การแจกแจงของตัวแปรปกติที่มีความสัมพันธ์สูงสุดสองตัว

ว่าฉันมีสองมาตรฐานตัวแปรสุ่มปกติ$X_1$และที่มีร่วมกันตามปกติที่มีค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์R$X_2$$r$

ฟังก์ชั่นการกระจายของคืออะไร?$\max(X_1, X_2)$

อ้างอิงจากNadarajah และ Kotz, 2551 , การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบเกาส์สูงสุด / ต่ำสุดของทั้งสอง , PDF ของดูเหมือนจะเป็น$X = \max(X_1, X_2)$

$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$

โดยที่$\phi$เป็น PDF และ$\Phi$เป็น CDF ของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน

$\hskip2in$

ให้เป็น bivariate ปกติ PDF สำหรับที่มีมาร์จินมาตรฐานและความสัมพันธ์\CDF ของสูงสุดคือตามคำจำกัดความ ( X , Y ) $f_\rho$$(X,Y)$$\rho$

$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$

รูปแบบไฟล์ PDF bivariate Normal นั้นสมมาตร (ผ่านการสะท้อนกลับ) รอบ ๆ เส้นทแยงมุม ดังนั้นการเพิ่มถึงเพิ่มความน่าจะเป็นสองเท่าของเดิมให้เป็นกึ่งอนันต์สแควร์: ความหนาด้านบนของ infinitesimally คือในขณะที่มันสะท้อนคู่ แถบขวามือเป็นZ]z + d z ( - ∞ , z ] × ( z , z + d z ] ( z , z + d z ] × ( - ∞ , z $z$$z+dz$$(-\infty, z]\times (z, z+dz]$$(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของแถบขวามือคือความหนาแน่นของที่ครั้งน่าจะเป็นเงื่อนไขทั้งหมดที่อยู่ในแถบz) การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของเป็นปกติเสมอดังนั้นหากต้องการหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขทั้งหมดนี้เราต้องการแค่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ค่าเฉลี่ยตามเงื่อนไขของที่คือการทำนายการถดถอยและความแปรปรวนตามเงื่อนไขคือความแปรปรวน "ไม่ได้อธิบาย" .z Y Pr ( Y ≤ $X$$z$$Y$Y Y X ρ X var ( Y ) - var ( ρ X ) = 1 - ρ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$$Y$$Y$$X$$\rho X$$\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

ตอนนี้เรารู้ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของเงื่อนไขแล้ว CDF ตามเงื่อนไขของให้สามารถรับได้โดยสร้างมาตรฐานและใช้ CDF มาตรฐานปกติ :X Y $Y$$X$$Y$$\Phi$

$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$

การประเมินนี้ที่และและคูณด้วยความหนาแน่นของที่ (มาตรฐานปกติ pdf ) ให้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของแถบที่สอง (ขวามือ)X = z X z $y=z$$X=z$$X$$z$$\phi$

$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$

การเพิ่มบัญชีนี้เป็นสองเท่าสำหรับแถบด้านบนที่เป็นไปได้ที่เท่าเทียมกันทำให้ PDF มีค่าสูงสุดเป็น

$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$

เรื่องย่อ

ฉันได้กำหนดปัจจัยต่าง ๆ เพื่อบ่งบอกต้นกำเนิดของพวกเขา:สำหรับแถบสมมาตรสองแถบ สำหรับความกว้างของแถบเล็ก ๆ น้อย ๆ ; และสำหรับความยาวของแถบ อาร์กิวเมนต์ของหลัง,เป็นเพียงรุ่นมาตรฐานของเงื่อนไขใน Z$\color{blue}2$$\color{black}{\phi(z)}$$\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$$\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$$Y=z$$X=z$