารถนาที่จะกำหนดความน่าจะเป็นให้กับเซตที่ไม่สามารถวัดได้ แต่เพราะคุณไม่ต้องการผ่านความยุ่งยาก จริงพิสูจน์การวัดได้ตลอดเวลา และถ้าคุณสามารถมีชีวิตอยู่ได้โดยปราศจากสิ่งต่าง ๆ เช่นทฤษฎีบทของ Fubini คุณก็จะไม่เสียอะไรเลยเพียงแค่คำนวณความน่าจะเป็นภายนอก

— NRH

แก้ไข: ในแง่ของความคิดเห็นของพระคาร์ดินัล: ทั้งหมดที่ฉันพูดด้านล่างมีนัยเกี่ยวกับการวัด Lebesgue (การวัดที่สมบูรณ์) เมื่ออ่านคำถามของคุณอีกครั้งดูเหมือนว่านั่นคือสิ่งที่คุณถาม ในกรณีการวัด Borel ทั่วไปอาจเป็นไปได้ที่จะขยายการวัดเพื่อรวมชุดของคุณ (สิ่งที่ไม่สามารถทำได้ด้วยการวัด Lebesgue เนื่องจากมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะทำได้)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวจะไม่ถูกกำหนด ระยะเวลา เช่นเดียวกับฟังก์ชั่นมูลค่าที่แท้จริงไม่ได้ถูกกำหนดสำหรับจำนวนเชิงซ้อน (ไม่ใช่ของจริง) การวัดความน่าจะเป็นถูกกำหนดไว้ในเซตที่วัดได้ แต่ไม่ใช่ในเซตที่ไม่สามารถวัดได้

ดังนั้นเราสามารถสร้างแถลงการณ์เกี่ยวกับเหตุการณ์เช่นนี้ได้อย่างไร? สำหรับผู้เริ่มต้นเหตุการณ์เช่นนี้จะต้องถูกกำหนดโดยใช้สัจพจน์ของตัวเลือก ซึ่งหมายความว่าทุกชุดที่เราสามารถอธิบายได้ด้วยกฎบางอย่างจะถูกยกเว้น นั่นคือไม่รวมชุดทั้งหมดที่เราสนใจโดยทั่วไป

แต่เราไม่สามารถพูดอะไรบางอย่างเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่สามารถวัดได้หรือ ใส่มันไว้หรืออะไร? Banach-Tarski บุคคลที่ผิดธรรมดาแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้จะไม่ทำงาน หากการวัดจำนวนชิ้นที่ จำกัด ที่ Banach-Tarski สลายตัวเป็นทรงกลมมีขอบเขตบน (กล่าวคือการวัดของทรงกลม) โดยการสร้างทรงกลมมากพอเราจะวิ่งเข้าไปในความขัดแย้ง โดยการโต้แย้งที่คล้ายกันไปข้างหลังเราจะเห็นว่าชิ้นส่วนนั้นไม่สามารถมีขอบเขตล่างที่ไม่สำคัญ

ฉันยังไม่ได้แสดงให้เห็นว่าทุกชุดที่ไม่สามารถวัดได้มีปัญหานี้แม้ว่าผมเชื่อว่าคนที่ฉลาดกว่าที่ฉันควรจะสามารถที่จะเกิดขึ้นกับการโต้แย้งแสดงให้เห็นว่าเราไม่สามารถในทางที่สอดคล้องใด ๆ ใส่ใด ๆ ที่ไม่น่ารำคาญ boundon "การวัด "ของชุดที่ไม่สามารถวัดได้ใด ๆ (ความท้าทายต่อชุมชน)

โดยสรุปเราไม่สามารถสร้างแถลงการณ์ใด ๆ เกี่ยวกับการวัดความน่าจะเป็นของชุดดังกล่าวนี่ไม่ใช่จุดสิ้นสุดของโลกเพราะชุดที่เกี่ยวข้องทั้งหมดสามารถวัดได้

— ฮ่า
แหล่งที่มา

นี่คือคำตอบที่น่าสนใจและคำตอบที่ให้ข้อมูล แต่คุณอาจจะมุ่งเน้นไปที่การวัดผล Lebesgue มากเกินไป เซตที่ไม่สามารถวัดได้นั้นมีความแพร่หลายมากในทฤษฎีความน่าจะเป็น

— พระคาร์ดินัล

มีคำตอบที่ดีอยู่แล้ว แต่ให้ฉันช่วยด้วยอีกประเด็น การวัด Lebesgue มักถูกพิจารณาใน Lebesgue -algebra ซึ่งเสร็จสมบูรณ์แล้วและตามที่ได้กล่าวไปแล้วเราต้องการความจริงที่เลือกเพื่อสร้างชุดที่ไม่สามารถวัดได้ของ Lebesgue ในทฤษฎีความน่าจะเป็นทั่วไปและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในแง่ที่เกี่ยวกับกระบวนการสุ่มมันยังไม่ชัดเจนว่าคุณสามารถทำให้เสร็จสมบูรณ์ที่เกี่ยวข้องของ -algebra และเหตุการณ์ที่ไม่สามารถวัดได้นั้นมีความแปลกใหม่น้อยกว่า ในบางแง่ช่องว่างระหว่าง Borel -algebra และ Lebesgue -algebra บนนั้นน่าสนใจมากกว่าฉากแปลก ๆ ที่ไม่ได้อยู่ใน Lebesgue -algebra $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathbb{R}$ $\sigma$

ปัญหาที่ฉันเห็นส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับคำถามคือชุด (หรือฟังก์ชั่น) อาจไม่สามารถวัดได้อย่างชัดเจน ในบางกรณีคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าจริง ๆ แล้วมันอาจเป็นเรื่องยากและในบางกรณีคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่ามันวัดได้เมื่อคุณขยาย -algebra โดยชุด null ของการวัดบางอย่าง ในการตรวจสอบส่วนขยายของ Borel -algebras ในพื้นที่เชิงทอพอโลยีคุณมักจะพบชุดที่เรียกว่า Souslin หรือชุดการวิเคราะห์ซึ่งไม่จำเป็นต้องวัดได้ Borel $\sigma$ $\sigma$

— NRH
แหล่งที่มา