เกือบจะแน่ใจว่าการบรรจบกันไม่ได้หมายถึงการบรรจบกันที่สมบูรณ์

เราบอกว่ามาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์กับหากสำหรับinfty $X_1, X_2, \ldots$ $X$ $\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

ด้วยบทแทรกของ Borel Cantelli ตรงไปตรงมาเพื่อพิสูจน์ว่าการลู่เข้าแบบสมบูรณ์หมายถึงการบรรจบกันเกือบจะแน่นอน

ฉันกำลังมองหาตัวอย่างเกือบแน่ใจว่าคอนเวอร์เจนซ์ไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วย Borel Cantelli นี่คือลำดับของตัวแปรสุ่มที่รวมกันเกือบจะแน่นอน แต่ไม่สมบูรณ์

probability convergence

— มานูเอล
แหล่งที่มา

Letกับ Borel พีชคณิตซิกมาและมาตรการเครื่องแบบ\กำหนด $\Omega=(0,1)$ $\mathfrak{F}$ $\mu$

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

และอย่างอื่น จะเห็นได้ชัดที่วัดในพื้นที่น่าจะเป็นMU) $X_n(\omega)=0$ $X_n$ $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

รูป

สำหรับการใด ๆและทุกมันเป็นกรณีที่ 0 ดังนั้นตามนิยามแล้วลำดับแปรสภาพเป็น (ไม่ใช่แค่เกือบแน่นอน!) $\omega\in\Omega$ $N \gt 1/\omega$ $X_n(\omega)=0$ $(X_n)$ $0$

อย่างไรก็ตามเมื่อใดก็ตามที่ ,มาจากไหน $0 \lt \epsilon \lt 1$ $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

\sum_{n = 1}^{\infty} Pr (X_{n} > ϵ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n},

$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$

ซึ่งจะลู่ไป\ $\infty$

— whuber
แหล่งที่มา

ขอบคุณมาก!. สองความเห็นมีเหตุผลในการกำหนดแทน ? สองควรเป็นหรือไม่

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

X_{n} (ω) = 1 when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 1 \text{ when } \omega \le 1/n$

\sum Pr (X_{n} > ϵ)

$\sum\text{Pr}\left(X_n > \epsilon\right)$

— Manuel

1. ไม่มีเหตุผลที่ดี ในขณะที่ฉันกำลังคิดถึงเรื่องนี้อยู่ฉันใช้คำศัพท์เป็นเครื่องเตือนความจำว่าอาจไม่มีการบรรจบกันที่จุดดังกล่าว 2. ฉันแก้ไข typo ขอบคุณ

\pm 1

$\pm 1$

<

$\lt$

— whuber

เป็นอิสระ? พวกเขาดูเหมือนจะเป็นของฉันซึ่งบทสรุป Borel Cantelli คนที่สองจะบ่งบอกว่าการบรรจบกันนั้นแทบจะไม่แน่นอน

X_{n}

$X_n$

— Rdrr

@Rdrr จากนั้นคุณควรมีปัญหาในการสาธิตไม่เป็นอิสระ

X_{n}

$X_n$

— whuber