ANOVA: การทดสอบสมมติฐานของภาวะปกติสำหรับหลาย ๆ กลุ่มที่มีตัวอย่างไม่กี่ตัวอย่างต่อกลุ่ม

สมมติว่าสถานการณ์ต่อไปนี้:

เรามีจำนวนมาก (เช่น 20) กับกลุ่มขนาดเล็ก (เช่น n = 3) ฉันสังเกตเห็นว่าถ้าฉันสร้างค่าจากการกระจายแบบสม่ำเสมอส่วนที่เหลือจะดูปกติประมาณแม้ว่าการกระจายข้อผิดพลาดจะเหมือนกัน รหัส R ต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงพฤติกรรมนี้:

n.group = 200
n.per.group = 3

x <- runif(n.group * n.per.group)
gr <- as.factor(rep(1:n.group, each = n.per.group))
means <- tapply(x, gr, mean)
x.res <- x - means[gr]
hist(x.res)

ถ้าฉันดูตัวอย่างที่เหลือในกลุ่มที่สามเหตุผลของพฤติกรรมชัดเจน:

$r_1 = x_1 - \text{mean}(x1, x2, x3) = x1 - \frac{x_1+x_2+x_3}{3}=\frac{2}{3}x_1 - x_2 - x_3.$

เนื่องจากเป็นผลรวมของตัวแปรสุ่มที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่ต่างกันประมาณการแจกแจงการแจกแจงจึงค่อนข้างใกล้เคียงกับการแจกแจงปกติมากกว่าคำศัพท์แต่ละคำ$r_1$

ตอนนี้สมมติว่าฉันมีสถานการณ์เดียวกันกับข้อมูลจริงแทนที่จะเป็นข้อมูลจำลอง ฉันต้องการประเมินว่าสมมติฐานของ ANOVA เกี่ยวกับความเป็นมาตรฐานอยู่หรือไม่ ขั้นตอนที่แนะนำส่วนใหญ่แนะนำให้ตรวจสอบภาพตกค้าง (เช่น QQ-Plot) หรือการทดสอบความเป็นปกติของสิ่งตกค้าง ตามตัวอย่างของฉันด้านบนนี้ไม่เหมาะสำหรับขนาดกลุ่มเล็ก

มีทางเลือกที่ดีกว่านี้หรือไม่เมื่อฉันมีขนาดเล็กหลายกลุ่ม?

ทำงานกับคำตอบนี้ไม่ได้ทำอย่างสมบูรณ์ ฉันมีความเข้าใจเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ใช้เวลาพอสมควรในการอธิบาย สำหรับสิ่งนี้ขอให้เราพิจารณาว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้นมีอคติสำหรับคนจำนวนน้อย เหตุผลนี้คือถ้าเราใช้ตัวเลขสองตัวเรากำหนดค่าเฉลี่ยตัวอย่างโดยพลการให้เป็นซึ่งค่าเฉลี่ยประชากรอาจเป็นที่ใดก็ได้บน ช่วงเวลาระหว่างหรืออาจเป็นไปได้ว่าหรือข ซึ่งหมายความว่าในวันที่ค่าเฉลี่ยของ\ดังนั้นเมื่อว่าอคตินี้จะเล็ก$a<b$$\frac{a+b}2{}$$\sigma$$(a,b)$$\sigma<a$$\sigma>b$$\text{SD}<\sigma$$n>100$. สำหรับ SD แบบยาวสำหรับตัวอย่างจำนวนน้อยแต่ละชุดการคำนวณ SD จะแม่นยำยิ่งขึ้นและเห็นได้ชัดว่าไม่ถูกต้องมากขึ้น

ตอนนี้แทนที่จะปล่อยให้มือของเราหงุดหงิดเราสามารถใช้การแก้ไขจำนวนเล็กน้อยสำหรับ SD ของเราภายใต้สภาวะปกติ (ฮ่า! มีทางออกสำหรับความทุกข์ยากของเรา)

E[μ]$\frac{SD(n)}{\mu(n)}\,=\,\sqrt{\frac{2}{n-1}}\,\,\,\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)} \, = \, 1 - \frac{1}{4n} - \frac{7}{32n^2} - \frac{19}{128n^3} + O(n^{-4})$ดู$E[\mu]$

สำหรับนี้เป็นปี่}} ซึ่งหมายความว่าเราจะต้องแบ่ง SD ของเราโดยมากที่จะประมาณการ\Γ ( $n=3$$\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\approx0.8862269255$$\sigma$

ในกรณีที่คุณนำเสนอคุณมีสิ่งอื่น ๆ อีกมากมายเกิดขึ้นเช่นกัน เมื่อมันเกิดขึ้นการวัดที่ตั้งที่ดีที่สุดของการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอนั้นไม่ได้เป็นค่าเฉลี่ย แม้ว่าทั้งสองตัวอย่างค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานของกลุ่มตัวอย่างที่มีการประมาณค่าที่เป็นกลางจากจุดกึ่งกลางที่ไม่เป็นเป็นที่มีประสิทธิภาพตัวอย่างช่วงกลางคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสูงสุดตัวอย่างและต่ำสุดของกลุ่มตัวอย่างซึ่งเป็นขั้นต่ำแปรปรวนเป็นกลางประมาณการUMVU ตัวประมาณค่าของจุดกึ่งกลาง (และการประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด)

ตอนนี้ถึงเนื้อของเรื่อง หากคุณใช้ค่าเฉลี่ยสุดขีดค่าความแปรปรวนของการวัดตำแหน่งจะเล็กลงหากว่าข้อมูลของคุณมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ มันอาจจะกระจายได้ตามปกติเพราะหางค่ามากเดียวอาจเป็นปกติ อย่างไรก็ตามมีเพียง 3 ตัวอย่างเท่านั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะต้องแก้ไข